6.1平方根（能力提升）-七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870499)_初中全科电子版试卷练习试题_数学_7下初中人教版数学练习、试卷_人教数学七年级下课时练习（148份）

第六章 实数 6.1 平方根（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定 x a x2 a x a 0的算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被 a a a a 开方数. 要点诠释：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0. a a a a 2.平方根的定义 如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方 x2 a x a a 与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算 a a  a(a0) a a 术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和  a a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数 没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平 方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质a a0  a2 |a|0 a0  a a0   2 a a a0 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或 者向左移动1位.例如： ， ， ， . 62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 例1、已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是 的整数部分，求 a+b+c的平方根． 【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得 a、b的值；接着估计 的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答 案． 【答案与解析】 解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8； 故a=5，b=2； 又∵2＜ ＜3， ∴c=2， ∴a+b+c=5+2+2=9， ∴9的平方根为±3． 【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能 力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用． 举一反三： 【变式】已知2a－1与－a＋2是m的两个不同的平方根，求m的值. 【答案】2a－1与－a＋2是m的平方根，所以2a－1与－a＋2互为相反数. 解：当2a－1＋（－a＋2）＝0时，a＝－1， 所以m＝2a12 [2(1)1]2 32 9例2、x为何值时，下列各式有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) x1． x2 x4 x1 1x x3 【答案与解析】 解：(1)因为 ，所以当 取任何值时， 都有意义． x2 0 x x2 (2)由题意可知： ，所以 时， 有意义． x40 x4 x4 x10 (3)由题意可知： 解得： ．所以 时 有意  1 x1 1 x1 x1 1x 1x0 义． x10 (4)由题意可知： ，解得 且 ．  x1 x3 x30 所以当 且 时， x1有意义． x1 x3 x3 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只 有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时， 式子才有意义． 举一反三： 1 1 【变式】已知b4 3a22 23a 2，求  的算术平方根． a b 【答案】 3a20, 2 1 1 3 1 解：根据题意，得 则 ，所以 ＝2，∴ ，  a b    2 23a0. 3 a b 2 2 ∴ 1 1 的算术平方根为 1 1 ．    2 a b a b 类型二、平方根的运算 例3、求下列各式的值． (1) ；(2) 1 1 1 ． 252 242 32 42 20  0.36 900  4 3 5【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】 解：(1) ； 252 242 32 42  49 25 7535   (2) 1 1 1 81 1 1 9 ． 20  0.36 900   0.6 30  0.261.7 4 3 5 4 3 5 2 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算 按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直 a2 a(a 0) 接根据 来解． 类型三、利用平方根解方程 例4、求下列各式中的x. （1） x2 3610; （2）x12 289 ； （3） 93x22 640 【答案与解析】 解：（1）∵ x2 3610 ∴ x2 361 ∴ x 36119 （2）∵x12 289 ∴ x1 289 ∴x＋1＝±17 x＝16或x＝－18. （3）∵ 93x22 64064 ∴ 3x22  9 8 ∴3x2 3 2 14 ∴x 或x 9 9 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法. （2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三： 【变式】求下列等式中的x： （1）若 ，则 ＝______； （2） ，则 ＝______； x2 1.21 x x2 169 x 9 （3）若x2  ,则x＝______； （4）若x2 22 ，则x＝______． 4 3 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3） ；（4）±2. 2 类型四、平方根的综合应用 例 5 、 已 知 、 是 实 数 ， 且 ， 解 关 于 的 方 程 a b 2a6|b 2|0 x ． (a2)xb2 a1 【答案与解析】 解：∵ 、 是实数， ， ， ， a b 2a6|b 2|0 2a6 0 |b 2|0 ∴ ， ． 