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专题 4.3 角
典例体系 （ 3 9 页）
一、知识点
1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫
做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续
旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作
“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
6.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7.余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数
学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数
学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
二、考点点拨与训练
考点1：钟面上的角度计算
典例：（2020·福建宁化·初一期末）上午 时，钟表的时针与分针的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵钟表中一圈有12个大格
∴1个大格的对应的角度为360°÷12=30°
∵ 时，时针与分针间有2个大格
∴此时钟表的时针与分针的夹角为30°×2=60°
故选B．
方法或规律点拨
此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）设时钟的时针与分针所成角是 ，则正确的说法是（ ）
A．八点一刻时， 是平角 B．十点五分时， 是锐角
C．十一点十分时， 是钝角 D．十二点一刻时， 是直角【答案】B
【解析】解：A． 分针一分钟走6度,时针是0.5度，8:15时,时针离"12点"的角度是:30×8+15×0.5=247.5度.
分针行了15×6=90度.故二针的夹角是:247.5-90=157.5度，所以八点一刻时， 是钝角；
B．同理， 十点五分时， 是锐角；
C． 十一点十分时， 是锐角；
D． 十二点一刻时， 是锐角；
故选B．
2．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是（ ）
A．85° B．75° C．65° D．55°
【答案】B
【解析】解：如图，上午八点半钟时，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴上午八点半钟的时候，时钟的时针和分针所夹的角度是2.5×30°=75°．
故选：B．
3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为整个钟面12小时，时针每小时转 ，且30分钟等于 小时，
所以若钟表分针走30分钟，钟表的时针转的角度是 ，
故选：B．
4．（2020·浙江青田·初一期末）上午 ，时钟上分针与时针之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：9：30时针与分针相距3.5份，每份的度数是30°，
在时刻9：30，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为3.5×30°=105°．
故选：B．
5．（2020·福建宁化·期中）某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分
针与时针所夹的角等于_______度．【答案】150
【解析】因为分钟一分钟走6°，所以下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角为 ；
故答案为150．
6．（2020·浙江松阳·期末）上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______．
【答案】102.5°
【解析】∵分钟每分钟转动360°÷60=6°，时针每分钟转动360°÷12÷60=0.5°，
∴8：25时针和分针的夹角（小于平角的角）度数为： (8×30°+25×0.5°)-25×6°=102.5°．
故答案为：102.5°．
7．（2020·全国单元测试）由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________
度，此刻时针与分针的夹角是_________度
【答案】12.5 150 117.5
【解析】解：∵时针在钟面上每分钟转 ，分针每分钟转 ，又从2点30分到2点55分经过了25分
钟，∴时钟的时针旋转了 ，时钟的分针旋转了 ．
∵2点55分时时针距离3还有 ，分针指向11，中间相差3个数字，钟表12个数字，每相邻两个数
字之间的夹角为 ，此时分针与时针的夹角是 ．
故答案为12.5；150；117.5．
8．（2020·全国单元测试）时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与
时针重合．
【答案】
【解析】解：由题意得：
分针每分钟走 ，时针每分钟走 ，则 ，解得 ，
即经过 分钟后，分针与时针重合，
∴分针转了 度．
故答案为 ．
10．（2020·湖北黄石·初一期末）如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____．
【答案】15°【解析】∵时针12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°，
∴时针1小时转动30°，
∴6：30时，分针指向刻度6，时针和分针所夹锐角的度数是30°× =15°．
故答案是：15°．
11．（2020·全国单元测试）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成 的角？分别是几点几分？
【答案】钟面上从2点到4点有4次时针与分针夹成 角，分别是2点整，2点 分，3点 分，3
点 分．
