6.4《实数》章末复习（基础巩固）-七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870507)_初中全科电子版试卷练习试题_数学_7下初中人教版数学练习、试卷_数学7下同步练习第5套新

第六章 实数 6.4 《实数》章末复习（基础巩固） 【要点梳理】 要点一：平方根和立方根 类型 平方根 立方根 项目 被开方数 非负数 任意实数 符号表示  a 3 a 一个正数有两个平方根，且互 一个正数有一个正的立方 为相反数； 根； 性质 零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方 负数没有平方根； 根； 零的立方根是零； ( a)2  a(a 0) (3 a)3  a 重要结论 a(a 0) 3 a3  a a2  a   a(a 0) 3 a  3 a 要点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 有理数：有限小数或无限循环小数 实数  无理数：无限不循环小数  按与0的大小关系分： 实数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数． 其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与 之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0； （2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0； a2 （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ). a 0 a0 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、 开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反 而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方 法. 【典型例题】 类型一、有关方根的问题 例1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个 正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个 数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有 （ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B； 【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三： 【变式】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4 2 2 3  5 3 8 2 |2|2 【答案】C； 例2、若 ，则± ＝ 102.0110.1 1.0201 若 ， ，则 3 0.3670  0.7160 3 3.670 1.542 3 367  _____________ 【答案】±1.01；7.16； 【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1 位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点 向右移动1位，变成7.16 【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一 个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位. 类型二、与实数有关的问题 例3、把下列各数填入相应的集合： 2 －1、 3、π、－3.14、 9、 6 2、 、0.7 ． 2 （1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝． 【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】 （1）有理数集合｛－1、－3.14、 、 ｝； 9 0.7 2 （2）无理数集合｛ 3、π、 6 2、 ｝； 2 （3）正实数集合｛ 、π、 、 、 ｝； 3 9 6 2 0.7 2 （4）负实数集合｛ －1、－3.14、 ｝． 2 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见 的无理数形式. 举一反三： 【变式】在实数0、π、 、 、﹣ 中，无理数的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B； 例4、计算（1） 2 3 2163 1000 ( )2 3 （2） 3 26 5 1 (1 )2 27 4 （3） 1 3 5 1 ( )2  (1 )( 1) 3 9 3 【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】 解：（1） 2 ＝ 2 2 3 2163 1000 ( )2 610 16 3 3 33 26 5 1  1 2 1 1 1 （2） 1 (1 )2 ＝ 3         27 4 27  4 3 4 12 1 3 5 1 1 4  2 1 8 1 2 1 （3） ( )2  (1 )( 1) ＝  3       3     . 3 9 3 3 9  3 3 27 3 3 3 【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平 方的方法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三： 【变式】计算(1) 26 3 13 0.0083 0.000216 27 1 (2)  2 3 (4)2 3 (4)3 ( )2  (3)2 2 【答案】 解：(1) 26 3 13 0.0083 0.000216 27 1  3  0.20.06 27 29  150 1 (2)  2 3 (4)2 3 (4)3 ( )2  (3)2 2 1 844 3 4 321336. 例5、已知：（a+6）2+ =0，则2b2﹣4b﹣a的值为 ． 【答案】12． 【解析】 解：∵（a+6）2+ =0， ∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0， 解得，a=﹣6，b2﹣2b=3， 可得2b2﹣4b=6，则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12， 故答案为：12． 