文档内容
第六章 实数
6.3 实数（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表
示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为
0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
例1、指出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后
结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代
数式也是无理数.
【答案与解析】有理数有
无理数有 ……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 ， ， ，
.
举一反三：
【变式】在下列语句中：
①无理数的相反数是无理数；
②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；
④无限小数不一定是无理数．
其中正确的是（ ）
A．②③B．②③④ C．①②④ D．②④【答案】C；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正
确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；
④无限循环小数是有理数，故本选项正确．
类型二、实数大小的比较
例2、比较 和0.5的大小．
【答案与解析】
解：作商，得 ．
因为 ，即 ，所以 ．
【总结升华】根据若 ， 均为正数，则由“ ， ， ”分别得到结论
“ ， ， ，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商
法等，根据具体情况选用适当的方法.
举一反三：
【变式】比较大小
【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
例3、实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c【答案】D；
【解析】
解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，
∴A、ac＜bc，故A选项错误；
B、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|=b﹣a，故B选项错误；
C、∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，
∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．
故选：D．
【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解
答此题的关键．
类型三、实数的运算
例4、化简：
(1)
(2)
(3)
【答案与解析】
解：
.
【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及
运算性质等同样适用.
例5、若 ，则 ________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中 ，b，c的值.
【答案】3；
【解析】
解：由非负数性质可知： ，即 ，∴ ．
【总结升华】初中阶段所学的非负数有| |， ，非负数的和为0，只能每个非
负数分别为0 .
举一反三：
【变式】已知 ，求 的值．
【答案】
解：由已知得 ，解得 ．
∴ ＝ .
【巩固练习】
一.选择题
1.实数 ，0，﹣ π， ，﹣ ，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个
1），其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
2. 下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数
B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数
D．带根号的数都是无理数
3.估计 的大小应在（ ）
A．7～8之间 B．8.0～8.5之间
C．8.5～9.0之间 D．9～10之间4.如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）.
A． B． C． D．
5. 实数 和 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个正方体水晶砖，体积为100 ，它的棱长大约在（ ）
A．4～5 之间 B．5～6 之间
C．6～7 之间 D．7～8 之间
二.填空题
7.在 ， ， ， ， 这五个实数中，无理数是_________________．
8.在数轴上与1距离是 的点，表示的实数为______．
9.｜3.14－π｜＝______； ______．
10. 的整数部分是________，小数部分是________．
11.已知 为整数，且满足 ，则 ________．
12. ﹣ 的相反数是 ， ﹣2的绝对值是________， 的立方根是 ．
三.解答题
13．化简：| ﹣ |﹣|3﹣ |．14. 天安门广场的面积大约是440000 ，若将其近似看作一个正方形，那么它的边
长大约是多少？（用计算器计算，精确到 ）
15. 已知 求 的值．【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B．
【解析】在实数 ，0，﹣ π， ，﹣ ，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多
一个1）中，无理数有：﹣ π，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共2个.
2. 【答案】A；
【解析】根据无理数的定义作答.
3. 【答案】C；
【解析】 ，因为76比较接近81，所以 在8.5
～9.0之间.
4. 【答案】B；
【解析】2＜ ＜3
5. 【答案】C；
【解析】 .
6. 【答案】A；
【解析】 .
二.填空题
7． 【答案】 ， ；
8. 【答案】 ；
【解析】与 1的距离是 的点在 1的左右两边各有一个点，分别是 、
.
9. 【答案】π－3.14； .
【解析】负数的绝对值等于它的相反数.10.【答案】2； ；
【解析】 ，故整数部分为2， －2为小数部分.
11.【答案】 －1, 0, 1；
12.【答案】 ；2﹣ ；2．
三.解答题
13.【解析】
解：| ﹣ |﹣|3﹣ |
= ﹣（3﹣ ）
=2 ﹣ ﹣3．
14.【解析】
解：设广场的边长为 ，由题意得：
440000
＝ ≈663 .
答：它的边长约为663m.
15.【解析】
解：∵
∴ －2＝0且 ＝0
解得 ＝2， ＝－3，
∴ ＝2－3＝－1.