【解析】解：共有4次时针与分针所夹的角为 ．根据时针与分针的速度可知分针比时针每分钟转动快
．
第1次正好为2点整；
第2次设为2点 分时，时针与分针的夹角为 ，则 ，解得 ；
第3次设为3点 分时，时针与分针的夹角为 ，则 ，解得 ；
第4次设为3点 分时，时针与分针的夹角为 ，则 ，解得 ．
综上，钟面上从2点到4点有4次时针与分针夹成 角，分别是2点整，2点 分，3点 分，3点
分．
考点2：方位角及其应用
典例：（2020·全国单元测试）如图所示，点 表示 城，点 表示 城．
（1）如果 城在 城的南偏西 方向，请画出从 城到 城方向的射线；（2）如果 城在 城的北偏东 方向，在 城的南偏东 方向，请确定 城的位置．（用点 表
示）
要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）以 城为观测中心，画出南偏西 方向，就是从 城到 城方向的射线，如图所示，射
线AB即为所求；
（2）以 城为中心，画出北偏东 方向，以 城为中心，画出南偏东 方向，两个方向的交点处，
就是 城，如图所示， 城即为所求．
方法或规律点拨
此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，射线OP表示的方向是（ ）
A．东偏北65° B．北偏东25° C．北偏西65° D．北偏东65°
【答案】D
【解析】解：90°-25°=65°，
则射线OP表示的方向是北偏东65°．
故选：D．
2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，点A位于点O的A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上
C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上
【答案】B
【解析】解：由图可得，点A位于点O的北偏西65°的方向上．
故选B．
3．（2020·全国单元测试）射线 位于北偏东 方向，射线 位于南偏东 方向，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ．
故选A．
4．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）某人在点 处看点 在北偏东 的方向上，看点
在北偏西 的方向上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意可作如图所示：
．
故选B．
5．（2020·全国课时练习）如图所示，由点A测点B的方向是（ ）A．南偏东38° B．南偏东52°
C．北偏西38° D．北偏西52°
【答案】A
【解析】根据图上的信息以及方位角的定义，B点在A点南偏东 ．
故选：A．
6．（2020·全国课时练习）若点B在点A北偏东30°处，点C在点A南偏东40°处，那么 的度数是（
）
A．70° B．80°
C．100° D．110°
【答案】D
【解析】 ．
故答案选D．
7．（2020·山东单县·初一期末）如图， 是表示北偏东 方向的一条射线，则 的反向延长线
表示的是（ ）
A．北偏西 方向上的一条射线 B．北偏西 方向上的一条射线
C．南偏西 方向上的一条射线 D．南偏西 方向上的一条射线
【答案】D
【解析】如图，根据对顶角相等可知∠2=55°，再根据余角的性质可得∠1=35°，
∴ 的反向延长线 表示的是：南偏西55°方向上的一条射线或西偏南35°方向上的一条射线．
故选：D．
8．（2020·全国单元测试）若从点 看点 的方向是南偏东 ，那么从点 看点 的方向是_______．
【答案】北偏西
【解析】因为从点 看点 的方向是南偏东 ，所以从点 看点 的方向是北偏西 ；
故答案为北偏西 ．
9．（2020·全国单元测试） 、 两个城市的位置如图所示，那么 城在 城的_______方向．
【答案】北偏东
【解析】解：由图可知： 城在 城的北偏东90°－60°=
故答案为：北偏东 ．
10．（2020·全国单元测试）根据图填空：点A在点O的______________方向，点C在点O的
______________方向．
【答案】东偏北50° 西南
【解析】在图中找到A点和C点位置，然后根据方向和偏角可得：
点A在点O的东偏北50°方向，点C在点O的西南方向．
故答案为：东偏北50°；西南．
11．（2020·辽宁北镇·期末）如图，直线 与 相交于点 ， ，且 平分 ，若
，则 的度数为_____．【答案】20º．
【解析】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
又∵∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°−40°＝140°，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝12×140°＝70°，
∴∠BOD＝180°−90°−70°＝20°．
故答案为：20°．
考点3：角的运算
典例：（2020·巨野县育才实验学校初一月考）计算：
（1）
（2） 180º-（34º55′+21º33′）
【答案】（1） ；（2）123°32′
【解析】解：（1） ；
（2）原式=180°-55°88′
=179°60′-56°28′
=123°32′；
方法或规律点拨
本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即
1′=60″．
巩固练习
1．（2020·全国初一课时练习）计算： 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
．故选：B．
2．（2020·全国单元测试）（1）已知 ， ，则 _______；
（2）已知 ， ，则 _______．
【答案】
【解析】解：（1）
（2）
故答案为： ， ．
3．（2020·全国单元测试）计算： ________________；
________________．
【答案】
【解析】解：
故答案为： ； ．
4．（2020·湖南雨花·初一期末）计算：48°37'+53°35'＝_____．
【答案】
【解析】48°37'+53°35'=101°72'= .
