文档内容
第 10 讲 一元一次不等式组（5 个知识点+5 种题型
+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组
但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等
式的个数可以是两个及以上的任意几个．
知识点2．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组
成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，
再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点3．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集
的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再
根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等
关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不
大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类
题目．
知识点5．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
知识复习
一．一元一次不等式组的定义（共5小题）
1．（2021春•游仙区校级期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【解答】解： ．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
．是分式不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题
的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等
式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
2．（靖江市校级月考）有甲、 乙、 丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等
式组， 他们各说出该不等式组的一个性质：
甲： 它的所有的解为非负数；
乙： 其中一个不等式的解集为 ；
丙： 其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向 ．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组 （答 案不唯一） ．
【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数， 所以其中一个不等式的解集
必为 ，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向， 所以其
中一个不等式中 的系数为负数， 根据这两个条件写出符合条件的一元一次
不等式组即可 ．
【解答】解： 一元一次不等式组的解集为非负数，
其中一个不等式的解集必为 ，
一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，
其中一个不等式中 的系数为负数，
符合条件的一元一次不等式组可以为： （答 案不唯一） ．
故答案为： （答 案不唯一） ．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质， 此题属
开放性题目， 答案不唯一 ．3．我们把两个（或两个以上）的 一元一次不等式合在一起 ，就组成了一个一元一次不
等式组．
【分析】直接根据一元一次不等式组的定义解答．
【解答】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次
不等式组．
故空中填：一元一次不等式合在一起．
【点评】类比二元一次方程组的定义，可熟记一元一次不等式组的定义．
4．下列选项中，是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式组中，只能有一个未知数，而且未知数的最高次数为 1，分
别判断每个选项中未知数的个数和未知数的最高次数即可．
【解答】解： ，不等式 中未知数的最高指数为2，不是一元一次不等式组，故
本选项不符合题意；
，满足一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
，含不等式 中有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
，不等式组中有2个未知数 、 ，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查一元一次不等式组，之正确掌握一元一次不等式组的定义是解题关键．
5 ． 写 出 一 个 解 集 在 数 轴 上 如 图 所 示 的 不 等 式 组 ： ．
【分析】由图示可看出，从 出发向右画出的折线且表示 的点是空心圆，表示 ；从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示 ，所以这个不等式组的解集为
，只要解集为 的不等式组皆可．
【解答】解： ．
答案不唯一
【点评】本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上
表示出来 ， 向右画； ， 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴
的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．
有几个就要几个．在表示解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“ ”，“ ”
要用空心圆点表示．
二．解一元一次不等式组（共9小题）
6．（2024•南阳模拟）不等式组 的解集为 ．
【分析】先分别解两个不等式得 和 ，然后利用大小小大中间找确定不等式组的
解集．
【解答】解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
所以不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不
等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
7．（2023•崇川区校级三模）已知点 在第三象限，则 的取值范围是．
【分析】根据点 的位置可得 ，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行
计算即可解答．
【解答】解： 点 在第三象限，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
原不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2024•光明区二模）把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据解不等式组的方法，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集在数轴上的
表示方法，可得答案．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，
