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专题 4.3 角
典例体系 （ 3 9 页）
一、知识点
1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫
做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续
旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作
“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
6.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7.余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数
学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数
学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
二、考点点拨与训练
考点1：钟面上的角度计算
典例：（2020·福建宁化·初一期末）上午 时，钟表的时针与分针的夹角为（ ）
A． B． C． D．
方法或规律点拨
此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）设时钟的时针与分针所成角是 ，则正确的说法是（ ）
A．八点一刻时， 是平角 B．十点五分时， 是锐角
C．十一点十分时， 是钝角 D．十二点一刻时， 是直角
2．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是（ ）
A．85° B．75° C．65° D．55°
3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转 （ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江青田·初一期末）上午 ，时钟上分针与时针之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．5．（2020·福建宁化·期中）某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分
针与时针所夹的角等于_______度．
6．（2020·浙江松阳·期末）上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______．
7．（2020·全国单元测试）由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________
度，此刻时针与分针的夹角是_________度
8．（2020·全国单元测试）时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与
时针重合．
10．（2020·湖北黄石·初一期末）如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____．
11．（2020·全国单元测试）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成 的角？分别是几点几分？
考点2：方位角及其应用
典例：（2020·全国单元测试）如图所示，点 表示 城，点 表示 城．
（1）如果 城在 城的南偏西 方向，请画出从 城到 城方向的射线；
（2）如果 城在 城的北偏东 方向，在 城的南偏东 方向，请确定 城的位置．（用点 表
示）
要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论．
方法或规律点拨
此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，射线OP表示的方向是（ ）A．东偏北65° B．北偏东25° C．北偏西65° D．北偏东65°
2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，点A位于点O的
A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上
C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上
3．（2020·全国单元测试）射线 位于北偏东 方向，射线 位于南偏东 方向，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）某人在点 处看点 在北偏东 的方向上，看点
在北偏西 的方向上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国课时练习）如图所示，由点A测点B的方向是（ ）
A．南偏东38° B．南偏东52°
C．北偏西38° D．北偏西52°
6．（2020·全国课时练习）若点B在点A北偏东30°处，点C在点A南偏东40°处，那么 的度数是（
）
A．70° B．80°C．100° D．110°
7．（2020·山东单县·初一期末）如图， 是表示北偏东 方向的一条射线，则 的反向延长线
表示的是（ ）
A．北偏西 方向上的一条射线 B．北偏西 方向上的一条射线
C．南偏西 方向上的一条射线 D．南偏西 方向上的一条射线
8．（2020·全国单元测试）若从点 看点 的方向是南偏东 ，那么从点 看点 的方向是_______．
9．（2020·全国单元测试） 、 两个城市的位置如图所示，那么 城在 城的_______方向．
10．（2020·全国单元测试）根据图填空：点A在点O的______________方向，点C在点O的
______________方向．
11．（2020·辽宁北镇·期末）如图，直线 与 相交于点 ， ，且 平分 ，若
，则 的度数为_____．
考点3：角的运算
典例：（2020·巨野县育才实验学校初一月考）计算：（1）
（2） 180º-（34º55′+21º33′）
方法或规律点拨
本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即
1′=60″．
巩固练习
1．（2020·全国初一课时练习）计算： 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国单元测试）（1）已知 ， ，则 _______；
（2）已知 ， ，则 _______．
3．（2020·全国单元测试）计算： ________________；
________________．
4．（2020·湖南雨花·初一期末）计算：48°37'+53°35'＝_____．
5．（2020·全国初一课时练习）计算：90°﹣18°35'＝__．
6．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）计算30°52′+43°50′=______
7．（2020·全国单元测试）（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
考点4：与三角板有关的角度计算
典例：（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝
30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都
在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平
分∠BOC．
①此时t的值为 ；（直接填空）
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．
方法或规律点拨
本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列
出式子计算即可．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）用两个三角板（一个是 ，一个是 ）不可能画出的角度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东莘县·期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝
28°，则∠AOB的度数为（ ）
A．62° B．152° C．118° D．无法确定
3．（2020·湖北荆州·月考）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果
∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25°
C．20° D．15°
4．（2020·山西浑源·初一期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，
∠1=27°40′，∠2的大小是( )
A．27°40′ B．57°40′
C．58°20′ D．62°20′
5．（2020·全国初一课时练习）如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若
∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE 的度数为（ ）A．36° B．45° C．60° D．72°
6．（2020·广西平桂·期末）如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD +∠COB
的度数为___________度．
7．（2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重
合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝_____．
8．（2020·全国单元测试） 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则
∠BOC=_______．
9．（2020·全国单元测试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝
_____．
10．（2019·广东郁南·初一期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
11．（2020·全国初二课时练习）将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
12．（2019·河北涿鹿·期末）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．
（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ；
（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？
（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．
13．（2020·广东东莞·初一期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝ ；
（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝ （用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数．考点5：与角平分线有关的证明与计算
典例：（2020·福建泉州五中月考）（问题提出）已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝ ∠AOC，∠BOD＝
3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC的度数．
（问题思考）聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC＝16.1°；问：当
射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数
（问题延伸）
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数
方法或规律点拨
本题主要考查角的和差倍分关系，关键是根据题意得到角之间的等量关系，然后列出算式进行求解即可．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示， ， ， 平
分 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）在同一平面内，若∠AOB＝90º，∠BOC＝40º，则∠AOB的平分线与∠BOC 的平分线的夹角等于( )．
A．65º B．25º C．65º或25º D．60º或20º
3．（2020·福建宁化·期中）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等
于( ).