5．（2020·全国初一课时练习）计算：90°﹣18°35'＝__．
【答案】
【解析】解：90°-18°35'=71°25′．
故答案是：71°25′．
6．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）计算30°52′+43°50′=______
【答案】74°42′
【解析】解：30°52′+43°50′=73°102′=74°42′
故答案为：74°42′．
7．（2020·全国单元测试）（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】（1）原式 ．
（2）原式 ．（3）原式 ．
（4）原式 ．
考点4：与三角板有关的角度计算
典例：（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝
30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都
在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平
分∠BOC．
①此时t的值为 ；（直接填空）
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转
一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．
【答案】（1）①3，②是，理由见解析；（2）t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE；理由见解析；（3）经
秒时，OC平分∠DOB．画图说明理由见解析．
【解析】（1）①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝ BOC＝75°，
∴t＝ ；
故答案为3；
②是，理由如下：
∵转动3秒，∴∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOE，
即OE平分∠AOC．（2）三角板旋转一周所需的时间为＝ ＝72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为 ＝45
（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOE，
由题意：①8x﹣5x＝45﹣30，
解得：x＝5，
②8x﹣5x＝360﹣30+45，
解得：x＝125＞45，不合题意，
③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为 ＝45（秒），45秒后停止运动，
∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，
∴t＝ ＝69（秒），
综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE．
（3）如图3中，由题意可知，
OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣30）÷8＝
（秒），
所以OD比OC早与OB重合，
设经过x秒时，OC平分∠DOB，
由题意：8x﹣（180﹣30）＝ （5x﹣90），
解得：x＝ ，
所以经 秒时，OC平分∠DOB．
方法或规律点拨
本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列
出式子计算即可．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）用两个三角板（一个是 ，一个是 ）不可能画出的角度是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为三角板的度数：30°，60°，90°，45°，45°，90°．
可以画出的角度是：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°．
∴不可能画出的角度是115°；
故选：B．
2．（2020·山东莘县·期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝
28°，则∠AOB的度数为（ ）
A．62° B．152° C．118° D．无法确定
【答案】B
【解析】解：∵∠COB＝∠DOB﹣∠DOC＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝90°+62°＝152°．
故选：B．
3．（2020·湖北荆州·月考）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果
∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25°
C．20° D．15°
【答案】B
【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
4．（2020·山西浑源·初一期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，
∠1=27°40′，∠2的大小是( )
A．27°40′ B．57°40′
C．58°20′ D．62°20′【答案】B
【解析】∵∠1=27°40′，
∴∠CAE=60°-27°40′=32°20′，
∴∠2=90°-32°20′= 57°40′.
故选B.
5．（2020·全国初一课时练习）如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若
∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（ ）
A．36° B．45° C．60° D．72°
【答案】D
【解析】∵∠AOB=90°,∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，
∵OE 为 ∠BOC 的平分线，
∴∠COE= ∠BOC=18°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−18°=72°，
故选D.