在数轴上表示如下：故选： ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集，熟练掌握解一元一次
不等式组的步骤，学会在数轴上表示不等式组的解，是解题的关键．
9．（2024•永善县一模）若关于 的不等式组 的解集为 ，则 的取值范围
是
A． B． C． D．
【分析】先解不等式式组，再根据解集的情况，得到 的不等式，求解即可．
【解答】解： ，得： ，
不等式组 的解集为 ，
；
故选： ．
【点评】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，熟练掌握解不等式组是解答
本题的关键．
10．（2024•叙州区校级一模）对于实数 ，符号 可表示不超过 的最大整数，如
， ．若 有正整数解，则正实数 的取值范围是 或
．
【分析】根据新定义得到 ，进而求出 ，由 有正整
数解，且 为正实数，得到 ，则有 和 ，据此讨论求解即可．【解答】解： ，
，
，
，
有正整数解，且 为正实数，
，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
，
，
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，新定义，理解新定义是关键．
11．（2023春•武汉期末）已知关于 的不等式组 ，下列四个结论：
①若它的解集是 ，则 ；
②当 ，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则 的取值范围是 ；
④若它有解，则 ．
其中正确的结论个数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含 的式子表示，根据整数解的个数
就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 的不等式组，从而求出 的范围．
【解答】解： ，
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集为 ，
① 它的解集是 ，
，
解得 ，故原结论正确；
② ，
，
故不等式组无解，故原结论错误；
③ 它的整数解仅有3个，
，
解得 ．
则 的取值范围是 ，故原结论错误；
④ 不等式组有解，
，
，原结论正确．
所以正确的结论个数是2个．
故选： ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一
个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
的原则是解答此题的关键．12．（2023春•彭山区校级期中）已知关于 、 的方程组 的解均为非负数，
（1）求 的取值范围；
（2）化简： ．
【分析】（1）解方程组，然后根据解为非负数得到关于 的不等式组，再求解不等式组即
可．
（2）根据（1）求出 的取值范围，化简绝对值计算即可就
【解答】解：（1） ，
① ②得， ，解得 ③，
将③代回②中得， ，解得
方程组的解为 ．
关于 、 的方程组的解均为非负数，
，
解得 ；
（2） ，
， ，
．
【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组以及绝对值的化简，解题关键
是熟知解方程组和不等式组的基本步骤．
13．（2023•雁塔区校级模拟）解一元一次不等式组 ，并把解表示在数轴上．
【分析】分别解两个不等式得到 和 ，再利用大小小大中间找确定不等式组的解
集，然后利用数轴表示它的解集．
【解答】解： ，
解①得 ，
解②得 ，
所以不等式组的解集为 ．
解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等
式的解集，再求出这些解集的公共部分．
14．（2023•银川校级二模）解不等式组 并写出它的解集在数轴上表示出
来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等
式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
将不等式的解集表示在数轴上为：不等式组的解集为： ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解
题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键．
三．一元一次不等式组的整数解（共9小题）
15．（2023春•新泰市期末）已知关于 的不等式 整数解共有2个，若 为整数，
则
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由 得 ，由 得 ，根据不等式组有2个整数解知 ，
结合 为整数可得答案．
【解答】解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
不等式组有2个整数解，
不等式组的整数解为2、3，
，
又 为整数，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式
的能力．
16．（2023春•沈丘县月考）若整数 使关于 的不等式组 有4个整数解，且使关于 、 的方程组 的解为整数，那么满足条件的整数 的值为 ．
【分析】解含参的不等式组及方程组，结合题意确定 的值，然后将它们相乘计算即可．
【解答】解： ，
解第一个不等式可得： ，
解第二个不等式可得： ，
原不等式组有4个整数解，分别为2，1，0， ，
，
解得： ；
，
由②得： ③，
将③代入①得： ，
解得： ，
且 为整数，
且它为整数，
原方程组的解为整数，
，
解得： ，
即当 时， ，
满足条件的整数 的值为 ．
故答案为： ，
【点评】本题考查解含参的一元一次不等式组及二元一次方程组确定参数的值，解不等式和方程组，并结合已知条件确定 的取值是解题的关键．
17．（2023春•牟平区期末）关于 的不等式组 恰有3个整数解，则 的取值范
围是 ．
【分析】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定 的范围．
【解答】解： ，
解①得： ，
解②得： ．
不等式组恰有3个整数解，
不等式组的整数解是：1，2，3．
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18．（2023春•道外区校级期中）不等式组 的最小整数解为 3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
所以不等式组的最小整数解为3，故答案为：3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关
键．
19．（2023春•合阳县期末）对于任意实数 、 ，定义一种运算： ，
如： ，请根据以上定义解决问题：若关于 的不等式组 有2个
整数解，则 的取值范围为是
A． B． C． D．
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于 的不等式组，
求出 的范围即可．
【解答】解： ，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集是： ，
不等式组有2个整数解，
，
解得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于 的不等式组
是解此题的关键．20．（2023春•枣阳市期中）如果关于 的方程 有非负整数解，且关于
的不等式组 的解集为 ，则所有符合条件的整数 的和为
A． B． C． D．
