6.1平方根（基础巩固）-七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870497)_初中全科电子版试卷练习试题_数学_7下初中人教版数学练习、试卷_人教数学七年级下课时练习（148份）

第六章 实数 6.1 平方根（基础巩固） 【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定 x a x2 a x a 0的算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被 a a a a 开方数. 要点诠释：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0. a a a a 2.平方根的定义 如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方 x2 a x a a 与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算 a a  a(a0) a a 术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和  a a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数 没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平 方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质a a0  a2 |a|0 a0  a a0   2 a a a0 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或 者向左移动1位.例如： ， ， ， . 62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 例1、下列说法错误的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.42的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.因为 ＝5，所以本说法正确； 25 B.因为± ＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确； 1 C.因为± 42 ＝± 16＝±4，所以本说法错误； D.因为 ＝0， ＝0，所以本说法正确；  0 0 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解 决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9没有平方根．（ ） （2） ．（ ） 16 41 1 （3）( )2的平方根是 ．（ ） 10 10 （4） 2 是 4 的算术平方根．（ ）   5 25 【答案】√ ；×； √； ×， 2 4 提示：（2） 16 4；（4） 是 的算术平方根． 5 25 例2、 填空： （1）4是 的负平方根． （2） 1 表示 的算术平方根， 1 ．  16 16 （3） 1 的算术平方根为 ． 81 （4）若 ，则 ，若 ，则 ． x 3 x x2 3 x 【思路点拨】（3） 1 就是 1 的算术平方根＝ 1 ，此题求的是 1 的算术平方根. 81 81 9 9 1 1 1 【答案与解析】(1)16；(2) ; (3) (4) 9；±3 16 4 3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转 化. 举一反三： 【变式1】下列说法中正确的有（ ）： ①3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根．④ 8是64的负的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B； 提示：①④是正确的. 【变式2】求下列各式的值： （1）3 （2） 25 81 36（3） （4） 4 0.04 0.25 0.36 121 6 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4） 55 例3、使代数式 有意义的 的取值范围是______________． x1 x 【答案】x≥1； 【解析】x＋1≥0，解得x≥1. 【总结升华】当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0. a a a a 举一反三： 【变式】若 +（3x+y﹣1）2=0，求5x+y2的平方根． 【答案】解：∵ +（3x+y﹣1）2=0， ∴ ， 解得， ， ∴5x+y2=5×1+（﹣2）2=9， ∴5x+y2的平方根为± =±3． 类型二、利用平方根解方程 例4、求下列各式中的x值 （1）169x2=144 （2）（x﹣2）2﹣36=0． 【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体， 移项后，根据平方根定义求解． 【答案与解析】 解：（1）169x2=144， 两边同时除以169，得 144 x2  169开平方，得 x= （2）（x﹣2）2﹣36=0， 移项，得 （x﹣2）2=36 开平方，得 x﹣2=±6， 解得：x=8或x=﹣4． 【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个． 类型三、平方根的应用 例5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米． 求长和宽各是多少米？ 【答案与解析】 解：设宽为x，长为3x， 由题意得，x·3x＝1323 3 ＝1323 x2 x21 x＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米. 【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数. 【巩固练习】 一.选择题 1. 16的平方根是（ ） A.－4 B.4 C.± 4 D. 256 2．下列各数中没有平方根的是（ ） 1 A．32 B．0 C． D．63 8 3．下列各等式中，正确的是（ ） A．﹣ =﹣3 B．± =3 C．（ ）2=﹣3 D． =±34. 要使代数式 有意义，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 5. 下列语句不正确的是（ ） A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数 C．－ 的平方根是±2 D． 是 的一个平方根 22 a a2 6.一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是（ ） A． ＋8 B． －4 C． D． a a a2 8 a2 8 二.填空题 7．计算：（1） ______；（2） ______；（3） ______； 121  256   122  （4） ______；（5） ______；（6） 1 ______． 34  (3)2   2  4 8. 的算术平方根的相反数是________. 25 11 9. 1 的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______． 25 10． 的算术平方根是______； 的算术平方根的相反数是______． (4)2 81 11．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______． 12．已知 ， ，则 = ． 三.解答题 13．求下列各式中的x． （1） ； x2 1431 （2） ； 4x2 10（3） ． 4(x2)2 25 14．小丽想在一块面积为36m2正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为30m2的长 方形纸片，并且使它的长宽的比为2：1．问：小丽能否用这块正方形纸片裁出符合要求的 长方形纸片，为什么？ 15.思考题：估计与 最接近的整数． 35【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数. 2. 【答案】D； 【解析】负数没有平方根. 3. 【答案】A； 【解析】解：A、﹣ =﹣3，故A正确； B、 3，故B错误； C、被开方数是非负数，故C错误； D、 =3，故D错误； 故选：A． 4. 【答案】B； 【解析】被开方数为非负数. 5. 【答案】C； 【解析】－22没有平方根. 6. 【答案】D； 【解析】一个数的算术平方根是 ，则这个数是 . a a2 二.填空题 3 7. 【答案】11；－16；12；9；3； . 2 8. 【答案】 ；  56 9. 【答案】 ；0.01；0. 5 10.【答案】2；－3； 【解析】 ＝4， ＝9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的 (4)2 81 相反数. 11.【答案】16； 【解析】一个数的平方根是±2，则这个数是4，4的平方是16. 12.【答案】578.9； 【解析】解：∵ ， ∴ =578.9． 故答案为：578.9． 三.解答题 13.【解析】 1 5 解：（1）x2 144 （2） x2= （3）x2= 4 2 1 9 1 x12 x x = － ， x = 2 1 2 2 2 14.【解析】 解：不能，设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm，则： 2x•x=30， 2x2=30， x2=15， x= ， 则长方形纸片的长为2 cm， 因为2 ＞6，而正形纸片的边长为 cm=6cm，所以不能裁剪出符合要求的长方形． 15.【解析】 解：∵25＜35＜36 ∴ 25  35  36 即5＜ ＜6 35 ∵35比较接近36，∴ 最接近的整数是6. 35