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专题 9.4 一元一次不等式（分层练习）
一、单选题
1．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·广东茂名·期中）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）不等式 的最大整数解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（20-21七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组 ， ，则 的最小值是
（ ）
A．1 B． C．0 D．
5．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超
过 ，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的不等式 的解集是 ，则关于x的不
等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北石家庄·一模）不等式 的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组 的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2017·江苏·一模）已知点P（1－2m，m－1），则不论m取什么值，该P点必不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前
面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）已知 是关于 的一元一次不等式，则 ．
12．（23-24八年级下·广东深圳·期中）关于 的不等式 与 的解集相同，则
13．（23-24八年级下·广东茂名·期中）不等式 的非负整数解为 ．
14．（20-21八年级上·陕西西安·期末）不等式 的最大整数解是 ．
15．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）不等式 的解集是 ．
16．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）若关于x的不等式 只有两个负整数解，则a满足的条件是
．
17．（2016八年级·全国·竞赛）若质数 、 满足： ， ，则 的最大值为 ．
18．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示
的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图
②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下
去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当 时，a的值为 ．19．（22-23八年级下·四川成都·期末）关于x的不等式 的解集在数轴上表示如图，则k的值为
．
20．（23-24九年级下·北京·阶段练习）某陶艺工坊有 A 和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．
两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示．
数量（个）尺寸款
大 中 小
式
A 8 15 25
B 0 10 20
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置
不能替换为烧制较大陶艺品．
某批次共生产了10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．
（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 次；
（2）若A款电热窑每次烧制成本为 55 元，B款电热窑烧每次烧制成本为20元，则烧制这批陶艺品成本
最低为 元．
三、解答题
21．（23-24八年级下·河北保定·期中）解下列不等式．
(1) ； (2) ．
22．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1) 若该方程的解满足 ，求a的取值范围；
(2) 若该方程的解是不等式 的最大整数解，求a的值．23．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）某个体户经营榨油厂，主要加工出售菜籽油和芝麻油．某饭店在
该油厂采购这两种油，若购买30桶菜籽油和20桶芝麻油共需要4600元，购买10桶菜籽油和50桶芝麻
油共需要5000元．
(1)求菜籽油和芝麻油每桶的售价；
(2)该饭店计划购买菜籽油和芝麻油共100桶，预算总费用不超过9200元，求菜籽油最多购买多少桶？
24．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足
．
(1)求a的取值范围；
(2)化简： ；
(3)求关于k的不等式 的解集．
25．（2021·河北承德·一模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 区就会自动减去2，同时 区就会
自动加上 ，且均显示化简后的结果．已知 ， 两区初始显示的分别是25和 ，如图1所示，第一
次按键后， ， 两区分别显示如图2所示．
（1）从初始状态按2次后，分别求 ， 两区显示的结果；
（2）从初始状态按键 次，若每次按键后， 区的计算结果不小于 区的计算结果，求 的最大值．26．（22-23七年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，有点 ， ，点 在第一
象限，若a，b满足 ．
(1)求点A，B的坐标；
(2)若点P在直线 上方，且 ，求m的取值范围；
(3)点C在直线 上，且 ，求点C的坐标．参考答案：
1．B
【分析】此题考查一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义的内容是解题的关键．
从是否含有不等号，是否含有未知数，未知数的个数是否一个，这个未知数的指数是否为1，四个方面判
断即可．
【详解】A、 不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B、 是一元一次不等式，故本选项符合题意；
C、 不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D、 不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法即可求解，熟练掌握一元一次不等
式的解法是解题的关键．
【详解】解： ，
解得： ，
故选B．
3．B
【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等的
解集，进而求出其最大整数解即可．
【详解】解：
移项得： ，
合并同类项得； ，
系数化为1得： ，
∴不等式 的最大整数解为2，
故选：B．
4．B
【分析】先解二元一次方程组，再根据条件 列出不等式，解不等式即可求得答案．
【详解】① ②得：
① ②得：
解得
的最小值为 ．
故选B．
【点拨】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关
键．
5．A
【分析】主要考查了不等式的应用，解题的关键是找到不等量关系．
根据销售这种电动汽车获利超过 ，即可列出不等式解答；
【详解】解：根据题意可得： ，
即
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质可得 ，且 ，据此求出
，再解对应的不等式即可．
【详解】解：∵关于x的不等式 的解集是 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．7．A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解、无理数的估算等知识点，求得不等式的解集是解答本
题的关键．