2a60 b 2 0 ∴ －3， ． a b 2 把 －3， 代入 ，得－ ＋2＝－4，∴ ＝6． a b 2 (a2)xb2 a1 x x a 【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出 、b的 值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需 令每项分别等于零即可． 举一反三：【变式】若 x2 1 y10 ，求 x2011 y2012的值． 【答案】 解：由 x2 1 y10 ，得 x2 10 ，y10，即 x1 ，y 1． ①当 ＝1， ＝－1时， ． x y x2011 y2012 12011(1)2012 2 ②当 ＝－1， ＝－1时， ． x y x2011 y2012 (1)2011(1)2012 0 例6、小丽想用一块面积为400 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2 的长方形纸片，使它长宽之比为 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求 cm2 3:2 的长方形纸片. 【答案与解析】 解：设长方形纸片的长为3x (x＞0) cm，则宽为2x cm，依题意得 3x2x300. . 6x2 300 . x2 50 ∵ x＞0， ∴ . x 50 ∴ 长方形纸片的长为 . 3 50 cm ∵ 50＞49, ∴ . 50 7 ∴ , 即长方形纸片的长大于20 . 3 50 21 cm 由正方形纸片的面积为400 cm2, 可知其边长为20cm , ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 cm 20 的正方形纸片裁出长方形纸片. 举一反三： 【变式】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形 空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的 倍，篮球场的四周必 须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 【答案】 28 解：设篮球场的宽为xm，那么长为 xm， 15 由题意知 ， 所以x2=225， 因为x为正数， 所以x= =15， 又因为 =900＜1000， 所以按规定在这块空地上建一个篮球场． 【提升练习】 一.选择题 1．下列说法中正确的有（ ）． ①只有正数才有平方根． ② 是4的平方根． ③ 的平方根是 ． 2 16 4 ④ 的算术平方根是 ． ⑤ 的平方根是 ．⑥ ． a2 a (6)2 6 9 3 A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 2．若 ＝ －4，则估计 的值所在的范围是（ ） m 40 m A．1＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. 3＜m＜4 D. 4＜m＜5 3. 试题下列说法中正确的是（ ） A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4 C. 是6的平方根 D.－ 没有平方根 6 a4. 能使x－3的平方根有意义的x值是（ ） A. x＞0 B. x＞3 C. x≥0 D. x≥3 5.若 =a，则a的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．0或1 D．±1 2013  x 6. 若x，y为实数，且|x＋1|＋ y1＝0，则 的值是（ ）    y A.0 B.1 C.－1 D.－2011 二.填空题 7. 若 ，则 ＝__________. 10404 102 1.0404 8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和5cm的正方形的面积的和，则 这个正方形的边长为 ________. 16 1 9. 下列各数：81， ，1.44，2 ， 81的平方根分别是_______________；算术 25 4 平方根分别是_______________. 10．（1） 的平方根是________； 52 （2）52的平方根是________，算术平方根是________； （3） 的平方根是________，算术平方根是________； x2 （4）x22的平方根是________，算术平方根是________． 11．已知 ，求a﹣b= ． 12. 若 ，则 ____________. 三.解答题 13．x为何值时，下列各式有意义？ （2） （3） （4） (1) 2x; x; x2; x1.14.已知：|x﹣1|+（y﹣2）2+ =0，求x+y+z值的平方根． 15. 如 图 ， 实 数 a， b对 应 数 轴 上 的 点 A 和 B ， 化 简 a2  b2  (ab)2  (ab)2 【答案与解析】 一．选择题 1. 【答案】A； 【解析】只有②是正确的. 2. 【答案】B； 【解析】 ，所以2＜ －4＜3 . 6 40 7 40 3. 【答案】C； 【解析】A.∵4是16的算术平方根，故选项A错误；B.∵16的平方根是±4，故选项B 错误；C.∵ 是6的一个平方根，故选项C正确；D.当 ≤0时，－ 也有平方根，故选 6 a a 项D错误． 4. 【答案】D； 【解析】要使x－3的平方根有意义，∴x－3≥0，即x≥3． 5. 【答案】C；【解析】解：∵ =a， ∴a≥0． 当a=0时， =a； 当0＜a＜1时， ＞a； 当a=1时， =a； 当a＞时， ＜a； 综上可知，若 =a，则a的值为0或1． 故选C． 6. 【答案】C； 2013  x 【解析】x＋1＝0，y－1＝0，解得x＝－1；y＝1． ＝－1.    y 二.填空题 7. 【答案】1.02； 【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位. 8. 【答案】 ； 34 cm 【解析】这个正方形的边长为 . 32 52  34 4 3 4 3 9. 【答案】±9；± ；±1.2；± ；±3；9； ；1.2； ；3. 5 2 5 2 10.【答案】（1）±5；（2）±5；5；(3）±x，|x|；（4）±（x＋2）,| x＋ 2|； 【解析】 . a2 |a| 11.【答案】－8； 【解析】解：根据题意得，a+3=0，b﹣5=0， 解得a=﹣3，b=5， 所以，a﹣b=﹣3﹣5=﹣8． 故答案为：﹣8． 12.【答案】 ； x1 2 【解析】 ，x＝ .三.解答题 13.【解析】 解：（1）2x≥0，解得x≥0； （2）－x≥0，解得x≤0； （3） 解得 为一切实数； x2 0, x （4）x－1≥0，解得x≥1. 14.【解析】 解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+ =0， ∴ ， 解得x=1，y=2，z=3， ∴x+y+z=1+2+3=6， ∴x+y+z的平方根为 ． 15.【解析】根据 a2 |a| ∵ a0b且 a  b ∴原式＝－a＋b－(b－a)－(a＋b) ＝－a＋b－b＋a－a－b＝－a－b.