【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、 偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于 0． 举一反三： 【变式1】实数 、 在数轴上所对应的点的位置如图所示： 化简 a2 ＋∣ － ∣＝ . 【答案】 解：∵ ＜0＜ , ∴ － ＜0 ∴ a2 ＋∣ － ∣＝－ －( － )＝ －2 . 1 【变式 2】实数 a在数轴上的位置如图所示，则 a,a, ,a2的大小关系是： a ； -1 a 0 1 【答案】 aa2 a； a 类型三、实数综合应用 例6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增 加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？ 【答案与解析】 解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式， 它的边长为 （米）． 150 12.247 由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米， 所以扩建后鱼池的面积为 ≈333.0（平方米）． 答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）． 【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为 150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求． 举一反三： 【变式】一个底为正方形的水池的容积是486 ，池深1.5 ，求这个水池的底边长． 【答案】 解：设水池的底边长为 ，由题意得 x21.5486 x2 324 x18 答：这个水池的底边长为18 . 【巩固练习】 一.选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A．数轴上任一点表示唯一的有理数 B．数轴上任一点表示唯一的无理数 C．两个无理数之和一定是无理数 D．数轴上任意两点之间都有无数个点 2. 的算术平方根是（ ） A．2 B．±2 C． D．± 3．已知 、 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A．若 ＞ ，则 ＞ B．若 ＞｜ ｜，则 ＞ a2 b2 a2 b2 C．若｜ ｜＞ ，则 ＞ D．若 ＞ ，则 ＞ a2 b2 a3 b3 a2 b2 4. 7 ，则 的值是（ ） 3 a  3 a 8 7 7 7 343 A. B.  C.  D.  8 8 8 512 5. 若式子 有意义,则 的取值范围是 ( ). 2x13 1x x1 1 A.x B. x1 C.  x1 D. 以上答案都不对. 2 2 6. 下列说法中错误的是（ ） A. 中的 可以是正数、负数或零. B. 中的 不可能是负数. 3 a a a a C. 数a的平方根有两个. D.数a的立方根有一个. 7. 数轴上A，B两点表示实数 ， ，则下列选择正确的是（ ） A. B. C. D. ab0 8. 估算 的值在 （ ） 19 2 A. 5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 二.填空题 9. 若 的整数部分是 ，则其小数部分用 表示为 ． 2005 a a 10．当 时， 有意义. x 3 x2 11. . 3 (0.125)2  12. 若x12是225的算术平方根，则x的立方根是 . 13. 的平方根是 . 3 343 14.﹣64的立方根与 的平方根之和是 ． 15. 比较大小：1 ， 2 ， 2 1  5  3 3 2 2 2 16. 数轴上离原点距离是 的点表示的数是 . 5 三.解答题 17. 一个正数 的平方根是2a3与5a，则a是多少？18. 已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根． 19. 已知：表示 a、 b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简 ab  ab2 20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题. 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可 2 2 能全部写出来，于是小明用 －1表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 2 2 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数 2 部分，差就是小数部分. 请解答：已知：10＋ ＝ ，其中 是整数，且 ,求 的相反数. 3 x y x 0 y 1 x y【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数. 2. 【答案】C 3. 【答案】B； 【解析】B答案表明 ，故 ＞ . a b,且|a||b| a2 b2 4. 【答案】B；  7 【解析】 3 a  3 a  3     .  8 5. 【答案】A； 6. 【答案】C； 【解析】数 不确定正负，负数没有平方根. 7. 【答案】C； 8. 【答案】B； 【解析】 ， . 4 19 5 6 1927 二.填空题 9. 【答案】 ； 2005a 10.【答案】为任意实数 ； 【解析】任何实数都有立方根. 11.【答案】0.25； 【解析】 . 12.【答案】3；【解析】 －12＝15, ＝27, . 3 27 3 13.【答案】 ；  7 【解析】 ＝7，7的平方根是 . 3 343  7 14.【答案】﹣2或﹣6． 【解析】∵﹣64的立方根是﹣4， =4， ∵4的平方根是±2， ∵﹣4+2=﹣2，﹣4+（﹣2）=﹣6， ∴﹣64的立方根与 的平方根之和是﹣2或﹣6． 15.【答案】＞；＜；＞； 16.【答案】 ；  5 【解析】数轴上离原点距离是 的点有两个，分别在原点的左右两边. 5 三.解答题 17.【解析】 解：∵一个正数 的平方根是2a3与5a， ∴2a3与5a互为相反数， 即2a3＋5a＝0，解得a2. 18.【解析】 解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3， ∴x﹣2=22，2x+y+7=27， 解得x=6，y=8， ∴x2+y2=62+82=100， ∴x2+y2的平方根是±10． 19.【解析】 解：∵ ＜ ＜0 ∴ ab  ab220.【解析】 解：∵11＜10＋ ＜12 3 ∴ ＝11， ＝10＋ －11＝ 3 31 ∴ x y yx 3111 312 .