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第九章 不等式与不等式（组）
9.2 一元一次不等式的解法（基础巩固）
【要点梳理】
知识点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，
是一个一元一次不等式．
要点诠释：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1．
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，“左边”和“右边”都
是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方
向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：
（或 ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；
(4)化为 （或 ）的形式（其中 ）；(5)两边同除以未知数的系数，得到
不等式的解集.
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，
它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
例1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些?
(1)3x+5＝0 (2)2x+3＞5 (3) (4) ≥2 (5)2x+y≤8
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整
式；(5)含有两个未知数．
【答案与解析】
解：(2)、(3)是一元一次不等式．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不
含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
类型二、解一元一次不等式
例2.解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．
【答案与解析】
解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，
移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，
合并同类项，得﹣x≥1，
系数化为1，得x≤﹣1，
这个不等式的解集在数轴上表示为：
【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．
举一反三：
【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为 ( )【答案】C
例3.解不等式： ≤ ﹣1，并把解集表示在数轴上．
【思路点拨】按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同
时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．
【答案与解析】
解：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，
去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，
移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，
合并同类项得，﹣x≤﹣2，
把x的系数化为1得，x≥2．
在数轴上表示为：
．
【总结升华】去分母时，不要漏乘没有分母的项．
举一反三：
【变式】若 , ,问x取何值时， ．
【答案】
解：∵ , ,
若 ，
则有
即
∴当 时， ．
例4.关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1，则a的值是_________．
【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为
x≤-1即可得到关于a的方程，解方程即可求解．
【答案】－１【解析】由已知得： ，由 ，得 ．
【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．
举一反三：
【变式 1】如果关于 x 的不等式(a+1)x＜a+1 的解集是 x＞l，则 a 的取值范围是
________．
【答案】
【变式2】已知关于x的方程 的解是非负数，m是正整数，求m的值．
【答案】
解：由 ，得x＝ ，
因为x为非负数，所以 ≥0，即m≤2，
又m是正整数，
所以m的值为1或2．
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）A.5+4＞8 B.2x－1 C.2x≤5 D. －3x≥0
2．已知a＞b，则下列不等式正确的是
A．-3a＞-3b B．
C．3-a＞3-b D．a-3＞b-3
3．由x＞y得ax＜ay的条件应是
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．b≤0
4.不等式3x≤2（x﹣1）的解集为（ ）
A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2
5.不等式 的非负整数解有 （ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.不等式 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
二、填空题
7．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质：
(1)如果x+2＞5，那么x_______3；根据是_______．
(2)如果 ，那么a_______ ；根据是________．
(3)如果 ，那么x________ ；根据是________．
(4)如果x-3＜-1，那么x_______2；根据是________．
8. 不等式 ＞x﹣1的解集是 ．
9. 代数式 的值不小于代数式 的值，则 的取值范围是 ．
10.不等式 的非负整数解为 ．
11.满足不等式 的最小整数是 ．
12.若m＞5，试用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集______．
三、解答题
13．（1）解不等式3（2y﹣1）＞1﹣2（y+3）；（2）解不等式 ≥ +1，并把它的解集在数轴上表示出来．
14．a取什么值时，代数式3－2a的值：
(1)大于1？ (2)等于1？ (3)小于1？
15．y取什么值时，代数式2y－3的值：
(1)大于5y－3的值？
(2)不大于5y－3的值？16．求不等式64－11x＞4的正整数解．
答案与解析
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】考查一元一次不等式的概念；
2. 【答案】D；
【解析】考查一元一次不等式的性质；3. 【答案】B；
【解析】考查一元一次不等式的性质；
4. 【答案】C；
【解析】去括号得，3x≤2x﹣2，
移项、合并同类项得，x≤﹣2，故选：C．
5. 【答案】C；
【解析】先求得解集为 ，所以非负整数解为：0,1,2；
6. 【答案】B；
【解析】解原不等式得解集： ．
二、填空题
7. 【答案】(1)＞，不等式基本性质1；(2)＞，不等式基本性质3； (3)＜，不等式
基本性质2；(4)＜，不等式基本性质1；
8.【答案】 x＜4 ；
【解析】去分母得1+2x＞3x﹣3，
移项得2x﹣3x＞﹣3﹣1，
合并得﹣x＞﹣4，
系数化为1得x＜4．
9.【答案】 ；
【解析】由题意得 ，解得
10．【答案】0，1，2；
【解析】解不等式得
11.【答案】5；
【解析】不等式 的解集为 ，所以满足不等式的最小整数是5.
12.【答案】 ．
【解析】∵ ，∴ ，所以(5－m)x＞1－m，可得：
三、解答题
13.【解析】
解：（1）去括号，得：6y﹣3＞1﹣2y﹣6，
移项，得：6y+2y＞1﹣6+3，合并同类项，得：8y＞﹣2，
系数化成1得：y＞﹣ ；
（2）去分母，得：﹣2（2x﹣1）≥﹣3（2x+1）+6，
去括号，得：﹣4x+2≥﹣6x﹣3+6，
移项，得：﹣4x+6x≥﹣3+6﹣2，
合并同类项，得：2x≥1，
系数化为1得：x≥ ．
-2 -1 0 1 1 2
2
14.【解析】
解：(1)由3-2a＞1，得a＜1；
(2)由3-2a＝1，得a =1；
(3)由3-2a＜1，得a＞1．
15.【解析】
解：(1)由2y-3＞5y-3，得y＜0；
(2)由2y-3≤5y-3，得y≥0．
16.【解析】
解：先解不等式的解集为x＜ ,
所以正整数解为1，2，3，4，5．