【分析】解方程得出 ，根据关于 的方程 有非负整数解，得出
，且 为整数，由不等式的解集得出 ，进而即可求解．
【解答】解： ，
解得： ，
关于 的方程 有非负整数解，
，
解得： ，且 为整数，
关于 的不等式组 整理得：
，
不等式组 的解集为 ，
，
解得： ，
且 为整数，
， ，于是符合条件的所有整数 的值之和为： ．
故选： ．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是先求出整个解集，
然后在解集中求特殊解．
21．（2023 春•鲤城区校级期中）若 、 、 是 的三边，且 、 满足关系式
， 是不等式组 的最大整数解，求 的周长．
【分析】根据非负数的性质得到 、 的值；再由不等式组的解集求出 的值，进而求出
三角形的周长．
【解答】解：
， ，
， ，
解不等式组 得：
，
是不等式组的最大整数解，
，
的周长为： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法和非负数的性质是
解题的关键．
22．（2023春•隆昌市校级期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集
范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程 的解为
，而不等式组 的解集为 ，不难发现 在 的范围内，所
以方程 是不等式组 的“相依方程”．（ 1 ） 在 方 程 ① ； ② ； ③ 中 ， 不 等 式 组
的“相依方程”是 ① ；（填序号）
（2）若关于 的方程 是不等式组 的“相依方程”，求 的取值
范围；
（3）若关于 的方程 是关于 的不等式组 的“相依方程”，且
此时不等式组有5个整数解，试求 的取值范围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出 ，最后根据“相依方程”的定义
列出关于 的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有 5个整数解，即可得出 ，然后求出方
程的解为 ，根据“相依方程”的定义得出 ，即可得出 ．
【解答】解：（1）① ，
解得： ，
② ，
解得： ，
③ ，
解得： ，
，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
原不等式组的解集为： ，
不等式组 的“相依方程”是：①，
故答案为：①；
（2） ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
原不等式组的解集为： ，
，
解得： ，
关于 的方程 是不等式组 的“相依方程”，
，
解得： ；
（3）关于 的方程 ，
解得： ，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，原不等式组的解集为： ，
不等式组有5个整数解，
令整数的值为 ， ， ， ， ，
则有： ， ．
故 ，
且 ，
，
，
，
，
关于 的方程 是关于 的不等式组 的“相依方程”，
，
解得： ．
的取值范围是 ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的
“相依方程”是解题的关键．
23．（2024•常州一模）解不等式组： ，并求出它的正整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【解答】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，
则不等式组的正整数解为1，2，3，4，5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
四．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共8小题）
24．（2023春•乐陵市期末）如图，已知每一个同类水果的质量相同， ， ， 分别表示
一个苹果、一个梨、一个桃子的质量，则下列关系中正确的是
A． B． C． D．
【分析】观察第一个天平，可得出 ，进而可得出 ；观察第二个天平，可得出
，进而可得出 ，再结合 ，即可得出结论．
【解答】解：观察第一个天平，可知： ，
；
观察第二个天平，可知： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，观察天平，根据天平的工作原理
找出 是解题的关键．
25．（2021春•远安县期末）阿江同学每分钟跳绳的次数范围为少于160次，但不少于120
次，用不等式表示为 （用 表示每分钟跳绳的次数）【分析】直接根据题意可得 ．
【解答】解：阿江同学每分钟跳绳的次数范围为少于160次，但不少于120次，用不等式
表示为 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了不等式的定义，正确得出不等关系是解题关键．
26．（2023春•广西月考）某数的3倍大于2，它的2倍不大于1，设某数为 ，可列不等
式组为
A． B． C． D．
【分析】此题中的不等关系有：某数的3倍大于2；它的2倍不大于1．
【解答】解：设某数为 ，则由“某数的3倍大于2”得： ，即 ．
由“它的2倍不大于1”得： ．
根据题意得： ．
故选： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组的问题，要求学生能把文字语言的
不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
27．（2021春•古城区期末）已知 的5倍与3的差大于10，且不大于20，用不等式表示
为 ．
【分析】“ 的5倍与3的差”中，被减式为 的5倍，减式为3；大于10，且不大于20，
应表示为相减得到的相关式子 ，相减得到的相关式子 ．
【解答】解：根据题意得：
．故答案为： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式，根据题干信息抽象出相应的一元一次不等式是解题
的关键．
28．（2023春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若
每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．
若设有 人，则可列不等式组为
A． B．
C． D．
【分析】设有 人，由于每位学生分6本书，则还剩10本书，则书有 本；若每位
学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本，就是书的本数 大于0，
并且小于4，根据不等关系就可以列出不等式．
【解答】解：设有 人，则书有 本，由题意得：
，
故选： ．
【点评】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出
题目中的不等关系．
29．某文具批发商有水彩笔144支，油画棒102支，计划将其装成甲，乙两种套装小礼盒，
甲种每盒装有水彩笔10支，油画棒6支，乙种装有水彩笔8支，油画棒8支，两种套装礼
盒共装15盒．设装 盒甲种礼盒，写出 应满足的不等式组．
【分析】设装 盒甲种礼盒，根据“甲种每盒装有水彩笔10支，油画棒6支”、“乙种装
有水彩笔8支，油画棒8支”列出不等式组并解答．
【解答】解：依题意得： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不
等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词
