6.4《实数》章末复习（能力提升）-七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870509)_初中全科电子版试卷练习试题_数学_7下初中人教版数学练习、试卷_数学7下同步练习第5套新

第六章 实数 6.4 《实数》章末复习（能力提升） 【要点梳理】 要点一：平方根和立方根 类型 平方根 立方根 项目 被开方数 非负数 任意实数 符号表示  a 3 a 一个正数有两个平方根，且互 一个正数有一个正的立方 为相反数； 根； 性质 零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方 负数没有平方根； 根； 零的立方根是零； ( a)2  a(a 0) (3 a)3  a 重要结论 a(a 0) 3 a3  a a2  a   a(a 0) 3 a  3 a 要点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 有理数：有限小数或无限循环小数 实数  无理数：无限不循环小数  按与0的大小关系分： 实数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数． 其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与 之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0； （2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0； a2 （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ). a 0 a0 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、 开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反 而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方 法. 【典型例题】 类型一、有关方根的问题 例1、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值． 【思路点拨】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a=0，进而求出a的值，即可得出x的 值． 【答案与解析】 解：∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a=0， 解得：a=﹣2， ∴2a﹣3=﹣7， ∴x=（﹣7）2=49． 【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键． 举一反三： 【变式1】已知 ，求 的平方根。 y  x2  2x 3 yx 【答案】 解：由题意得： x20 解得 ＝2  x 2x0 ∴ ＝3， ， 的平方根为±3. y yx 32 9 yx 【变式2】若3 3x7和3 3y4 互为相反数,试求 的值。 【答案】 解：∵ 和 互为相反数, 3 3x7 3 3y4 ∴3x－7＋3y＋4＝0 ∴3（ ）＝3， ＝1. 例 2、已知 M 是满足不等式 的所有整数 的和，N 是满足不等式  3  a  637 2的最大整数．求M＋N的平方根． x 2 【答案与解析】 解：∵ 的所有整数有－1，0，1，2  3 a 6 所有整数的和M＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵ 37 2≈2，N是满足不等式 37 2的最大整数． x x 2 2 ∴N＝2 ∴M＋N＝4，M＋N的平方根是±2. 【总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出M＋N的平方根． 类型二、与实数有关的问题 例3、已知 是 10 的整数部分， 是它的小数部分，求a3 b32的值． 【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算 的整数部分是3， 10 那么它的小数部分就是 ，再代入式子求值. 【答案与解析】 解：∵ 是 的整数部分， 是它的小数部分， 10 3 10 4 ∴ a 3,b 103 ∴a3 b32 33   1033 2 271017. 【总结升华】可用夹挤法来确定，即看 介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后 10 开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分. 举一反三： 【变式】 若k＜ ＜k+1（k是整数），则k=（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D． 解：∵k＜ ＜k+1（k是整数），9＜ ＜10，∴k=9．例4、阅读理解，回答问题. 在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是 根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种 行之有效的方法：若 － ＞0，则 ＞ ；若 － ＝0，则 ＝ ；若 － ＜0，则 ＜ . 例如：在比较 与 的大小时，小东同学的作法是： ∵ ∴ 请你参考小东同学的作法，比较 与 的大小. 4 3 (2 3)2 【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小. 