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第九章 不等式与不等式（组）
9.2 一元一次不等式的解法（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
是一个一元一次不等式．
要点诠释：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1．
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都
是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方
向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：
（或 ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；
(4)化为 （或 ）的形式（其中 ）；(5)两边同除以未知数的系数，得到
不等式的解集.
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，
它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
例1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？
（1） （2） （3） （4） （5）
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．
【答案与解析】
解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分
母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，
（5）不是不等式，是一元一次方程．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不
含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
类型二、解一元一次不等式
例2.解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分
数线兼有括号的作用．
【答案与解析】
解：将分母变为整数，得：
去分母，得：
去括号，合并同类项，得：
系数化1，得：
这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．
举一反三：
【变式】解不等式：
【答案】
解：去括号，得
移项、合并同类项得：
系数化1，得
故原不等式的解集是
例3.m为何值时，关于x的方程： 的解大于1？
【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
由
解得m＞2
【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的
范围．
举一反三：
【变式】已知关于 方程 的解是非负数， 是正整数，则
．
【答案】1或2
例4.已知关于 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围．
【思路点拨】先解出方程组再解不等式．
【答案与解析】解：由 ，解得：
∵
∴
解得
∴ 的取值范围为
【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出 的具体值．
类型三、解含字母的一元一次不等式
例5．解关于x的不等式：(1-m)x>m-1
【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化 1即可，两边同时除以
（1-m），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方
向得改变，这里1-m的符号我们不知道，故需分类讨论．
【答案与解析】
解：当1- m ＞0即 m ＜1时，原不等式的解集为：x＞-1；
当1- m ＜0即m ＞1时，原不等式的解集为：x＜-1；
当1-m=0即m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．
【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：
若ax＞b（a≠0），
当 时，不等式的解集是 ；
当 时，不等式的解集是 ．
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式m（x-2）＞x-2.
【答案】
解: 化简，得（m-1）x＞2（m-1），
① 当m-1＞0时，x＞2；
② 当m-1＜0时，x＜2；
③ 当m-1=0时，无解.
【变式2】已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是______．
【答案】﹣3≤a＜﹣2．类型四、逆用不等式的解集
例6.如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是
．
【思路点拨】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，从而来
求得a的值．
【答案】a＜﹣1
【解析】
解：∵（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1．
【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1＜0．
举一反三：
【变式】已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为 ．
【答案】15.
【解析】解：3x﹣a≤0，
x≤ ，
∵不等式的解集为x≤5，
∴ =5，
解得a=15．
故答案为：15．
【巩固练习】
一、选择题
1．已知关于x的不等式 是一元一次不等式，那么m的值是 ( ) .
A．m＝1 B．m＝± 1 C．m＝-1 D．不能确定
2．由 得到 ，则a应该满足的条件是（ ）.A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为任意实数
3．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（ ）
A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2
4．不等式 的解集是 ，则a为（ ）.
A．-2 B．2 C．8 D．5
5．如果1998a+2003b=0，那么ab是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
6.关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值是 （ ）.
A．0 B．2 C． -2 D．-4
二、填空题
7．若 为非负数，则 的解集是 .
8．不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是 ．
9．比较大小： ________ .
10．已知-4是不等式 的解集中的一个值，则 的范围为________.
11．若关于x的不等式 只有六个正整数解，则a应满足________.
12.已知 的解集中的最小整数为 ，则 的取值范围是 .
三、解答题
13．若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．
14. 适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：
（1）x只有一个整数解；
(2) x一个整数解也没有．15.当 时，求关于x的不等式 的解集．
16.已知关于x的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数．
（1）求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，解关于x的不等式2（x﹣2）＞mx+3．
答案与解析
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】 ，所以 ；
2. 【答案】C；
【解析】由 得到 ，不等式两边同乘以 ，不等号方向没变，所以；
3. 【答案】D；
【解析】不等式x﹣b＞0，解得：x＞b，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2
故选D．
4. 【答案】A；
【解析】由 ，可得 ，它与 表示同一解集，所以
，解得 ；
5. 【答案】B；
【解析】1998a+2003b=0，可得 均为0或 异号；
6. 【答案】A；
【解析】因为不等式 的解集为 ，再观察数轴上表示的解集为
，因此 ，解得
二、填空题
7. 【答案】 ；
【解析】 为非负数，所以 ， 解得： .
8. 【答案】3；
【解析】不等式的解集是x＜4，
故不等式5x﹣3＜3x+5的正整数解为1，2，3，
则最大整数解为3．故答案为：3．
9. 【答案】＞；
【解析】 ，
所以 .10．【答案】 ；
【解析】将-4代入得： ，所以 .
11.【答案】 ；
【解析】由已知得： ， ，即 .
12.【答案】
【解析】画出数轴分析得出正确答案.
三、解答题
13.【解析】
解：
∴(－m2－1)x＞n ，
两边同除以负数（－m2－1）得： .
∴原不等式的解集为： .
14.【解析】
解：(1) ；(2) ．
15.【解析】
解：
．
16.【解析】解：（1）方程4x+2m+1=2x+5的解是：x=2﹣m．
由题意，得：2﹣m＜0，
所以m＞2．
（2）2（x﹣2）＞mx+3，
2x﹣4＞mx+3，
2x﹣mx＞3+4，
（2﹣m）x＞7，
因为m＞2，
所以2﹣m＜0，
所以x＜ ．