A．35° B．70°
C．110° D．145°
4．（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分
别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（ ）
A．90° B．135° C．150° D．120°
5．（2020·山东莘县·期末）如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝_____度．
6．（2020·全国单元测试）如图所示，已知 ， ， 成一直线， ，且 ，
，则 _______ ．
7．（2020·全国单元测试）如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线， 是
的平分线，那么 _______．8．（2020·陕西神木·初一期末）如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．
9．（2020·全国单元测试）如图所示， 平分 ， 、 是 的三等分线．
（1）如果 ，求 的度数；
（2）如果 ， ，求 的度数．
考点6：与余角（补角）有关的证明与计算
典例：（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点
O处．射线OC平分∠MOB．
(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数；
(2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON
在直线AB的下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数．
方法或规律点拨
本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用，综合性大，需综
合运用所学知识求解.
巩固练习
1．（2020·湖北曾都·期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度数是（
）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．（2020·山东莘县·期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO丄OC，OE平分∠BON，若
∠EON=20°，求∠AOM 的度数．
3．（2020·福建宁化·期中）已知 为直线 上的一点， 是直角， 平分 ．
（1）如图1，若 = °，则 = °， 与 的数量关系为 ．
（2）当射线 绕点 逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中 与 的关系是否仍然成立？
如成立，请说明理由．
（3）在图3中，若 = °，在 的内部是否存在一条射线 ，使得
？若存在，请求出 的度数；若不存在，请说明理由．4．（2020·广西陆川·期末）如图，OD、OC、OB、OA分别表示东西南北四个方向，OM的方向是西偏北
50°，OE的方向是北偏东15°，OE是∠MOG的平分线，∠MOH=∠NOH=90°.
(1)OH的方向是_______，ON的方向是________；
(2)通过计算，判断出OG的方向；
(3)求∠HOG的度数.
5．（2020·广西陆川·期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角和补角
的度数．
6．（2020·全国单元测试）如果一个角的余角是这个角的 ，求这个角的度数．
7．（2020·全国单元测试）如图所示，已知 、 、 在一直线上， 、 分别是 和
的角平分线．
（1）求 的度数；
（2）分别写出 的余角和补角．
8．（2020·全国单元测试）如图所示，已知点A、O、E在同一直线上， ， ，
．
（1）写出图中的一对互余的角____________，一对互补的角______________．
（2）画出 的角平分线 ．
（3） ______________．9．（2020·云南镇康·初一期末）一个角的余角比这个角的补角的 还小10°，求这个角．
10．（2019·贵州花溪·初一学业考试）互补的两个角之差是 ，求其中较小角的余角度数．
11．（2020·苏州高新区实验初级中学初一期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=48°，OD平分
∠AOC，∠DOE=90°．
(1)图中有 个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
12．（2020·江西育华学校初一期末）如图，已知 ， 是 的平分线．
（1）如图1，当 与 互补时，求 的度数；
（2）如图2，当 与 互余时，求 的度数．
13.（2020·广东郁南·初一期末）如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD.
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数.
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数.
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由.
14．（2020·河南渑池·初一期末）点 在直线 上，射线 上的点 在直线 上方，（1）如图（1），求 的度数；
（2）如图（2），点 在直线 上方， 与 互余， 平分 ，求 的度数；
（3）在（2）的条件下，点 在直线 下方， 平分 ，若 与 互补，求
的度数．
15．（2020·河北泊头·初一期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝70°，求∠DOE和∠EOF的度数；
(2)请写出图中∠AOD的补角和∠AOE的余角．
16．（2020·福建福州·初一月考）如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．
（1）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；
（2）求∠EON+∠MOF的度数．