【答案与解析】  2 解：∵4 3 2 3 4 3(44 33)70 ∴ ＜ 4 3 (2 3)2 【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择. 举一反三： 1 【变式】实数 a在数轴上的位置如图所示，则 a,a, ,a2的大小关系是： a ； -1 a 0 1 【答案】 aa2 a； a 类型三、实数综合应用 例5、已知 、 满足 2a8|b 3|0，解关于x的方程  a2  xb2  a1。 【答案与解析】解：∵ 2a8|b 3|0 ∴2 ＋8＝0, － ＝0,解得 ＝－4, ＝ ，代入方程： 3 3 ∴a2xb2 a1 2x35 x4 【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0解出 、 的值，再解方程. 举一反三： 【变式】设 、 、 都是实数，且满足 (2a)2  a2 bc  c8 0 ， 求代数式2a3bc的值。 【答案】 (2a)2  a2 bc  c8 0 解：∵ a2  ∴ ，解得b4  c8  2a3bc41280 ∴ . 例6、阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算 的近似值. 13 小明的方法： ∵ ，设 （ ）.∴ . 9  13  16 13 3k 0k 1 ( 13)2 (3k)2 4 4 ∴1396kk2.∴1396k .解得 k  .∴ 13 3 3.67. 6 6 问题：（1）请你依照小明的方法，估算 的近似值； 41 （2）请结合上述具体实例，概括出估算 的公式：已知非负整数 、 、 ，若 m a b m ，且 ，则 _________________(用含 、 的代数式表示)； a m a1 ma2 b m  a b（3）请用（2）中的结论估算 的近似值. 37 【答案与解析】 解：（1）∵ ，设 （ ）. 36  41 49 416k 0k 1 ∴ . ( 41)2 (6k)2 ∴ .∴ . 413612kk2 413612k 5 解得 k  . 12 5 ∴ 416 6.42. 12 （2）∵ ，设 （ ）. a m a1 m ak 0k 1 ∴ . ( m)2 (ak)2 ∴ . ma2 2akk2 ∴ . ma2 2ak b 对比ma2 b，b2ak,k  2a b ∴ m a 2a （3） 3762 1, ∴ ， a 6,b1 1 ∴ 37 6 6.083. 12 【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要 b 对比式子，找准 和 ，表示出k  . 2a 【巩固练习】一.选择题 1．已知 、 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A．若 ＞ ，则 ＞ B．若 ＞｜ ｜，则 ＞ a2 b2 a2 b2 C．若｜ ｜＞ ，则 ＞ D．若 ＞ ，则 ＞ a2 b2 a3 b3 a2 b2 2.下列式子表示算术平方根的是 （ ）． ① 32 3 ② 251 5 ③  9  3 10 4 ④  52 5 ⑤  0.010.1 ⑥ a2 aa0 A．①②④ B．①④⑥ C．①⑤⑥ D．①②⑥ 3. 下列说法正确的有（ ） ①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数； ③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数. A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④ 4. 下列语句、式子中 ① 4是16的算术平方根，即 ②4是16的算术平方  16  4. 根，即 ③－7是49的算术平方根，即 ④7是 的算术平方根， 16  4. (7)2  7. 即 其中正确的是（ ） (7)2  7. A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 5. 估计 介于（ ） A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7 与 0.8 之 间 6.下列运算中正确的是（ ） A. B. 4 9  13 （2 8- 2） 2 6  12 C. D. ∣ ∣＝ 4 2 2 3 3 27. 已知: ＝（ ） 3 23.6 2.868，且3 a 28.68,则a A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600 8. －27的立方根与 81 的算术平方根的和是（ ） A．0 B．6 C．6或－12 D．0或6 二.填空题 9. 下列命题中正确的有 (填序号) (1)若 那么 ; (2)两数的和大于等于这两数的差; ab, 2a2b (3)若 那么 ; (4)若 则 ; ab, a2 b2 ab, bc a c (5) (ab)ca(bc) (6)一个数越大,这个数的倒数越小; (7)有理数加有理数一定是有理数; (8)无理数加无理数一定是无理数; (9)无理数乘无理数一定是无理数; 10.若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 ． 11. 若 ，则 ＝ ，若 ，则 ＝ . a2 (3)2 a a3  (3)2 a 12. 已知 : . 23.6 4.858, 2.36 1.536,则 0.00236  13. 若 有意义，则 ________. x   x x1  14. 阅读下列材料：设 …①，则 …②，则由②－①得： x0.3 0.333 10x3.333 1  9x3，即x .