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13.3等腰三角形
13.4课题学习 最短路径问题
专题一 等腰三角形的性质和判定的综合应用
1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经
过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；② DE=BD+CE； ③△ADE的周长
=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)
2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，
AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．
3．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE 是∠ABC 的平分线，
DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二 等边三角形的性质和判定
4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接
OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长
是__________．
5．如图．在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O，且 OD∥AB，
OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，
沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到
达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，
请求出此时M、N运动的时间．专题三 最短路径问题
7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线 a表示输水总管道，直线b表示
输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到
A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，
点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的
对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（
）
A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E
8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给 A、B两个超市配货，那么这
个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)
状元笔记
【知识要点】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线
合一”)．
2．等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4．直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【温馨提示】
1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述
结论不一定成立．
2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一
个锐角等于30°．
【方法技巧】
1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相
等时，可尝试用“等边对等角”．
2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条
线段相等时，可尝试用“等角对等边”．
3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之
间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案:
1．①②③ 解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分
线，CF 是∠ACB 的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，
∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC 都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有
DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述
命题①②③正确．
2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵BE=CF，
∴△BDE≌△CEF．
∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．
1 1
(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C= (180°－∠A)= (180°－40°)=70°．
2 2
∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．
∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．
(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．
∴∠EDF+∠EFD=120°．
3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．
（2）AD与BE垂直．
证明：∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A、D是对称点．
∴AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE=DE．
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
AE=DE，
BE=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴AB=BD．
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠C=45°．
又∵ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形．
∴DE=DC．
即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6 解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角
形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA－60°．∴△OPA≌△PDB．
∵AO=3，
∴AO=PB=3，∴AP=6．
5．解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．
∴△ODE是等边三角形．
（2）BD=DE=EC．
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°．
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°．
∴∠DBO=∠DOB．
∴DB=DO．
同理，EC=EO．
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．
6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12．
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12－2t．
解得t=4．
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM．∴∠AMN=∠ANM．
∴∠AMC=∠ANB．
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形．
∴∠C=∠B．
在△ACM和△ABN中，
AC AB，
∠C ∠B，
∠AMC ∠ANB，
∴△ACM≌△ABN．
∴CM=BN．
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．
y－12=36－2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运
动的时间为16秒．
7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对
称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的
交点C．故选A．
8．解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C
处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.