6．（2020·广西平桂·期末）如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD +∠COB
的度数为___________度．
【答案】180
【解析】∠AOD+∠COB=∠COD+∠AOC+∠COB =∠COD+∠AOB=90°+90°=180°．
故答案是：180．
7．（2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝_____．
【答案】25
【解析】∵△AOD与△BOC是一副直角三角板，∴∠AOD+∠COB＝180°，
∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°．
∵∠AOB＝155°，∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣155°＝25°．
故答案为25．
8．（2020·全国单元测试） 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则
∠BOC=_______．
【答案】53°
【解析】∵∠AOB=∠COD=90°
∴∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=180°
即∠AOD+∠BOC=180°
∵∠AOD=127°
∴∠BOC=53°，
故答案为：53°．
9．（2020·全国单元测试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝
_____．
【答案】180°
【解析】
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠BOD，又∵∠BOC+∠BOD=∠COD，且∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°．
10．（2019·广东郁南·初一期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠ACE=∠BCD；（2）150°；（3）∠ACB+∠DCE=180°，见解析
【解析】解：（1）∠ACE=∠BCD，理由如下：
∵∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD；
（2）由余角的定义，得∠ACE=90°﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，
由角的和差，得∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+90°=150°；
（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
由角的和差，得∠ACB=∠BCE+∠ACE，
∠ACB+∠DCE=∠BCE+（∠ACE+DCE）=∠BCE+∠ACE=180°．
11．（2020·全国初二课时练习）将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°．
【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
12．（2019·河北涿鹿·期末）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．
（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ；
（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？
（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．
【答案】（1）180°；（2）180°；（3）60°．
【解析】解：（1）∵OB平分∠COD，
∴∠BOC=∠BOD=45°．
∵∠AOC+∠BOC=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．
故答案为180°；
（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；
（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOC．
∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），
∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），
∴∠BOC=60° ．
13．（2020·广东东莞·初一期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝ ；
（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝ （用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数．【答案】（1）20°；（2） ；（3）∠ACF＝75°，∠ACE＝120°
【解析】解：（1）如图1，
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，
∴∠ACD＝180°-90°-40°＝50°，∠BCD＝180°-40°＝140°，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝ ∠BCD＝70°，
∴∠ACF＝∠DCF-∠ACD＝70°-50°＝20°；
故答案为：20°；
（2）如图1，
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝ °，
∴∠ACD＝180°-90°- °＝90°- ，∠BCD＝180°- ，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCF＝ ∠BCD＝90°- ，
∴∠ACF＝90°- ﹣90°＋ ＝ ；
故答案为： ；
（3）∠ACF＝ ∠BCE．理由如下：
如图2，∵点C在DE上，
∴∠BCD＝180°-∠BCE＝180°-150°＝30°．
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝ ∠BCD＝ ×30°＝15°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ACB-∠BCF＝90°-15°＝75°．
∴∠ACE＝360°-∠ACB﹣∠BCE＝360°-90°-150°＝120°．
考点5：与角平分线有关的证明与计算
典例：（2020·福建泉州五中月考）（问题提出）已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝ ∠AOC，∠BOD＝
3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC的度数．
（问题思考）聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC＝16.1°；问：当
射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数
（问题延伸）
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数
【答案】（1）②34.5°；（2）画图见解析；11.5°或48.3°．【解析】（1）②
如图所示，设 ，则 ，
， ，
，
即 ；
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，根据题意此时射线OC靠近射线OB，
∠BOC＜50°， ，
射线OD的位置也只有两种可能；
设 ，
①若射线OD在∠AOB的内部，如图1所示：
则 ，
， ，
，
即 ；
②若射线OD在∠AOB外部，如图2所示：则 ，
， ，
，
即 ．
方法或规律点拨
本题主要考查角的和差倍分关系，关键是根据题意得到角之间的等量关系，然后列出算式进行求解即可．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示， ， ， 平
分 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵∠AOC=90°，∠COB= ，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90°+ ．
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD= （90°+ ）=45°+ ，
∴∠COD=∠BOD-∠COB=45°- ，
故选：C.
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）在同一平面内，若∠AOB＝90º，∠BOC＝40º，则∠AOB的平分线与∠BOC 的平分线的夹角等于( )．
A．65º B．25º C．65º或25º D．60º或20º
【答案】C
【解析】（1）当OC在∠AOB内部时；
∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠DOB= ∠AOB= ×90°=45°，∠BOE=∠EOC= ∠BOC= ×40°=20°，
∴∠DOE=∠DOB-∠EOB=45°-20°=25°；
当OC在∠AOB外时，
∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠DOB= ∠AOB= ×90°=45°，∠BOE=∠EOC= ∠BOC= ×40°=20°，
∴∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+20°=65°；
故选：C
3．（2020·福建宁化·期中）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等
于( ).
A．35° B．70°
C．110° D．145°
【答案】C
【解析】∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,∴∠AOD=180°-70°=110°.
故选C.