所以0.3 0.333… .根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. 3  ＝ ＝ ； 0.7 1.3 61 15. 方程 (12x)3 1的解 ＝ _________ . 6416. 若 则 的值等于_________. 1995a  a1996 a, a19952 三.解答题 17. （2015春•和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣9 （1）求a的值，并求这个正数； （2）求17﹣9a2的立方根． 18. 如图所示，已知A、B两点的坐标分别为 ， ． A( 5,0) B(2,1) （1）求△OAB的面积和△ACB的面积（结果保留一位小数）； （2）比较点A所表示的数与－2.4的大小．     0.6 0.23 0.107 19. 把下列无限循环小数化成分数：（1） （2） （3） 20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题： A 4 1 1 A A 3 5 1 1 A A 6 S 4 S 3 S 2 2 S 5 1 S 1 ..... O A 1 1  2  2 1；  2  2 2 ； 1 1 2  2，S  2 1 3 3，S  1 2 2 2  2  2 3 ； ……，……； 3 1 4  4，S  3 2 （1）请用含n(n为正整数)的等式表示上述变化规律； （2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于 的长度； 7 （4）你能计算出 的值吗？ S2 S2 S2  S2 1 2 3  10【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B； 【解析】B答案表明 ，故 ＞ . a b,且|a||b| a2 b2 2. 【答案】D； 【解析】算术平方根的专用记号是“ ”根号前没有“－”或“±”号. a 3. 【答案】A； 4. 【答案】C； 【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个. 5.【答案】C． 【解析】∵ 2.235，∴ ﹣1≈1.235，∴ ≈0.617，∴ 介于0.6 与0.7之间. 6. 【答案】D； 7. 【答案】D； 【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号， ＝ －23600. 8. 【答案】A；【解析】 ，9的算术平方根是3，故选A. 819 二.填空题 9. 【答案】（1），（4），（5），（7）； 10.【答案】2. 【解析】若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，∴ ，解方程得： ． ∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．8的立方根是2．故答案为：2． 11.【答案】 ； ； 3 3 9 【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根. 12.【答案】0.04858 【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858. 13.【答案】1； 【解析】 ≥0，－ ≥0，得 ＝0，所以 1. x1  7 4 14.【答案】 ; ； 9 3 7 【解析】设 ＝0.777……，10 ＝7.777……，9 ＝7, ＝ .设 ＝ 9 4 1.333……，10 ＝13.333……，9 ＝12, ＝ . 3 1 15.【答案】 ； 8 125 5 1 【解析】 12x3  ,12x ,x . 64 4 8 16.【答案】1996； 【解析】由 得 ≥1996，原式＝ －1995＋ ＝ ， a1996 a1996 ＝1995，两边平方得 ＝1996. a1996 a19952 三.解答题 17.【解析】 解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣9=0，解得a=3， ∴这个正数为32=9； （2）当a=3时，17﹣9a2=﹣64， ∵﹣64的立方根﹣4， ∴17﹣9a2的立方根为﹣4． 18.【解析】 解：（1）∵ ， ， A( 5,0) B(2,1) ∴ ，BC＝1，AC＝OA－OC＝ ． |OA| 5 52 ∴ 1 1 5 ． S  |OA||BC|  51 1.1 OAB 2 2 2 1 1 5 ． S  | AC||BC| ( 52)1 10.1 ACB 2 2 2 （2）点A表示的实数为 ， ．  5  5 2.24 ∵ 2.24＜2.4， ∴ －2.24＞－2.4， 即  5 2.4 19.【解析】   x0.6 6.6 解：(1) 设 ① 则10 ＝ ② ②－①得 9 ＝6  2 0.6 3 ∴ ，即     x0.23 100x23.23 (2) 设 ① 则 ② ②－①，得 99 ＝23   23 0.23 99 ∴ ，即 .    x0.107 1000x107.107 (3) 设 ① 则 ② ②－①，得 999 ＝107，   107 0.107 999 ∴ ，即 . 20.【解析】 解：（1） 2 n ． n 1 n1,S  n 2 （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （3）略． 2 2 2 2  1  2   3  10  55 (4)S 1 2 S 2 2 S 3 2   S 1 2 0   2     2     2      2    4        