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第六章 实数
6.3 实数（能力提升）
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表
示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为
0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
例1、把下列各数分别填入相应的集合内：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 0 ，
0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
… …
有理数集合 无理数集合
【答案与解析】
有理数有： ， ， ， ，0，
无理数有： ， ， ， ， ， ， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 ， ， ，
， .
举一反三：
【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有 ，1.020 020 002…这类的数也是无理
数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才
是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如 ，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如 ，虽然带根号，但 ＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以
实数可以用有限小数和无限小数表示.
类型二、实数大小的比较
例2、比较 与 的大小．
【思路点拨】根据 ， ，则 来比较两个实数的大小．
【答案与解析】
解 ： 因 为 ，
．
所以 ＜
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.
举一反三：
【变式】若两个连续整数x、y满足x＜ +1＜y，则x+y的值是 ．
【答案】7．
解：∵ ，
∴ ，
∵x＜ +1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
类型三、实数的运算
例3、求 的值．
【答案与解析】
解：（1）当 ≥0时， ， ，
所以 ．
（2）当 ＜0时， ， ，
所以 ．
即 值为0或2 ．
【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本
题需要分类讨论．要注意对 的讨论，而开立方不需要讨论符号．
举一反三：
【变式】若 的两个平方根是方程 的一组解．
（1）求 的值；
（2）求 的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵ 的平方根是 的一组解，则设 的平方根为 ， ，则根据题意得： 解得
∴ 为 ．
（2）∵ ．
∴ 的算术平方根为4．
类型四、实数的综合运用
例4、已知 ，且 ，求 的值．
【答案与解析】
解：∵ ，且 ， ．
∴ ，即 ， ．
解得 ＝3， ＝5， 得 ＝64．
∴ ．
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由 ，
可求 、 ，又 ，所以 ＝64，则 可求．
举一反三：
【变式】已知 ，求 的值．
【答案】
解：知条件得 ，
由②得 ， ，∵ ，∴ ，则 ．
把 代入①得 ， ＝1．∴ ．
例5、如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周
长C=2πr）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是
；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，
依次运动情况记录如下：
+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【答案与解析】
解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数
是﹣2π；
故答案为：﹣2π；
（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；
②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，
Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；
（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，
1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．
【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利
用数轴得出对应数是解题关键．
【提升练习】一.选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0
C．4的平方根是2 D．﹣3的相反数是3
2. 三个数 ，－3， 的大小顺序是（ ）．
A． B．
C． D．
3. 要使 ， 的取值范围是（ ）．
A． ≤3 B． ≥3 C．0≤ ≤3 D．一切实数
4. 估算 的值在（ ）．
A．7和8之间 B．6和7之间 C．3和4之间 D．2和3之间
5. 若 ， 、 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ）
A. B. 与 C. 与 D. 与
6. 实数 、 、 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A． ＞0 B． ＜0 C． D．
二.填空题
7． ，3.33……， ， ， ， ，
， ，中，无理数的个数是 个.
8. ＜0时，化简 ＝________.
9. 计算： ＝__________．10. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和 ，点B关于点A的对称点为
C，则点C所表示的数为 ．
11. 若 ，求 的值.
12. 当 时, 有最大值,最大值是 ________.
三.解答题
13．（1）求出下列各数：①2的平方根； ②﹣27的立方根； ③ 的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上．
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
14. 已 知 实 数 、 、 满 足 ， 求
的值；15. 已知 是 的算术平方根， 是
的立方根，求B－A的平方根．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D
【解析】A、|﹣2|=2，错误；B、0没有倒数，错误；C、4的平方根为±2，错误；
D、﹣3的相反数为3，正确.
2. 【答案】B；
【解析】 ．
3. 【答案】D；
【解析】本题主要考查立方根的性质，即 ．因为 ，所以
可取一切实数．
4. 【答案】D；
【解析】 ， ，所以选D.
5. 【答案】C；
【解析】 ＋ ＝0， ＝－ ，所以 ，所以 ＋ ＝0.
6. 【答案】B；
【解析】从数轴上可以看出－3＜ ＜－2，－2＜ ＜－1，0＜ ＜1，所以很明显
＜0.
二.填空题
7. 【答案】4；
【解析】 ， ， ， 为无理数.8. 【答案】0；
【解析】∵ ，∴ ．
9. 【答案】 ；
【解析】 ．
10.【答案】﹣ ﹣2．
【解析】如图， ∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和 ，
∴AB= ﹣（﹣1）= +1，∵点B关于点A的对称点为C，∴AC= +1，
∴点C所表示的数为﹣（ +1）﹣1=﹣ ﹣2．
11.【答案】1；
【解析】 ∴ ，∴ .
12.【答案】±2；3；
【解析】当 时， 有最大值3.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）2的平方根是 ，﹣27的立方根是﹣3， 的算术平方根2；
（2）如图：
（3）﹣3＜﹣ ＜ ＜2．
14.【解析】
解：∵ ， ， ．
由题意，得方程组， 解得 ．
∴ ＝ .
15.【解析】
解：∵ 是 的算术平方根， 是 的
立方根，
∴ ，
解得
∴A＝1，B＝2，B－A＝1
∴B－A的平方根＝±1．
