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专题 7.5 平行线的判定与性质中常用思想方法
【人教版2024】
【题型1 整体思想求角】
1．（23-24七年级·江苏苏州·期中）如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，且
GF∥DE，已知∠ACD=90°，若∠AGD=α，∠GFE=β，则下列等式中成立的是（ ）
A．α=β B．2α+β=90° C．3α+β=90° D．α+2β=90°
2．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得
∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，N=45°，则∠N为∠M的6系
补周角．
(1)若∠H=110°，则∠H的4系补周角的度数为______
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE,DE．
①如图1，∠D=70°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
∠ABE ∠CDE
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF= ，∠CDF=
n n
（其中n为常数且n<1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个
点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
3．（23-24七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知AP∥DM，点B，C分别是射线AP，DM上的点，
∠D=∠ABC=60°，AM，AN分别平分∠BAC和∠CAD．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求∠MAN的度数；
(2)若∠∧=∠ACB，求∠ACB的度数．
4．（23-24七年级·广西河池·阶段练习）（1）如图1，已知AB∥CD，点E在两平行线的内侧，连接AE，
CE．若∠EAB=35°，∠ECD=25°，求∠AEC的度数；
（2）如图2，已知AB∥CD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE，若∠EAB=α，∠ECD=β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分∠CGE（如图3）．若∠AEG=130°，
α+β=80°，分别求出α，β的度数．
5．（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，点E在直线AB、DC之间，且
∠DEB+∠ABE−∠CDE=180°．
（1）求证：AB//DC；
（2）若点F是直线BA上的一点，且∠BEF=∠BFE，EG平分∠DEB交直线AB于点G，若∠D=20°，
求∠FEG的度数；
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（3）如图3，点N是直线AB、DC外一点，且满足∠CDM= ∠CDE，∠ABN= ∠ABE，ND与BE
4 4
交于点M．已知∠CDM=α(0°<α<12°)，且BN//DE，则∠NMB的度数为______（请直接写出答案，
用含α的式子表示）．
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学科网（北京）股份有限公司6．（23-24七年级·广东清远·期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线M上一动点（与点A
不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN=_________
(2)∠CBD=_________
(3)当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD，则此时∠ABC=_________
(4)在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请
找出变化规律．
7.（23-24七年级·河北保定·期末）如图，AB∥CD，点P为平面内一点．
(1)如图①，当点P在CD与之间时，若∠A=20°，∠C=45°，则∠P= °；
(2)如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请证明；
(3)如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD=40°，则∠G+∠P= °．
【题型2 方程思想求角】
8．（23-24七年级·江苏扬州·期中）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1
的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着
角的数量关系．
(1)如图1，AB∥CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D=∠BMD．请你证
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学科网（北京）股份有限公司明这个结论．
(2)【运用】如图2，AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M=3∠N，请你利用（1）中
“猪蹄模型”的结论，找出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【延伸】如图3，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，且
EN∥MG．如果∠EMF=α，那么∠MGF等于多少？（用含α的代数式表示，请直接写出结论，无需证
明）
9．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，直线l ∥l ，点A，B在直线l 上，点C、D在l 上，线段AD交
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线段BC于点E，且∠BED=60°．
(1)求证：∠ABE+∠EDC=60°；
(2)如图2，当F，G分别在线段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，标记∠BFE为
∠1，∠BGD为∠2．
①若∠1−∠2=16°，求∠ADC的度数；
②当k为何值时，(k∠1+∠2)为定值，并求此定值．
10．（23-24七年级·北京·期中）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，
连接GE、GF．
(1)当∠BEG=40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
(2)如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当
∠EOF+∠EGF=100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
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学科网（北京）股份有限公司11．（24-25七年级·重庆·开学考试）如图，AB∥CD，点A，E，B，C不在同一条直线上．
(1)如图1，求证：∠E+∠C−∠A=180°；
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(2)如图2，直线FA，CP交于点P，且∠BAF= ∠BAE，∠DCP= ∠DCE，
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①试探究∠E与∠APC的数量关系；
②如图3，延长CE交射线PA于点Q，若AE∥PC，∠BAQ=α(0°<α<12°)，求∠PQC的度数（用含α
的式子表示）．
12．（23-24七年级·全国·单元测试）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、
CD上，连接PE、EQ
(1)如图1，试探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130°时，求出∠PFQ的度数；
(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当
∠PEQ=80∘时，请求出∠PFQ的度数．
【题型3 分类讨论思想求角】
13．（24-25七年级·广东佛山·阶段练习）已知∠AOB=90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，
点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO,
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当∠OCD=40°时，求∠CED的度数；
(2)如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO−∠GED=45°．求
证：¿∥DO；
(3)如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于
点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数．
14．（24-25七年级·全国·阶段练习）如图1，已知AB∥CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于
点F，PE交AB于点E，满足∠FPE=60°．
(1)求∠AEP的度数；
(2)如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返
回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至
EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数；
②当直线EM与直线PN平行时，求t的值．
15．（24-25七年级·广东广州·期中）如图，∠ACF为△ABC的外角，射线CP、CQ分别三等分∠ACB，