4．（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分
别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（ ）
A．90° B．135° C．150° D．120°
【答案】B
【解析】∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，
∴∠COD＝90°（互为补角）
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC+∠NOD＝ （30°+60°）＝45°（角平分线定义）
∴∠MON＝90°+45°＝135°．
故选：B．
5．（2020·山东莘县·期末）如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝_____度．
【答案】30
【解析】∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，即∠AOD+BOD＝90°；
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
即∠BOD+∠BOC+BOD＝90°，
即2∠BOD+∠BOC＝90°
∵∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝30°．
故答案为：30．
6．（2020·全国单元测试）如图所示，已知 ， ， 成一直线， ，且 ，
，则 _______ ．【答案】108
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：108
7．（2020·全国单元测试）如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线， 是
的平分线，那么 _______．
【答案】
【解析】∵ 是 的平分线，
∴∠AOC=∠EOC= ∠AOE，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴∠AOB=∠BOC= ∠AOC= ∠AOE，
∠COD=∠DOE= ∠EOC= ∠AOE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∴∠AOD= ∠AOE，
∠BOE= ∠AOE，
∴∠AOD=∠BOE，
故答案为：BOE．
8．（2020·陕西神木·初一期末）如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．
【答案】(1) 45°;(2) 45°.
【解析】解：（1）∵ OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
∴ ∠AOE= ∠AOC ,
∠COD= ∠BOC ,
∵∠AOC=120°,∠BOC=30°
∴ ∠AOE= ×120° =60°
∠COD= × 30°= 15°
∠DOE=∠AOC - ∠AOE - ∠COD
=120°- 60°-15°= 45°.
（2）∵ ∠AOB=90°，∠BOC=α
∴ ∠AOC = 90°+α
∵ OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
∴∠AOE= ∠AOC , ∠COD= ∠BOC
∠AOE= （90°+α），∠COD= α
∠DOE=∠AOC - ∠AOE-∠COD= （90°+α）- （90°+α）- α = 45°
9．（2020·全国单元测试）如图所示， 平分 ， 、 是 的三等分线．
（1）如果 ，求 的度数；
（2）如果 ， ，求 的度数．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】解：（1）∵ 平分 ， 、 是 的三等分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 、 是 的三等分线，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
考点6：与余角（补角）有关的证明与计算
典例：（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点
O处．射线OC平分∠MOB．(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数；
(2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）；
(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON
在直线AB的下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数．
【答案】(1) 15°;(2) ∠CON= a;(3) ①见解析；②144°.
【解析】解：(1)由已知得∠BOM=180°－∠AOM=150°，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON－ ∠BOM=90°－ ×150°=15°.
(2)∠CON= a.
(3)设∠AOM=a，则∠BOM=180°－a，
①∠AOM=2∠CON.
理由如下：
∵OC平分∠BOM，
∴
∵
∴
∴
②由①知∴
解得
∴ .
方法或规律点拨
本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用，综合性大，需综
合运用所学知识求解.
巩固练习
1．（2020·湖北曾都·期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度数是（
）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°．
∴∠2＝180°−∠COD−∠1＝180°−90°−35°＝55°，
故选C．
2．（2020·山东莘县·期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO丄OC，OE平分∠BON，若
∠EON=20°，求∠AOM 的度数．
【答案】50 o
【解析】解：∵OE平分∠BON，
∴∠BON=2∠EON=40°，
∴∠COM=∠BON=40°，
∵AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOM=90°-∠COM=90°-40°=50°．
3．（2020·福建宁化·期中）已知 为直线 上的一点， 是直角， 平分 ．（1）如图1，若 = °，则 = °， 与 的数量关系为 ．
（2）当射线 绕点 逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中 与 的关系是否仍然成立？
如成立，请说明理由．
（3）在图3中，若 = °，在 的内部是否存在一条射线 ，使得
？若存在，请求出 的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）56°；∠BOE＝2∠COF；(2) ∠BOE＝2∠COF仍然成立，理由见解析；（3）存在，∠BOD
＝16°.