语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
30．（2022春•岳池县期末）请阅读下面求含绝对值的不等式 和 的解集过程．
对于含绝对值的不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值小于
3，所以 的解集为 ；对于含绝对值的不等式 ；从图2的数轴上看：小
于 或大于3的数的绝对值大于3，所以 的解集为 或 ．
（1）含绝对值的不等式 的解集为 或 ；
（2）已知含绝对值的不等式 的解集为 ，求实数 ， 的值；
（3）已知关于 ， 的二元一次方程 的解满足 ，其中 是正数，
求 的取值范围．
【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）由 知 ，据此得出 ，再结合 可得出关于
、 的方程组，解之即可求出 、 的值；
（3）由 知 ，据此得出 ，解之求出 的取值范围，继
而可得答案．
【解答】解：（1）根据绝对值的定义得： 或 ，
故答案为： 或 ；
（2） ，
，解得 ，
解集为 ，
，
解得 ，
则 ， ；
（3） ，
，
，
，
解得 ，
又 是正数，
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元
一次不等式和不等式组的能力．
31．（2023春•丹徒区期末）【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如
表示数轴上表示 这个数的点到原点的距离，那么式子 可理解为：数轴上表示 这个
数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式 则是要在数轴上找出到1的距
离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到 1距离小于等于2的点对应的数
都在 和3之间（包含 和3两个点），这样我们就可以得到不等式 的解集为：；
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
（1）不等式 的解集为 ；
（2）不等式 的解集为 ；
（3）不等式 的解集为 ；
（4）不等式 的解集为 ；
（5）对于任意数 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围．
【分析】（1）根据绝对值的意义及数轴求解；
（2）根据绝对值的意义及数轴求解；
（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解；
（4）结合数轴，再根据绝对值的意义及数轴求解；
（5）根据绝对值的意义及数轴求解．
【解答】解：（1）不等式 的解集为： ；
故答案为： ；
（2）不等式 的解集为： 或 ；
故答案为： 或 ；
（3）不等式 的解集为： ；
故答案为： ；（4）不等式 的解集为： ；
故答案为： ；
（5）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解绝对值的意义是解题的关
键．
五．一元一次不等式组的应用（共9小题）
32．（2023春•兖州区期末）小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，
小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至
多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”．
则这本书的价格 （元 所在的范围为
A． B． C． D．
【分析】根据三个同学的说法都错误，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得
出结论．
【解答】解：依题意得： ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
33．（2023春•临沭县期末） ， ， ， 四个小朋友玩跷跷板，结果如图所示，则他们的体重大小关系为
A． B． C． D．
【分析】观察图中的三个跷跷板，可得出一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得： ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
34．（2023春•罗庄区期末）为了落实精准扶贫政策，某单位对某山区贫困村提供优质种
羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只：若每户发放母羊5只，则多出
15只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只，这批种羊共 只
A．55 B．85 C．65 D．75
【分析】设公羊共 只，则母羊共 只，根据“若每户发放母羊7只，则有一户可
分得母羊但不足3只”，可列出关于 的一元一次不等式组，解之可得出 的值，结合 为
正整数，可确定 的值，再将其代入 中，即可求出结论．
【解答】解：设公羊共 只，则母羊共 只，
根据题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，，
，
这批种羊共75只．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
35．（2023春•卫辉市期中）如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入
一个值 ”到判断“结果是否 ”为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么
的取值范围为 ．
【分析】根据程序运行两次就停止，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出
的取值范围
【解答】解：根据题意得：
，
解得 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
36．（2023春•南岗区校级期中）把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，
则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有 2 6 本．
【分析】设共有 名小朋友，则共有 本书，根据“每人5本，则最后一个小朋友得
到书且不足3本”，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，再结合 为正整数即可得出 的值，再将其代入 中即可求出结论．
【解答】解：设共有 名小朋友，则共有 本书，
依题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，
，
．
故答案为：26．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组是解题的关键．
37．（2023春•长泰县期中）“输入一个数 ，然后经过如图的运算，到判断结果是否大
于7为止”叫做一次操作，若经过两次操作就停止，则 的取值范围是 ．
【分析】根据流程图，列出不等式即可．
【解答】解：设运行一次的结果为 ，
，
当 时，程序运行第二次，
设运行第二次的结果为 ，
，
程序须经过两次操作，
，
，解得： ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是理解程序运行流程，列出不等式
方程．