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∠ACF且 ∠PCB= ∠ACB，∠QCF= ∠ACF，点D在边AB上，过点D作线段DE∥BC，分别与
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AC、CP交于点E、G，射线DP三等分∠ADE，且∠PDE= ∠ADE，DP与CQ相交于点Q．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若∠A=45°，∠B=60°，则∠DPC= °， ∠Q= °；
(2)若∠A=α（其中α是固定值），当∠B的度数发生变化时，∠Q的度数是否发生变化？若有变化，说明
理由；若不变化，求∠Q的度数（用α的代数式表示）；
(3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的两倍，请求出所有符合条件的∠A的度数．
16．（24-25七年级·安徽蚌埠·期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点
E．DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP的延
长线相交于点Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=_____°，∠Q=_____°；
(2)若∠A=α，当∠B的度数发生变化时，∠DPC，∠Q的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若
不变化求出∠DPC，∠Q的度数（用α的代数式表示）；
(3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的∠A的度数为_____．
17．（23-24七年级·湖南永州·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两
条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA=90°，
∠BAC=30°．
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学科网（北京）股份有限公司(1)【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1=55°，则∠2=__________；
(2)【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理
由；
(3)【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线
BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1=5∠CBD(∠CBD<60°)，请求出射线BA与直线a所夹锐
角的度数．
18．（23-24七年级·四川泸州·阶段练习）已知直线AM∥BN，点P是直线AM上的一个动点（不与点A重
合），BC平分∠PBN，交直线AM于点C．
(1)如图1，当点P在点A左侧时，若∠CPB=40°，求∠PCB的度数；
(2)若∠MAB=60°，BD平分∠PBA，交直线AM于点D．
①如图2，若点P在点A左侧运动时，∠DBC的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请
说明理由；
②∠ADB与∠ABC之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由．
19．（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)、B(b,0)、C(0,4)，
且a、b满足 ．平移线段 得到线段 ，使点A与点C对应，点B与点D对应，连接
(a+2) 2+❑√b−4=0 AB CD
AC，BD．
(1)求a、b的值，并直接写出点D的坐标；
(2)已知点P是射线AB上的点（不与点A、B重合），连接PC、PD．
①是否存在点P，使三角形PCD的面积是三角形PBD的面积的2倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
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学科网（北京）股份有限公司②设∠PCA=α，∠PDB=β，∠DPC=θ．请直接写出α、β、θ之间满足的关系式．
20．（23-24七年级·江苏泰州·周测）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍
（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在
△ABC中，∠A=100°，∠B=50°，∠C=30°，可知∠A=2∠B，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△≝¿中，∠E=40°，∠F=35°，则△≝¿为 倍角三角形．
(2)已知：在图中直线AB、CD被直线EF所截交点分别为E、F，AB∥CD，∠BEF与∠DFE的平分线
交于点G，若
△EFG是6倍角三角形，求∠AEF．
(3)如图，△AOB顶点在直线MN上的O处，P为MN上方一点，
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∠AON= ∠PON，∠BOM= ∠POM ，若∠B=15°，则△AOB是几倍三角形？并说明理由．
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(4)在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，
求∠A的度数．
21．（23-24七年级·北京·期中）已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB
和直线CD之间的一个动点．
(1)如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF=____________；
(2)若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能
为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为____________；
(3)进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG=α,∠CFG=β，EM为∠AEG最接近
EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点P ，是否存在
n
某一正整数n，使得∠EP F=90°？说明理由．
n
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学科网（北京）股份有限公司22．（23-24七年级·河南信阳·期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将
一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在
直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关
系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的
角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC−∠BOE的值．
23．（24-25七年级·上海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，
其中∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°．
(1)填空：∠1与∠3的数量关系_______；理由是_______；
(2)直接写出∠2与∠ACB的数量关系_______；
(3)如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两
个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当BE∥AD时，画出图形，并求出∠ACE的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值并画出对应的图形．
24．（23-24七年级·贵州黔东南·期中）【问题情境】将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当
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学科网（北京）股份有限公司0°<∠ACE<90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题（提示：∠A=60°，∠D=30°，
∠B=∠E=45°）：
【问题解决】
(1)①若∠DCE=∠D，则∠ACB的度数为______度；
②若∠ACB=130°，则∠DCE的度数为______度；
(2)请猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)随着∠ACE的度数的变化，三角板BCE的一边是否能与三角板ACD的一边平行？若存在，请直接写出
∠ACE的度数的所有值；若不存在，请说明理由．
25．（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，将一个含45°的直角三角板ABC放置在直尺上，使直尺与三角
板的边BC重合，再将一个含60°的直角三角板DEF放置在直尺上，使得三角板的最长边DE在AB所在直
线l上．其中∠ABC=45°，∠≝=60°，MN∥JK．
(1)如图1，当点E与点B重合时，EF与直尺上沿MN交于点H，求∠MHB的度数；
(2)如图2，AB与直尺上沿交于点G，连接FG，在三角板DEF沿直线l运动的过程中，是否存在某个位置，
使得FG与三角板ABC的一条边平行，若存在，请求出此时∠EFG的度数；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，小明将直角三角板DEF换成一般三角形卡片DEF，其中∠≝=α(0°<α<45°)．在三角形卡片
DEF沿直线l运动的过程中，请直接写出当∠EFG与α满足怎样的数量关系时，FG与三角板ABC的一条
边平行．
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