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第十一章 不等式与不等式组 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.不等式及不等式组定义
【题型解读】此种题主要是根据不等式与一元一次不等式定义解题
例1．下列数学表达式中，不等式有（ ）．
①−3<0； ②a+b； ③x=3； ④x2+xy+ y2； ⑤x≠2； ⑥x+2>y+3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
1
例2．下列式子①5>4；②3x≥2π+1；③x+ y>1；④x2+3>2x；⑤ >4中，是一元
x
一次不等式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
对应练习：
1.下列式子中，①2x=7；②3x+4 y；③−3<2；④2y−3≥0；⑤b≠1；⑥x−y>1．不
等式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
2.下列式子中： 3>0； 5x−4<8； 2x+4 y； m=−1； t2+2t≥−1．其中不
等式有（ B ）个①． ② ③ ④ ⑤
A．2 B．3 C．4 D．53．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知(m−3)x|m|−2−2>6是关于x的一元一次不等式，
求m的值．
4.已知(k+3)|k|−2+5<−4是关于x的一元一次不等式，求k的值
【解法提炼】
根据定义，通过未知数的次数为1，未知数系数不等于0，建立方程求字母的取值
二. 不等式的性质
【题型解读】此种题型主要考查不等式的性质
例1．已知a”或“<”填空：若x(a−b)y，则a b．
对应练习：
1.若a>b，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
1 1
A．a−3− b C．a+1>b+2 D．1−2a<1−2b
2 2
2.设a>b>0，有下列不等式：①a−b>0；②−4+a>−4+b；③−3a>−3b；④
1 1
− a−1<− b−1；⑤a2>ab．其中，成立的个数有（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
3.设x−5 B．a≥−5 C．a<−5 D．a<5
5．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如果关于x的不等式(a−2)x>5的解集是
5
x< ，那么a的取值范围是 ．
a−2
6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若不等式(a−3)x>2(a−3)的解集为x<2，则a
的取值范围是 ．
【解法提炼】
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.(易错点)
三. 解不等式及不等式组
【题型解读】此种题型主要考查利用不等式的性质求解集
例1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）解下列不等式
(1)4(x+1)3x−1的最大整数解．
2．（24-25七年级下·广西梧州·阶段练习）解不等式：2(x−1)+3>5x−1，并把解集在数
轴上表示出来．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组¿，并写出它的非负整数解．
4．求不等式组¿的解集
5．求不等式组¿的解集6．求不等式组¿的解集．
【解法提炼】
①解题步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
②易错点去分母和系数化为1，注意不等号是否变号；
③求不等式组解集口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大无处找。
四. 求含参不等式(组)中字母的取值
【题型解读】此种题型考查解集相同
例1.若关于x的不等式−3x+a≤2的解集是x≥1,求a的值．
例2.如果不等式组¿的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为 ．
对应练习：
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式3x+2>5x+2(m+x)的解集与不
2x+5
等式 −1<2−x的解集相同，则m的值为________
3
m n
2.已知不等式mx+n＞0的解集为x＜2，则 + 的值是 ．
n m
3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于x的不等式2(x−a)<0的解集和不等式2x−4<0的解集相同，则a的值为 ．
4．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组¿的解集是2−1
例3. 已知关于x的不等式组¿的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例4.（22-23九年级下·河南洛阳·期末）如果关于x的一元一次不等式组¿的解集是x>3，求
m的取值范围
对应练习：
1．（2023七年级下·全国·专题练习）若数a使关于x的不等式5x−2≥x+a的最小正整数解
是x=1，则a的取值范围是（ ）
A．a>−2 B．a<2 C．−20的解集中存在负数解，但
不存在负整数解，则a的取值范围是（ ）.