38．（2023春•淇滨区校级期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人
得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”光明中学为提升学生的阅读品味，决定购买第十届
茅盾文学奖的获奖篇目《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共 50本．
已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风
记》的价格相同．
（1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为多少元？
（2）若学校购买《北上》的数量多于17本，且购买两种书的总价不超过1600元，请问有
几种购买方案？最低费用为多少元？
【分析】（1）设《北上》每本的价格为 元，《牵风记》每本的价格为 元，根据题意列
方程组即可求解；
（2）设购买《北上》的数量为 本，则购买《牵风记》的数量为 本，根据购买两
种书的总价不超过1600元，列不等式，求出 的取值范围，即可求解．
【解答】解：（1）设《北上》每本的价格为 元，《牵风记》每本的价格为 元．
根据题意，得 ，
解得： ，
答：《北上》和《牵风记》每本的价格分别为35元和30元；
（2）设购买《北上》的数量为 本，则购买《牵风记》的数量为 本，
根据题意，得 ，解得 ，
学校购买《北上》的数量多于17本，
，
为整数，
可以取18，19，20，
有3种购买方案，
方案一：当 时， ．此时购买费用为 （元 ；
方案二：当 时， ．此时购买费用为 （元 ；
方案三：当 时， ．此时购买费用为 （元 ．
，
最低费用为1590元．
答：共有3种购买方案，最低费用为1590元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关
系是解答本题的关键．
39．（2023春•泾阳县期中）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18 超过18吨的部分
吨的部分
收费标准（元 吨） 2.00 2.50 3.00
（1）某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？
（2）要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？
【分析】（1）易得用水量超过了12吨，那么等量关系为：12吨的水费 超过12吨的水费
，把相关数值代入计算即可；
（2）若水费为20元，则用水吨数为10吨，易得所用水的吨数在12吨 吨之间，进而
让12吨的水费 超过12吨的水费 可得能用水吨数的最大值．
【解答】（1）设该用户5月份的用水量为 吨，根据题意得：
，
解得 ，答：该用户5月份的用水量为20吨．
（2）设该用户月用水量为 吨，
若 时， （元 ，所以只能 ．
若 ，则由 ，得 ；
若 ，则由 ，得 ，
所以 ，
答：该户的月用水量应该控制在10吨到14.4吨之间．
【点评】考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用；理解分段付费中总付费的等量关
系是解决本题的关键．
40．（2023春•揭东区期中）某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风扇，若购进 8
台空调和20台电风扇，
需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．
（1）求空调和电风扇的采购价各是多少元？
（2）该老板计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000
元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30
元，该老板希望当这两种电器销售完时，所获的利润不少于 3500元，试问老板有哪几种进
货方案？
（3）在所有的进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为 元和 元，根据购进8台空调
和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元
可以列出方程组 ，解方程组即可求出结果；
（2）设该业主计划购进空调 台，则购进电风扇 台，根据购买这两种电器的资金不
超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风
扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元可以列
出不等式组 ，解不等式组即可求出哪几种进货方案．（3）设这两种电器销售完后，所获得的利润为 ，则根据已知条件可以列出 与 的函
数关系式，利用函数的性质和①的结果即可求出哪种方案获利最大，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为 元和 元
依题意，得 ，
解得
即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为1800元和150元；
（2）设该业主计划购进空调 台，则购进电风扇 台，
依题意得： ，
解得： ，
为整数，
为9，10，11，
故有三种进货方案，分别是：
方案一：购进空调9台，电风扇61台；
方案二：购进空调10台，电风扇60台；
方案三：购进空调11台，电风扇59台．
（3）设这两种电器销售完后，所获得的利润为 ，
则 ，
由于 随 的增大而增大．
故当 时， 有最大值， ，
即选择第3种进货方案获利最大，最大利润为3970元．
【点评】此题分别考查了二元一次方程组、不等式组、一次函数的性质等知识，综合性比
较强，能力要求比较高，平时要求学生多注意这些烦恼的训练．
强化训练
一、单选题1．（21-22七年级下·全国·单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断．
【详解】解：A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意；
B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意；
C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义．几个含有同一个未知数的一元一次不等式
组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若不等式 的解集是 ，则a必满足
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集求参数问题，依题意得 ，进而可求
解，理解一元一次不等式的解集是解题的关键．
【详解】解： 不等式 的解集是 ，
，
解得： ，
故选D．
3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图表示的是关于x的不等式 的解集，则
a的值是（ ）
A．0 B． C． D．3【答案】D
【分析】本题考查含参数的不等式的解法，利用不等式的解集列方程，掌握相关的知识点
是解题的关键．先解不等式，再由不等式的解集得到方程可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则 ，
由数轴知 ，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
4．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知有理数 ，且 ，则使 始终成立的有
