文档内容
专题 1.4 有理数的乘除法
典例体系
一
知识点
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相
乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
1
a
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a· =1（a≠0），就是说a和1 1 1
a a a
互为倒数，即a是 的倒数， 是a的倒数。
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带
分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即
a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
二、考点点拨与训练
考点1：有理数的乘除法运算
典例：（2020·浙江省初三二模）计算： 的结果是（ ）
A． B．12 C．1 D．
方法或规律点拨
本题考查了有理数的乘法法则，注意符号，熟练掌握乘法法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·天津初三二模）计算 的结果等于（ ）
A． B．12 C． D．812．（2020·广东省初三其他）计算 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2020·四川省初一期末）以下关于0的说法：①0的相反数与0的绝对值都是0；②0的倒数是0；
③0减去一个数，等于这个数的相反数；④0除以任何有理数仍得0．其中说法正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2020·天津初三学业考试）计算 的值是（ ）
A．-12 B．-2 C．35 D．-35
5．（2020·天津初三二模）计算：(﹣3)×5的结果是（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣2 D．2
6．（2020·长沙市一中湘一南湖学校初二月考）若a＜c＜0＜b，则abc与0的大小关系是（ ）
A．abc＜0 B．abc=0
C．abc＞0 D．无法确定
7．（2017·全国初一课时练习）计算 时，应该运用（ ）.
A．加法交换律 B．乘法分配律
C．乘法交换律 D．乘法结合律
8．（2017·全国初一课时练习）计算：（－4）×0.25=__________，（＋4）×（－ ）=______，（－ ）
×（－ ）=_______.
考点2：有理数的倒数
典例：（2020·安徽省初三其他）-5的倒数是（ ）
A．-5 B．5 C． D．
方法或规律点拨
本题考查了倒数的性质，乘积为”1”的两个数互为倒数.
巩固练习1．（2020·深圳市龙岗区南湾街道沙湾中学初三其他）-2的倒数是（ ）
A．-2 B． C． D．2
2．（2020·甘肃省武威市第十中学初三三模） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·河北省初三学业考试）-2020的倒数是（ ）
A． B． C．2020 D．
4．（2020·广东省初三其他）6的倒数是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
5．（2020·四川省初三）下列选项中，两数互为倒数的是（ ）
A．5与 B． 与 C．2020与 D．2020与
6．（2020·云南省初三三模） 的倒数的绝对值是___________．
7．（2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）﹣1 的倒数是__，相反数是__绝对值是__．
8．（2018·云南省初一期末）已知 互为相反数， 互为倒数，m的绝对值为3，那么
的值是________ ．
9．（2019·重庆实验外国语学校初一期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，则m2
﹣2019a+5cd﹣2019b的值是____．
考点3：有理数的四则混合运算典例：（2019·山东省初一期中）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49 ×
（-5），看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
聪聪；原式=- ×5=- -249 ；
明明：原式=（49+ ）×（-5）=49×（-5）+ ×（-5）=-249 ，
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
（3）用你认为最合适的方法计算：39 ×（-8）．
方法或规律点拨
本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的x的值为—2
时，输出的数值为_________．
2．（2020·北京初三月考）对于两个非零整数x，y，如果满足这两个数的积等于它们的和的6倍，称这样
的x，y为友好整数组，记作 ，与视为相同的友好整数组．请写出一个友好整数组
__________ ，这样的友好整数组一共有__________组 ．
3．利用运算律有时能进行简便计算.
