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专题 4.3 角
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：B、C、D选项中，以B为顶点的角不只一个，所以不能用∠B表示某个角，所以三个选项都
是错误的；A选项中，以B为顶点的只有一个角，并且∠B=∠ABC=∠1，所以A正确．
故选A ．
2．（2020·新疆期末）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走
到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85° B．105° C．125° D．160°
【答案】C
【解析】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
3．（2020·全国单元测试）将一个直角分成1:2:3的三个角，那么这三个角中，最大的角与最小的角相差（
）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C【解析】最大角为： ，
最小角为： ，
，
故选：C．
4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学初一期末）如图，射线 和 分别为 和 的
角平分线， ，则 （ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【解析】∵射线 和 分别为 和 的角平分线，
∴ ，
∴ + =130°
故选C．
5．（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）2018年4月12日我军在南海举行了建国以来海上最大的军事演习，
位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的北偏东70°方向（如图），同时观测到军舰B位于点O
处的南偏西15°方向，那么∠AOB的大小是（ ）
A．85° B．105° C．115° D．125°
【答案】D
【解析】∵A位于点O的北偏东70°方向，B位于点O处的南偏西15°
∴∠AOB＝20°＋90°＋15°＝125°，
故选D.
6．（2020·全国课时练习）已知 ，且 ，那么 的余角一定是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，且 ，
∴ 是锐角，
∴ 的余角为90°- =90°-（180°- ）=
故选C．
7．（2020·全国课时练习）如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线，那么下列各式
中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOC＝∠AOC＝ ∠AOB， =∠BOD＝ ∠AOC＝ ∠BOC，
∴∠AOD＝ ∠AOB，∠BOD＝ ∠AOB
故选：D．
8．（2020·浙江镇海·期末）一个角的余角比它的补角的一半少 ，则这个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设这个角为 则它的余角为 它的补角为故选C．
9．（2020·北京海淀实验中学开学考试）如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD=5∠DOB＋6°，则∠COD的
度数（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
【答案】D
【解析】解：∵∠AOD=5∠BOD+6°，
设∠BOD=x°，∠AOD=5x°+6°．
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴x+5x+6°=180．
∴x=29°．
∴∠BOD=29°．
∵CO⊥AB，
∴∠BOC=90°．
∴∠COD=∠BOC-∠BOD
=90°-29°
=61°．
故选：D.
10．（2020·岳阳市第十中学初一期末）下列语句中，正确的个数是（ ）
①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、
∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①直线AB和直线BA是一条直线，原来的说法是错误的；
②射线AB和射线BA是两条射线是正确的；
③互余是指的两个角的关系，原来的说法是错误的；
④一个角的余角比这个角的补角小是正确的；
⑤周角的特点是两条边重合成射线．但不能说成周角是一条射线，原来的说法是错误的；
⑥两点之间，线段最短是正确的．
故正确的个数是3个．
故选：C．
11．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选：C．
12．（2020·山东莘县·期末）如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB＝α，OM是∠AOC的平分线，ON是
∠BOC的平分线，∠MON的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵∠AOC和∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC＝180°①，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠AOM＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC，
∴∠AOM+∠CON＝90°，
∵∠AOB＝α，
∴∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝α②，
①+②得：2∠AOC＝180°+α，
∴∠AOC＝90°+ α，
∴∠MON＝∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON＝90°+ ﹣90°＝ α．故选B．
13．（2020·浙江松阳·期末）在同一平面内，已知∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，如果OP是∠AOC的平分
线，则∠BOP的度数为（ ）
A．25° B．25°或35° C．35° D．25°或45°
【答案】D
【解析】①当∠BOC在∠AOB的外部时，
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝70°＋20°＝90°，
∵OP是∠AOC的平分线，
∴∠COP＝ ∠AOC＝45°，
∴∠BOP＝∠COP－∠COB＝25°；
②当∠BOC在∠AOB的内部时，
∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝70°－20°＝50°，
∵OP是∠AOC的平分线，
∴∠COP＝ ∠AOC＝25°，
∴∠BOP＝∠COP＋∠COB＝45°；
故选D．
14．（2020·湖南湘潭电机子弟中学初一月考）如图，已知点 ， ， 在同一直线上，∠2是锐角，则
∠2的余角是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】解：∵点 ， ， 在同一直线上，
∴∠1＋∠2=180°
∵ ＋∠2= ，而 ≠90°，故A不符合题意；
＋∠2=60°＋∠2，不一定等于90°，故B不符合题意；
＋∠2= =90°，故C符合题意；
＋∠2= ，不等于90°，故D 不符合题意．
故选C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·怀安县教育体育和科学技术局教育科学研究室开学考试）图书馆在餐厅的北偏东40°方向，那
么餐厅在图书馆的________方向．
【答案】南偏西40°（或西偏南50°）
【解析】∵图书馆在餐厅的北偏东40°方向，
∴餐厅在图书馆的南偏西40°（或西偏南50°），
故答案为：南偏西40°（或西偏南50°）.