理数 的取值范围是（ ）
A．小于或等于 的有理数 B．小于 的有理数
C．小于或等于 的有理数 D．小于 的有理数
【答案】C
【分析】根据绝对值的定义先求出 的取值范围，再根据 始终成立，求出 的取值范
围．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 始终成立，
∴ 的取值范围是小于或等于 的有理数．
故选： ．
【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键．
5．（22-23七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上
返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x
千米，则满足的不等关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由题意知顺水速度为每小时 千米，逆水速度为每小时 千米， 间
的距离为 千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不
等式．
【详解】 水流速度是每小时 千米，船在静水中的速度是每小时 千米，
顺水速度为每小时 千米，逆水速度为每小时 千米， 间的距离为
千米，
，
即 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键．
6．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组 有3
个整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是求不等式组的解集．先求出每个不等式的解集，根据找不等式
组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组有3个整数解，即1，0， ，
∴ ，解得： ，
故选：A．
7．（23-24七年级下·广东广州·期中）若关于x的不等式组 的整数解仅有1
和2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先
求出不等式组的解集，再根据它的整数解仅有1和2求解即可得．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵关于 的不等式组 的整数解仅有1和2，
∴ ，
又∵关于 的不等式组 的整数解仅有1和2，
∴ ，
解得 ，
故选：C．
8．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式组 只有3个整数
解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）A．39 B．42 C．45 D．48
【答案】A
【分析】本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据只有3个整数解，
列不等式求解即可得到答案；
【详解】解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵不等式组有且只有3个整数解，
不等式组的解为： ，
∴这3个整数数解为3，2，1，
，即 ，
解得 ，
∵k为整数，
∴k为12，13，14，
∴符合条件的所有整数k的和为： ，
故选：A．
9．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式 至少2个整数
解，且关于x，y的方程组 的解满足 ，则满足条件的整数m有
（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的
解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到 ；再利用加减消元法得到 ，
则 ，据此求出 即可得到答案．【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组至少2个整数解，
∴ ，
∴ ；
得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个，
故选：B．
10．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）对实数x，y定义一种新的运算F，规定
若关于正数x的不等式组 恰好有 3 个整数解，则m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌
握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分 和 两种情况，由 得到关于x的不等式组，解之得出x的取值
范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值
【详解】 若关于正数x的不等式组 恰好有 3 个整数
解，
①若 ，由 得， ，
解 ，得： ，与 不符，舍去；
②若 ，由 得，
解得 ，
不等式组恰好有3个整数解，
，
解得： ，
故选：C．
二、填空题
11．（21-22七年级下·全国·单元测试） 的 倍与 的和大于 ，且 的 倍是非负数，列
不等式组为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得不等式 ， ，再联立两个不等式即可．
【详解】解：根据题意，
可得 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题关键是理解题意，抓
住题目中的关键词语．
12．（23-24七年级下·北京·期中）已知 为实数，且 ，则
的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的
关键
先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，根据平方根的定义即可得出
结论．
【详解】解：由题意得， ，
∴
，
，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
故答案为： ．
13．（23-24七年级下·广东广州·期中）对于任意实数m，n，定义一种运算
，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：
．请根据上述定义解决问题：若 ，且解集中有两个整
数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法
解出不等式组，根据题意求出 的取值范围．
【详解】解：由题意得， ，
则 ，
解集中有两个整数解，
，
故答案为： ．
14．（七年级·全国·单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，
就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等
式组的 ．
【答案】 一元一次不等式组 公共部分 解集
【分析】根据一元一次不等式组的定义，及一元一次不等式组解集的定义，进行填空即可．
【详解】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一
次不等式组.
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.
故答案为一元一次不等式组；公共部分；解集.
【点睛】考查一元一次不等式组的相关概念，比较基础，难度不大.