A．a≥−2 B．a<0 C．−2≤a<0 D．−2y，且关于x的不等式组¿无解，那么所有
符合条件的整数a的个数为 ．
10．（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）关于x的一元一次不等式组¿的解集为x≤4，
且关于y且的方程my−2y=4有整数解，则符合条件的所有整数m的和是 ．
【解法提炼】
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求
出字母的取值范围是解此题的关键．求不等式组的解集的规律：同大取较大，同小取较小，
小大大小中间找，大大小小解不了．
六. 求含参不等式的解集
【题型解读】此种题型考查不等式的解集例1.已知关于x的不等式(a−b)x>a+b的解集是x>2，求不等式ax>b的解集
对应练习：
2
1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知ax−b>0的解集为x<− ，则不等式
5
bx+a>0的解集为（ ）
5 5 5 5
A．x> B．x< C．x>− D．x<−
2 2 2 2
6
2．设关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x< ，求关于x的不等式ax>b的解集．
5
1
3.已知关于x的不等式（5a-2b）x＞3b-a的解集是x＜ ，则6ax＞7b的解集是 ．
8
【解法提炼】
利用不等式的解集确定字母的取值范围以及两字母之间的数量关系
七. 含参二元一次方程组与不等式
【题型解读】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是把参数作
已知数表示出x+ y的值，再得到关于参数的不等式．
例1.（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组¿的解满足
x+ y≤0，求a的取值范围
对应练习：
1．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于x,y的方程组¿．若方程组的解满足
x−y<5，则m的最小整数值为（ ）
A．−1 B．−2 C．0 D．1
x+ y=3t+1
2.已知二元一次方程组{ ，xy≥2，则t的最小值是（ ）
x−y=3t−32 1
A．1 B． C．0 D．
3 6
3．已知x、y满足¿和x+ y≤0，求m的最小值．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组¿的解满足x≤0，y<0，若k
为整数，且关于k的不等式(3k+2)t<3k+2的解集为t>1，则k的值为_____
5．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于x,y的方程组¿的解都为非负数，若
a+b=4,W =2a−3b，则W的最小值为__________
【解法提炼】
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键．
八. 不等式(组)与盈亏问题
【题型解读】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题
的关键．
例1. 若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空
也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
对应练习：
1．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，
则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九
（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
2．（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8
棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学
人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． 8x+7≤8+9(x−1) B． 8x+7≥9(x−1)C．¿ D．¿
3.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小
朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的
是（ ）
A．0≤5x+12−8(x−1)<8 B．0<5x+12−8(x−1)≤8
C．1≤5x+12−8(x−1)<8 D．1<5x+12−8(x−1)≤8
【解法提炼】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不
等式组是解题关键
九. 不等式(组)与方案设计
【题型解读】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用
例1.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）为贯彻执行“德，智，体，美，劳”五育并举
的教育方针，某中学组织8名教师，247名学生前往劳动实践基地开展劳动实践活动，现
有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
(1)学校计划此次劳动实践活动共租8辆车，为了保障安全，每位师生都要有座位，但租金
总费用不超过3100元，请问有几种租车方案？
(2)学校应该如何租车才能使费用最少，最少费用是多少元？例2.（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有11kg面粉，9.4kg鸡
蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工1盒一般糕点需0.3kg面粉
和0.1kg鸡蛋；加工1盒精制糕点需0.1kg面粉和0.3kg鸡蛋．
(1)有哪几种加工方案？
(2)如果销售1盒一般糕点和1盒精制糕点的利润分别为3元和4元，那么按哪一种方案加工小
红家可获得最大利润？最大利润是多少？对应练习：
1．（24-25八年级下·山西·阶段练习）某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，
了解到购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和
5台B型健身器材共花8000元．
(1)A型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？
(2)该小区计划购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元．
请通过计算说明共有几种购买方案？2.暑期临近，学生们也可轻松逛逛商场，选择自己心仪的衣服.安岳上府街一服装店老板打
算不错失这一良机，计划购进甲、乙两种T恤.已知购进甲T恤2件和乙T恤3件共需310
元；购进甲T恤1件和乙T恤2件共需190元
(1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？
(2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用
1
不超过6540元，并且购买甲T恤的数量应小于购买甲乙两种T恤总数量的 ，请你通过计
4
算，确定服装店购买甲乙两种T恤的购买方案．3．为保护环境，我县公交公司计划购买甲型和乙型两种环保节能公交车共10辆，若购买
甲型公交车1辆，乙型公交车3辆，共需380万元；若购买甲型公交车2辆，乙型公交车2辆，
共需360万元．
(1)求购买甲型和乙型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在某线路上甲型和乙型公交车每辆年均载客量分别为50万人次和60万人次，若该公
司购买甲型和乙型公交车的总费用不超过880万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均
载客总和不少于520万人次，则该公司有哪几种购车方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？4．在毕节市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和一体机，经过市场考察
得知，购进3台笔记本电脑和2台一体机需要4.5万元，购进2台笔记本电脑和3台一体机
需要5.5万元．
(1)求笔记本电脑和一体机的单价？
(2)根据学校实际，需购进笔记本电脑和一体机共30台，总费用不超过30万元，但不低于
28万元，请你通过计算求出有几种购买方案．哪种方案费用最低．5．某街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和
垃圾箱已知购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，购买3个温馨提示牌和2个垃圾
箱共需450．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该街道至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用
不超过10000元，请你列举出所有购买方案．6．（2024八年级下·全国·专题练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来
代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器