16．（2020·全国初一课时练习）下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°
【答案】A
【解析】解：A、10.6°＝10°36'，错误；
B、900″＝0.25°，正确；
C、1.5°＝90′，正确；
D、54°16′12″＝54.27°，正确；
故选：A．
17．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若一个角的补角加上10º后等于这个角的4倍，则这
个角的度数为____．
【答案】38º
【解析】解：设这个角为x，
由题意得：180°-x+10°=4x，解得x=38°
故答案为38°．18．（2020·全国单元测试）过点 引三条射线 、 、 ，使 ，如果
，那么 的度数是_______．
【答案】 或
【解析】解：∵∠AOC=2∠AOB，∠AOB=32°，
∴∠AOC=64°．
（1）当∠BOC在∠AOC的内部时，
∠BOC=∠AOC-∠AOB=64°-32°
=32°，
（2）当∠BOC在∠AOC的外部时，
∠BOC=∠AOB+∠AOC
=32°+64°
=96°．
故∠BOC的度数为32°或96°．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·全国课时练习）用一副三角尺画角．
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）如图，∠AOB为所求；
（2）如图，∠BOC为所求；
20．（2019·全国初一课时练习）计算：
（1） ；（2） .
【答案】（1） （2）【解析】（1）
（2）
21．（2020·湖南古丈·初一期末）完成推理填空：如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是
∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在
横线上补全步骤．
解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（ ）
∴∠EOF＝ °
又∵OF是∠AOE的角平分线（ ）
∴∠AOF＝ ＝56°（ ）
∴∠AOC＝∠ —∠ ＝ °
∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）
【答案】已知；56；已知；∠EOF；角平分线定义；AOF；COF；22；22；对顶角相等
【解析】解：∵∠EOC=90°
∠COF=34° （已知）
∴∠EOF=90°-34°=56°，
∵OF是∠AOE的角平分线
∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线定义）
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22° （同角的余角相等），
22．（2020·新疆期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O,∠COE= 90 ， OF平分∠AOE, ∠COF=28
．求∠AOC的度数．
【答案】34°
【解析】解：∵∠EOF=∠COE-∠COF=90°-28°=62°．
又∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF=∠EOF=62°，∴∠AOC=∠AOF-∠COF=62°-28°=34°．
23．（2019·黑龙江甘南·初一期末）请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：（1） 的度数为__________；
（2） 与 有何数量关系：______；
（3） 与 有何数量关系：__________；
【答案】（1）90°；（2） ；（3） .
【解析】解：（1）根据折叠的过程可知：∠2=∠1+∠3，
∵∠1+∠2+∠3=∠BEC，B、E、C三点共线
∴∠2=180°÷2=90°．
故答案是：90°．
（2）∵∠1+∠3=∠2，
∴∠1+∠3=90°．
故答案是：∠1+∠3=90°．
（3）∵B、E、C三点共线，
∴∠1+∠AEC=180°，
故答案是：∠1+∠AEC=180°．
24．（2020·辽宁庄河·期末）如图，已知直线和直线外三点 ， ， ，按下列要求画图：
（1）画线段
（2）画出射线
（3）以 为顶点画出表示东西南北的十字线，再画出表示北偏西 的射线 （注： 为射线与直线
的焦点，标注字母 与 角）
【答案】（1）图见详解；
（2）图见详解；
（3）图见详解．
【解析】解：（1）线段 作图如下，（2）射线 作图如下，
（3）方向角作图如下，
25．（2020·云南兰坪·期末）如图， ， 分别是 和 的平分线，且 ．
（1）当 静止时，求 的度数；（2）当 在 内转动时， 的大小是否会发生变化，简单说明理由．
【答案】（1） ；（2） 的大小不会发生变化， ．
【解析】解：（1） ， 分别是 和 的平分线，
，
（2） 的大小不会发生变化，理由如下：
， 分别是 和 的平分线，
，
所以只要∠AOB的大小不变，无论OC在∠AOB内怎样转动，∠MON的值都不会变．
26．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）已知: 和 是直角．
（1）如图，当射线 在 内部时，请探究 和 之间的关系；
（2）如图2，当射线 射线 都在 外部时，过点 作射线 ，射线 ，满足
， ，求 的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线 ，使得 ，若不存在，
请说明理由，若存在，求出 的度数．
【答案】（1） ，详见解析；（2） ；（3） 的度数是 或
【解析】解：（1） ，
证明： 和 是直角，
，
，
，
同理： ，
，
；
（2）解：设 ，则 ，
，
，
，，
，
，
，
，
答： 的度数是 ；
（3）①如图，当射线 在 内部时，
，
，
如图，当射线 在 外部时，
，
，综上所述， 的度数是 或 ．