【解析】解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝28°，
∴∠EOF＝90°−∠COF＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°−∠AOE＝56°，
若∠COF＝n°，则∠EOF＝90°− n°，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°− 2n°，
∴∠BOE＝180°−∠AOE＝2n°，
∴∠BOE＝2∠COF；
（2）∠BOE＝2∠COF仍然成立，
理由：设∠COF＝n°，
∴∠EOF＝90°−∠COF＝90°−n°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°−2n°，
∴∠BOE＝180°−∠AOE＝2n°＝2∠COF，
故∠BOE与∠COF的关系是仍然成立；
（3）由（2）可知：∠BOE＝2∠COF＝130°，
∴∠AOE＝180°−∠BOE＝50°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝ ∠AOE＝25°，
∵2∠BOD＋∠AOF＝ （∠BOE−∠BOD），∴2∠BOD＋25°＝ （130°−∠BOD）
解得：∠BOD＝16°.
4．（2020·广西陆川·期末）如图，OD、OC、OB、OA分别表示东西南北四个方向，OM的方向是西偏北
50°，OE的方向是北偏东15°，OE是∠MOG的平分线，∠MOH=∠NOH=90°.
(1)OH的方向是_______，ON的方向是________；
(2)通过计算，判断出OG的方向；
(3)求∠HOG的度数.
【答案】（1）南偏西50°，南偏东40°；（2）北偏东70°；（3）160°.
【解析】（1）∵OM的方向是西偏北50°，
∴∠COM=50°,
∵∠MOH=90°，
∴∠COH=90°-50°=40°,
∴∠BOH=90°-40°=50°,
∴OH的方向是南偏西50°.
∵∠NOH=90°，∠BOH=50°,
∴∠BON=90°-50°=40°,
∴ON的方向是南偏东40°.
（2）∵∠COM=50°,
∴∠AOM=90°-50°=40°,
∴∠MOE=40°+15°=55°,
∵OE是∠MOG的平分线，
∴∠GOE=∠MOE=55°,
∴∠AOG=15°+55°=70°,
∴OG的方向是北偏东70°；
（3）∠HOG=360°-∠HOM-∠MOE-∠GOE
=360°-90°-55°-55°
=160°.
5．（2020·广西陆川·期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角和补角的度数．
【答案】这个角的余角是50°，补角是140°．
【解析】解：设这个角为x°，
则180﹣x+10＝3（90﹣x），
解得：x＝40
即这个角的余角是50°，补角是140°．
答：这个角的余角是50°，补角是140°．
6．（2020·全国单元测试）如果一个角的余角是这个角的 ，求这个角的度数．
【答案】
【解析】解：设这个角为 ，
得 ，
．
答：这个角的度数为 ．
7．（2020·全国单元测试）如图所示，已知 、 、 在一直线上， 、 分别是 和
的角平分线．
（1）求 的度数；
（2）分别写出 的余角和补角．
【答案】（1） ；（2） 的余角为 、 ，补角为 ．
【解析】解：（1）∵ 、 分别是 和 的角平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）由（1）得 ；∵ ，∴ 的余角为 、 ，补角为
．
8．（2020·全国单元测试）如图所示，已知点A、O、E在同一直线上， ， ，．
（1）写出图中的一对互余的角____________，一对互补的角______________．
（2）画出 的角平分线 ．
（3） ______________．
【答案】（1） 和 ； 和 ；（2）作图见解析；（3） ．
【解析】（1）因为 ，
所以 + = ，
故 和 互余；
因为点A、O、E在同一直线上，
所以 =
所以 + = ，
故 和 互补；
故答案为： 和 ； 和 ．
（2）因为 ， ，
所以 ，
，
在 内用量角器取 ，即OF为 的角平分线，如下图：
（3）由（1）知 + = ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ．
9．（2020·云南镇康·初一期末）一个角的余角比这个角的补角的 还小10°，求这个角．
【答案】60°【解析】解：设这个角为xº，
列方程：90-x= （180-x）-10，
解得x=60，
故这个角是60度．
10．（2019·贵州花溪·初一学业考试）互补的两个角之差是 ，求其中较小角的余角度数．
【答案】14°
【解析】解：设较小的角为x，则其补角为180°－x，
根据题意得：180°－x－x＝28°，
解得x＝76°，
则90°－x＝90°－76°＝14°，
答：其中较小角的余角的度数为14°．
11．（2020·苏州高新区实验初级中学初一期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=48°，OD平分
∠AOC，∠DOE=90°．
(1)图中有 个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
【答案】（1）9；（2）156°；（3）OE平分 ，理由见解析．
【解析】（1）小于平角的角有：
，共有9个
故答案是： 9；
（2）∵OD平分 ，
∴
∴ ；
（3）OE平分 ，理由如下：
∵ ，
∴
∴∴OE平分 ．
12．（2020·江西育华学校初一期末）如图，已知 ， 是 的平分线．
（1）如图1，当 与 互补时，求 的度数；
（2）如图2，当 与 互余时，求 的度数．
【答案】(1)65°；(2)20°
13.（2020·广东郁南·初一期末）如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD.