15．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）设 ， 是正整数，且满足 ，
，则 ．
【答案】
【分析】本题可先根据两个不等式解出 ， 的取值范围，根据 ， 是正整数得出 ，
的可能取值，然后将 ， 的值代入 中计算即可．
【详解】解：∵ ， ， 是正整数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
， ，∴ ，
∵ ， 是正整数，
∴ 或 ，
①当 时，由 ，得： ，这样的正整数 不存在，
②当 时，由 ，得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了不等式的解法，根据 ， 的取值范围，得出 ， 的整数解，然
后代入计算．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小
中间找，大大小小解不了．
16．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若 ，且 ， ，设
，
（1）用只含有 的代数式表示 ，则 ；
（2）t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知
数；
（1）根据 得到 ，代入 计算即可；
（2）根据 ， ，把 ， 代入得到 ，再确定t的取值范围．
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ，
∵
∴ ．故答案为： ．
17．（2024·四川南充·模拟预测）定义一种新运算： ，例如：
．根据上述定义，不等式组 的整数解为 ．
【答案】 ，0，1
【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解以及有理数的混合运算，根据
，可以将不等式组 转化为 ，然后求解即可．
【详解】由题意可得，
不等式组 转化为 ，
解得 ．
所以不等式组 的整数解为 ，0，1．
故答案为： ，0，1．
18．（2024七年级·全国·竞赛）如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 分别表示
1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个数，不同的字母表示不同的数，使得分别以正九
边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，那么 的值为
．【答案】18
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题中各
量间的数量关系是解答本题的关键．先根据 得到 ，利用
和 列不等式组并求解，得到 ，进而得到 ， ，再根据正九
边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，可逐步求得 ， 的值，从而可
得答案．
【详解】由题意得 ，
，
，
，
，
，
，
，由此可依次求得 ， ， ， ， ， ，
．
三、解答题
19．（七年级下·全国·单元测试）已知 中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取
值范围．
【答案】﹣1＜k＜﹣
【分析】解方程组 ，令①+②得x﹣y=2k+2，再由题意得∴0＜2k+2＜1，
再解出这个不等式组即可.
【详解】解方程组 ，
①+②，得：3x﹣3y=6k+6，
两边都除以3，得：x﹣y=2k+2，
∵0＜x﹣y＜1，
∴0＜2k+2＜1，
解得：﹣1＜k＜﹣ ．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解法，根据题目发现其特点列出不等式是解题的
关键.
20．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组 ．
(1)若此方程组的解满足 ，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于 的不等式 的解集为 ，求满足条件
的a的整数值．【答案】(1)
(2) 、0
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；
（1）根据 列出关于 的不等式，可解得 的范围；
（2）结合（1），由 为整数，可得 的值．
【详解】（1） ，
① ②得： ，
，
，
，
解得 ；
（2） 关于 的不等式 的解集为 ，
，
，
，
，
满足条件的 的整数值是 、0．
21．（23-24七年级下·广东广州·期中）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，
， ，求a的取值范围．
（2）已知 ， 且 ， ，求k的取值范围．（3）已知 ， ，在关于x，y的二元一次方程组 中，
， ，求代数式 的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）8
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，绝对值化简，能得出关于
或k的不等式组是解此题的关键．
（1）先解方程组，求得 ， ，再根据 ， ，建立关于a的不等式
组，求出不等式组的解集即可；
（2）先建立方程组 ，再解方程组求得解为 ， ，然后根据
， ，建立关于k的不等式组，解之即可；
（3）解方程组 得： ，根据 ， 可得 ，进一步
得到 ， ，代入化简，最后根据a的取值范围求出最大值即可．
【详解】解：（1） ，
由 ，得 ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
∵ ， ，
∴ ，解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴ ；
（2）由题意，得 ，
变形得： ，
由 ，得 ，
把 代入①，得 ，
∵ ， ，
∴ ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴ ；
（3）解方程组 得： ，
∵ ， ，
，
解得： ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴
，
∵ ，
∴当 时， 值最大，
最大值 ，
∴ 最大值为8．
22．（23-24七年级下·北京通州·期中）解下列不等式和不等式组
(1)解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
(2)解不等式组 ，并写出不等式组的所有整数解．
【答案】(1) ，数轴上表示解集见解析图；
(2)不等式组的解集为 ，整数解为 ， ， ， ， ， ， ．
【分析】（ ）移项合并同类项，化系数为 ，再用数轴表示即可；
