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第五章 相交线与平行线
5.1 相交线、垂线（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有
这种关系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，
“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
2.邻补角与对顶角对比：
特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
角的名称
①两条直线相交形成
的角；
对顶角
①有无公共边；
对顶角 ②有一个公共顶点； 相等. ①都是两条直线相交
② 两 直 线 相 交
③没有公共边. 而成的角；
时，对顶角只有
②都有一个公共顶
2对；邻补角有4
①两条直线相交而 点；
对.
邻补角 成； 邻补角 ③都是成对出现的.
②有一个公共顶点； 互补.
③有一条公共边.
3.对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，
互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的
反向延长线.知识点二、垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线
互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
要点诠释：
(1)记法：直线a与b垂直，记作：ab；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
判定
AOC 90° CD⊥AB．
性质
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直
角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已
知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在
射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最
短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯
一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实
际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．
在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点诠释：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度
量垂线段的长度．
【典型例题】
类型一、邻补角与对顶角
例1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶
角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？
【答案与解析】
解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．
【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．
举一反三：
【变式】判断正误：
（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （ ）
（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ）
(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （ ）
(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （ ）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（ ）
【答案】(1)× （2）× （3）× （4）√ （5）×，反例：∠AOC为
120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为
O，但它们不是邻补角.
例2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数
【答案与解析】
解：∵ ∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，
∴ ∠2＝180°－65°＝115°．
又∵ ∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角
∴ ∠3＝∠1＝65°， ∠4＝∠2＝115°．
【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出
另外三角；(2)求出∠2后用 “对顶角相等”，求∠3和∠4．
举一反三：
【变式】如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON
的度数为 度．
【答案】145．
解：∵∠BOC=110°，
∴∠BOD=70°，
∵ON为∠BOD平分线，
∴∠BON=∠DON=35°，
∵∠BOC=∠AOD=110°，
∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.
例3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角
存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】
解：如图，
任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：
①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；
②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．
这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其
中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝
180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2
与∠3是邻补角．
【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，
2对对顶角
类型二、垂线
例4．下列语句中，正确的有 ( )
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③两直线相交，则交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】正确的是：②④
【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.
举一反三：
【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).
A．点P到直线l的垂线的长度.
B．点P到直线l的垂线段.
C．点P到直线l的垂线段的长度.
D．点P到直线l的垂线.
【答案】C例5.如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（
）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C．
【解析】解：∵∠1=145°，
∴∠2=180°﹣145°=35°，
∵CO⊥DO，
∴∠COD=90°，
∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.
【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是
解题的关键．
举一反三：
【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40,
则∠EOF=_______.
【答案】130°．
例6.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在
铁路线上选一点来建火车站，应建在（ ）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．
【答案】A．
【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．
【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所
作的垂线段最短．
举一反三：
【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?
(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?
【答案】
解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．
【巩固练习】
一、选择题
1．下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．以下四个叙述中，正确的有( )
①相等的角是对顶角；②互补的角是邻补角；③两条直线相交，可构成 2对对顶角；
④对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行
C．平行或相交 D．平行或相交或重合
4．如图所示，点A到BD的距离是指( )
A．线段AB的长度 B．线段AD的长度
C．线段AE D．线段AE的长度5．在平面上，过直线上一点可以画这条直线的垂线的条数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6.如图，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．64° C．54° D．以上答案都不对
二、填空题
7．四条直线两两相交，至多会有 个交点．
8．如图，直线a，b相交，∠1＝60°，则∠2＝________，∠3＝________，∠4＝
________．
9．如图所示，直线 AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若
∠COE＝30°，则∠AOE＝_____，∠AOF＝______．
10．如图，直线AB与CD的位置关系是________，记作________于点________，此时
∠AOD＝______＝______＝______＝90°．
11.如图，∠AOB＝90°，则AB BO；若OA＝3 cm，OB＝2 cm，则A点到OB的距离是
________cm，点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连接的所有线段中________最短．
12．如图：若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且
∠BOE= ∠COE，∠DOE=72°．则∠COE的度数是 ．
三、解答题
13.如图，OC⊥AB于点O，OD平分∠BOC，求∠COD的度数．
14．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．
(1) ∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由；
(2)若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．15．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小
刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业?
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】解：根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．故选
C.
2．【答案】C
【解析】③④正确．
3. 【答案】C．
4. 【答案】D5. 【答案】A
6. 【答案】B
【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°，又∠AOF＝∠BOE＝64°．
二、填空题
7.【答案】6．
【解析】如图，可看出四条直线两两相交，至多有6个交点．
8. 【答案】120°， 60°， 120°．
9. 【答案】60°， 120°
【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，
∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．
10.【答案】垂直，AB⊥CD， O，∠BOD， ∠BOC，∠AOC．
【解析】垂直的定义．
11.【答案】＞， 3， 2， 垂线段．
【解析】点到直线的距离的定义
12.【答案】72°；
【解析】解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD= （180°﹣3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+ （180°﹣3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
故答案为：72°．
三、解答题
13.【解析】
解：∵OC⊥AB于点O，∴∠BOC=90°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=45°．
14.【解析】
解： (1)∠AOC＝∠BOD．
理由：∵ OA⊥OB，OC⊥OD(已知)．
∴ ∠AOB＝90°，∠COD＝90°．
即∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，
∴ ∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．
(2)∵ ∠AOB＝90°，∠BOD＝32°，
∴ ∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°．
15.【解析】
解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．