人2台，乙型机器人3台，共需12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公
司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购
买才能使每小时的分拣量最大？7．（24-25八年级上·重庆·期末）随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出
行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有A、B两个工种的
工人，其中A工种有300人，B工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个A种
工人的月工资与5个B种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元．
(1)A、B两个工种工人的月工资分别为多少万元；
(2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘A、B两个工种工人共60人．其中，
7
再招聘的B工种工人不超过再招聘的A工种工人的 ，且最终车间所有A工种工人的数量与
3
车间所有B工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使
每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？【解法提炼】
通过题意列不等式组确定取值范围，从而确定最优方案
十. 不等式(组)与利润问题
【题型解读】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的
应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间
的数量关系列出函数解析式是解题的关键；
例1某市场假期对儿童服装进行促销活动，某套童装套装的标价为375元，已知该套装的
进价为240元，若要保证利润率不低于25%，则该套装最低可以打几折？
例2．（2023·辽宁营口·一模）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进
甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，
乙类拼图30盒，则费用为600元．
(1)求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
(2)甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于
2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图
为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？对应练习：
1.（24-25八年级上·广西贵港·期末）苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；
李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价
均为7元/千克．
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少
是多少千克？
(3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打
折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？2．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）某商场购进A,B两种商品，已知购进3件A商品
比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80
元销售，为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不低于1700元，则购进A商品的件数
最少为多少？
3．（2025·广东东莞·一模）在东莞市全力推进“百县千镇万村高质量发展工程”的背景下，荔枝产业蓬勃发展，鲜果畅全国．某商贩看准商机，购进了一批桂味和糯米糍荔枝．已知
购进桂味3千克、糯米糍1千克共需90元，购进桂味1千克、糯米糍2千克共需60元．
(1)每千克桂味和糯米糍的进价分别是多少元？
(2)该商贩决定购进桂味和糯米糍荔枝共100千克，投入资金不超过2040元，请问桂味最多
可购进多少千克？将桂味的售价定为每千克40元，糯米糍的售价定为每千克30元，按照
桂味的最大购进量，请算出该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润．
4． 2019年“双11期间”，某天猫网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的
售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和1筒乙种羽毛球，共花费165元．
（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且
3
甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的 ，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽
5
毛球每筒的进价为40元．
①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出最大利润是多少？
5.小圆玩具工厂生产男孩玩具和女孩玩具，若生产男孩玩具8件，女孩玩具5件，需要成
本3600元；若生产男孩玩具12件，女孩玩具10件，需要成本6400元．
（1）男孩玩具和女孩玩具每件成本多少元？（2）根据市场调查，销售一件男孩玩具可获利100元，销售1件女孩玩具可获利240元，
小圆玩具工厂计划投入不超过21万资金生产两种玩具，且男孩玩具产量是女孩玩具产量的
3倍，预计全部销售后利润不少于11万元，请通过计算说明有几种生产方案．
6．（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本
和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5利润（万元/件） 1 3
(1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？
【解法提炼】
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据数量关系，正确列出一元一次
不等式组
十一 . 不等式与方案选择
【题型解读】此种题型主要考查分类讨论思想
例1．某超市采用线下、线上两种方式销售A,B两种款式的公仔纪念品，且线下、线上商
品标价相同，在无促销活动时，购买2个A款和1个B款公仔纪念品共需50元，购买1个A
款和2个B款公仔纪念品共需55元．超市为促销提供以下方案：
①线下促销方案：顾客花费66元办理会员，凭会员卡购买超市内任何商品都可以打8折．
②线上促销方案：顾客购买超市内任何商品，都可享受9折且包邮的优惠．(1)该超市在无促销活动时，A款公仔纪念品和B款公仔纪念品的标价各是多少元？
(2)某班级计划在超市促销期间购买A,B两款公仔纪念品共40个，其中购买A款公仔纪念品
m(0200．
(1)根据题意，填写表格（单位：元）：
累计购物金额 500 700 … x
甲商场实际花费 400 …乙商场实际花费 550 …
(2)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？
2．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）光明中学某班级的同学们计划购买智能健康手环，
现从两家商场了解到同一款智能健康手环标价都是200元，并且都有一定的优惠．甲商场
提出的优惠活动：会员制，会员年费60元，之后购买每个智能健康手环打七五折；乙商场
提出的优惠活动：无会员费，购买每个智能健康手环打八折．该班选择哪家商场购买更优
惠？3．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）地铁开通后，小师同学上学有两种交通方案可选：
方案一：购买地铁月卡，乘坐地铁（卡费60元/月，购买后当月每次乘地铁仅需2元，不
限次数）
方案二：先乘公交车（单程1元），再换乘地铁（无优惠，单程3元）．
本月共有31天，小师每天上学需往返乘坐，若设小师本月上学x天，请回答下列问题：
(1)方案一的月花销为________元，方案二的月花销为________元；（用含x的代数式表
示）
(2)根据x的不同情况，说明小师选择哪个方案更省钱．4.2024年清明节假期某风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外甲，乙两商店
以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，甲商店的优惠方案：
购物价格累计超过100元后，超出100元的部分打八折，乙商店的优惠方案：购物价格累计
超过80元后，超出80元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为x(x>80)元的商品．
(1)当x=250时，在甲商店购买的优惠价为 元，在乙商店购买的优惠价为 元．
(2)顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