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数.
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数.
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由.
【答案】（1）∠AOB=30°，∠DOC=30°；（2）∠COD=30°；（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．
【解析】（1）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣60°=30°，
∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣60°=30°；
（2）设∠COD=x°，则∠BOC=100°﹣x°．
∵∠AOC=110°，
∴∠AOB=110°﹣(100°﹣x°)=x°+10°．
∵∠AOD=∠BOC+70°，
∴100°+10°+x°=100°﹣x°+70°，
解得：x=30，
即∠COD=30°；
（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．理由如下：
要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=90°，
即∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=∠BOD=α，
∴∠AOC=∠BOD=45°，即α=45°，
∴当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．
14．（2020·河南渑池·初一期末）点 在直线 上，射线 上的点 在直线 上方，
（1）如图（1），求 的度数；
（2）如图（2），点 在直线 上方， 与 互余， 平分 ，求 的度数；
（3）在（2）的条件下，点 在直线 下方， 平分 ，若 与 互补，求
的度数．
【答案】（1）144°；（2）81°；（3）117°或171°
【解析】解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE平分∠COD，
∴∠COE= ∠COD＝ ×90°=45°，
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=45°+36°=81°，
（3）①如图1，∵OG平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD与∠BOG互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠DOC+∠BOC=36°+90°=126°，∵∠FOD=∠BOD+∠BOF，
∴126+2x+x=180，
解得：x=18，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=81°+2×18°=117°；
②如图2，∵OG平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD与∠BOG互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
∴∠FOD+∠FOG=180°，
∴D，O，G共线，
∴∠BOG=∠AOD=54°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=72°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-81°=99°，
∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=72°+99°=171°．
15．（2020·河北泊头·初一期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝70°，求∠DOE和∠EOF的度数；
(2)请写出图中∠AOD的补角和∠AOE的余角．【答案】(1) 90°；(2)∠AOD的补角：∠AOC和∠BOD；∠AOE的余角：∠DOF和∠BOF.
【解析】
【分析】(1)因为∠AOC＝70°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝110°，
所以∠BOD＝180°－∠AOD＝70°.
又因为OE平分∠AOD，所以∠DOE＝ ∠AOD＝55°，
又因为OF平分∠BOD，所以∠DOF＝ ∠BOD＝35°.
所以∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝90°.
(2)∠AOD的补角：∠AOC和∠BOD；
∠AOE的余角：∠DOF和∠BOF.
16．（2020·福建福州·初一月考）如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．
（1）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；
（2）求∠EON+∠MOF的度数．
【答案】（1）∠EOM=∠FON；理由见解析；（2）180°.
【解析】（1）∠EOM=∠FON．
∵∠EOM+∠MOF=90°=∠FON+∠MOF，
∴∠EOM=∠FON；
（2）∵∠EON+∠MOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF，
∴∠EON+∠MOF=∠EOF+∠MON=180°．
【解析】(1)∵∠AOB与∠COB互补，
∴∠COB=180°-∠AOB=180°-50°=130°，
∵OD是∠COB的平分线∴∠COD= ∠COB= ×130°=65°；
(2)∵∠AOB与∠COB互余，
∴∠COB=90°-∠AOB=90°-50°=40°，
∵OD是∠COB的平分线，
∴∠COD= ∠COB= ×40°=20°．