（ ）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出整数解；
本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或
不等式组的求解方法．
【详解】（1）解：
，
，，
数轴上表示解集如图，
（2）
解不等式 得， ，
解不等式 得， ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为 ， ， ， ， ， ， ．
23．（23-24七年级下·北京·期中）对于两个关于 的不等式，若有且仅有一个整数 ，使
得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数 “互联”．例如：不等式 和
不等式 关于整数 “互联”．
(1)不等式 和 关于整数______“互联”；
(2)若关于 的不等式 和 关于整数 “互联”，
①直接写出 的值为______；
②求 的最大值；
(3)已知不等式 和 关于整数 “互联”，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)是
(2)① ；②
(3)
【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法；
（1）解不等式得 ，再根据“互联”的定义即可；
（2）①根据定义可得 ；
②根据题意得 ，再根据“互联”的定义得 ；（3）根据题意得 ，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：是，理由如下：
解不等式得 ，
满足条件的整数有且只有一个： ，所以这两个不等式是“互联”的；
故答案为：是．
（2）解：①解不等式 ，得
∵关于 的不等式 和 关于整数 “互联”，
∴ ，
故答案为： ．
②依题意， 的整数解为 ，
∴
解得：
故 的最大值为 ；
（3）解：若不等式 和 是关于整数 “互联”的，
则满足 的整数有且只有一个，为
∴
解得：
24．（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式 的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
① 或② ，
解不等式组①得 ，
解不等式组②得 ，
等式 的解集为 或请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出 的解集；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
（2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得：
① 或② ，
解不等式组①，无解；解不等式组②，
的解集为
（2）由两数相除，同号为正，得：
① 或② ，
解不等式组①， ；解不等式组②，
不等式 的解集为 或
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本
题的关键．
25．（23-24七年级下·北京通州·期中）莉莉在归纳有理数运算时得到下列结论：对于任意
两个有理数a，b，①如果 ，那么 或者 ．②如果 ，那么 或者
，③如果 ，那么 或者 ，我们发现这些结论在整式运算中仍然成立．例如，解不等式 ．由不等式 可得：不等式组① 或
不等式组② ，解不等式组①得： ，解不等式组②得 ，∴不等式
的解集为 或 ．请你完成下列任务．
(1)解方程： ；
(2)求不等式 的解集；
(3)求不等式 的解集﹔
(4)如果（1）中方程的两个解，都是关于x的不等式组 的解，求m的取值范围．
【答案】(1) 或1
(2) 或
(3) 或
(4)
【分析】本题考查了解不等式组．
（1）仿照材料，先把方程转化为 即可；
（2）仿照材料，先把不等式转化为关于x的不等式组，然后通过解不等式组即可；
（3）仿照材料，先把不等式转化为关于x的不等式组，然后通过解不等式组即可；
（4）先求出原不等式组的解集，再由 和2都是原不等式组的解，可得关于m的不等
式组，即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，解得： 或3；
（2）解：由不等式 得：
不等式组① 或不等式组② ，
解不等式组①得： ，
解不等式组②得 ，
∴不等式 的解集为 或 ；
（3）解：由不等式 得：
不等式组① 或不等式组② ，
解不等式组①得： ，
解不等式组②得 ，
∴不等式 的解集为 或 ；
（4）解： ，
解得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
∵ 和2都是原不等式组的解，
∴ ，
解得： ，
即m的取值范围为 ．
26．（22-23七年级下·广东惠州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图 所示的
长方形和正方形纸板 长方形的宽与正方形的边长相等 加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
(1)若该厂购进正方形纸板 张，长方形纸板 张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多
少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板 张，长方形纸板 张，
全部加工成上述两种纸盒，且 ，试求在这一天加工两种纸盒时， 的所有可能
值．
【答案】(1)加工竖式纸盒 个，加工横式纸盒 个，恰好能将购进的纸板全部用完
(2) ， ， ，
【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和
正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸
板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方
程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合 即可
求出a的值，此题得解．
【详解】（1）设加工竖式纸盒 个，加工横式纸盒 个，
根据题意得： ，
解得： ．
答：加工竖式纸盒 个，加工横式纸盒 个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）设加工竖式纸盒 个，加工横式纸盒 个，根据题意得： ，
．
、 为正整数，
为 的倍数，
又 ，
满足条件的 为： ， ， ， ．
答：在这一天加工两种纸盒时， 的所有可能值为 ， ， ， ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是
读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