例1
例2
计算：（1） ；（2）
4．（2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）
5．（2020·成都市金花中学初一期中）用简便方法计算下列各式的值：
（1）
（2）
6．（2017·全国初一课时练习）学习了有理数的运算后，老师给同学们布置了下面一道题：
计算： ，看谁算得又对又快．
下面是甲、乙两名同学给出的解法：
甲：原式= ，
乙：原式=
你认为谁的解法好？你还能想出别的简便方法吗？试一下！
7．（2020·河北省初三一模）计算下列各式的值．
（1）（﹣53）+（+21）﹣（﹣69）﹣（+37）
（2）﹣3.61×0.75+0.61× +（﹣0.2）×75%．
8．（2019·吉林省东北师大附中初一月考）已知 、 为有理数，现规定一种新运算 ，满足
．
（1） _________；
（2）求 的值．（3）新运算 是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
考点4：与数轴有关的字母符号判断
典例：（2020·北京初三二模）实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（
）
A．|a|<|b| B．ad>0 C．a+c>0 D．d－a>0
方法或规律点拨
本题考查数轴表示数，有理数的四则运算法则，理解符号、绝对值是确定有理数的必要条件．
巩固练习
1．（2020·山西省初一期末）如图所示，A．B两点在数轴上表示的数分别为 、 ，下列式子成立的是（
）
A． B． C． D．
2．（2020·全国初一）如图，在数轴上，实数 的对应点分别为点 ，则 （ ）
A．1.5 B．1 C． D．
3．（2020·河北省初三学业考试）如图，在数轴上表示点 的倒数的点可能是（ ）
A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
4．（2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结
论是（ ）A．a＜﹣1 B．ab＞0 C．a﹣b＜0 D．a+b＜0
5．（2020·北京初三二模）实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（
）
A． B． C． D．
6．（2020·江西省初一期末）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0；②ab＞
0；③a+b＜0；④a﹣b＜0；⑤a＜|b|；⑥﹣a＞﹣b，正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2020·北京四中初三月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的
是（ ）
A．一定在点A的左侧 B．一定与线段AB的中点重合
C．可能在点B的右侧 D．一定与点A或点B重合
8．（2019·浙江省初三二模）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（
）
A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
9．（2019·浙江省初三期中）若实数 在数轴上的位置如图所示，则下列判断不正确的是（ ）
A． B． C． D． 的绝对值相等
考点5：有理数乘除法法在生活中的应用
典例：（2018·湖南广益实验中学初一月考）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了2千米到达小明
家，继续向东走了4千米到达小红家，然后向西走了9千米到达小刚家，最后返回百货大楼．（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚
家的位置；
（2）小明家与小刚家相距多远？
（3）若货车每千米耗油0.5升，那么这辆货车共耗油多少升？
方法或规律点拨
本题是一道典型的有理数混合运算的应用题，解题的关键是要掌握能够将应用问题转化为有理数的混合运
算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具．
巩固练习
1．（2020·广东省初一期末）检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工
从A地出发，到收工时行程记录为（单位：千米）
＋8，﹣9，＋4，﹣7，﹣2，﹣10，＋11，﹣3，＋7，﹣5；
（1）收工时，检修工在A地的哪边？距A地多远？
（2）若每千米耗油0.3升，从A地出发到收工时，共耗油多少升？
2．（2020·山东省初一期末）一辆出租车从超市（ 点）出发，向东走 到达小李家（ 点），继续
向东走 到达小张家（ 点），然后又回头向西走 到达小陈家（ 点），最后回到超市．
（1）以超市为原点，向东方向为正方向，用 表示 ，画出数轴，并在该数轴上表示 、 、 、
的位置；
（2）小陈家（ 点）距小李家（ 点）有多远？
（3）若出租车收费标准如下， 以内包括 收费 元，超过 部分按每千米 元收费，则从超市
出发到回到超市一共花费多少元？
3．（2019·全国初一课时练习）一只小虫沿一根东西方向放着的木杆爬行，先以每分钟 m的速度向西
爬行，后来又以同样的速度向东爬行，试求它向西爬行4分钟，又向东爬行6分钟后距出发点的距离．
4．（2019·内蒙古自治区初一期末）某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向
西为负，行车里程（单位：km），依先后次序记录如下：+10，﹣3、﹣4、+4、﹣9、+6、﹣4、﹣6、﹣
4、+10．
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？（2）若平均每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
5．（2020·广东省东莞市中堂星晨学校初一月考）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，
继续向南骑行3km到达B 村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局.
(1)以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个
村庄的位置；
(2)C村离A村有多远？
(3)若摩托车每100km耗油3升，这趟路共耗油多少升？
6．（2019·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校初一一模）在某地区，高度每升高100米，气温下降0.8 ℃.若
在该地区的山脚测得气温为15 ℃，在山顶测得气温为－5 ℃，你能求出从山顶到山脚的高度吗？
7．（2019·江苏省初一一模）为了有效控制酒后驾车，某市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，若
规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为(单位：千米)：
此时，这辆城管的汽车司机如何向队长描述他所处的位置?
如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻(含返回)共耗油多少升?(已知每千米耗油 升)
8．（2019·河南省初一期中）某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每
天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/辆
（1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车 辆．
（2）根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车 辆．
（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖
励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部分
每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是
多少元？