先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中确定正整数解的个数即可．
【详解】解：由 可得： ，
∵ ，
∴
∴正整数解为： ，有3个．
故选A．
8．C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进
而求得整数a最小值．
【详解】解： ，
解①得 ，
解②得 ．
则不等式组的解集是 ．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴ ．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点拨】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
9．A
【详解】解：①1-2m＞0时，m＜ ，
m-1＜0，
所以，点P可以在第四象限，一定不在第一象限；②1-2m＜0时，m＞ ，
m-1既可以是正数，也可以是负数，
点P可以在第二、三象限，
综上所述，P点必不在第一象限．
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．
由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有 瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就
分不到3瓶，可得 ．
【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，
∴共有 瓶牛奶，
∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，
∴
故选：A．
11．
【分析】
本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的未知数的最高次数为1，即可求出 的值．
【详解】解： 是关于 的一元一次不等式，
，
，
故答案为： ．
12．2
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式解的情况求参数，先求出不等式 的解
集为 ，再根据解集相同即可得出答案．
【详解】解：解不等式 得： ，关于 的不等式 与 的解集相同，
，
故答案为： ．
13．0，1，2
【分析】本题考查解一元一次不等式，能够熟练地求出一元一次不等式的解集是解题的关键．
求出一元一次不等式的解集，根据要求写出符合要求的数即可．
【详解】解： ，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得， ，
∴非负整数为：0，1，2．
故答案为：0，1，2．
14．4
【分析】求出不等式的解集，即可得出答案．
【详解】解：不等式两边同时乘以6得： ，即
解得
故该不等式的最大整数解是4
故答案为：4
【点拨】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键．
15． /
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“ ”可理解为数 在数轴上对应的点到原点的距离小于 ，
不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
16．
【分析】求得不等式的解集为 ，根据关于x的不等式 只有两个负整数解，即可得出，进而即可求出a满足的条件．
【详解】解：解不等式 得： ，
关于x的不等式 只有两个负整数解，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的整数解，理解关于x的不等式 的负整数解是 ， 是解题的
关键．
17．
【分析】此题主要考查了质数的定义以及不等式的解法等知识，根据已知分别得出 ， 的取值范围，进
而结合质数的定义得出 ， 的最值，进而得出答案，分别得出 ， 的取值范围是解题关键．
【详解】由 得 ，
∴ ，显然 的值随着质数 的增大而增大，
当且仅当 取得最大值时 取得最大值，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ 为质数，
∴ 的可能的取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
当 时， ，不是质数；
当 时， ，是质数，
∴ 的最大值为 ， 的最大值为 ，
故答案为： ．
18． 或
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到 的取值范围；第三次操作
后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
∴
当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：∴
∵
∴第一次操作，剩下的长方形宽为： ，长为： ；
第二次操作，当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为： ，长为： 时，得：
解得：
∴
∵在第 次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为： 时，得：
解得：
∵
∴ 符合题意；
当剩下的正方形边长为： 时，得：
解得：
∵
∴ 符合题意；
∴ 的值为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不
等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
19．2
【分析】解不等式 得到 ，根据数轴可得不等式的解集为 ，故可得方程 ，即可解答．
【详解】解：解不等式 ，
可得 ，
根据数轴可得不等式的解集为 ，
可得方程 ，
解得 ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了根据一元一次不等式的解集求参数，熟练解一元一次不等式是解题的关键．
20． 2 130
【分析】
本题考查一元一次不等式的应用、有理数的混合运算，理解题意，正确列出不等式或算式是解答的关键．
（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次，根据“共生产了10个大尺寸陶艺品”列不等式求解即
可；
（2）先求得A款电热窑烧制2次和B款电热窑烧制1次的成本，以及A款电热窑烧制3次时的成本，然后
比较即可得出答案．
【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，A款电热窑使用了x次，
根据题意，得 ，则 ，
∵x为正整数，
∴x的最小值为2，
即烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用了2次，
故答案为：2；
（2）根据题意，A款电热窑烧制2次时，第2次的5个大尺寸陶艺品位置烧制10个中尺寸陶艺品，1个大
尺寸陶艺品位置烧制6个小尺寸陶艺品，
则还需烧制中尺寸陶艺品 （个），小尺寸陶艺品 （个），
∴还需B款电热窑烧制一次刚刚好，所需成本为 （元），
如A款电热窑烧制3次时，所需成本为 （元），
∵ ，
∴烧制这批陶艺品成本最低为130元，
故答案为：130．
21．(1)(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 ．
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得 ．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足 ，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式 的最大整数解，可得 ，即可求
解．
【详解】（1）解方程 ，得 ，
∵该方程的解满足 ，
∴ ，解得 ．
（2）解不等式 ，得 ，
则最大的整数解是 ．
把 代入 ，
解得 ．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次
方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
23．(1)菜籽油每桶售价为100元，芝麻油每桶售价为80元．
(2)60桶
【分析】（1）设菜籽油每桶售价x元，芝麻油每桶售价y元，利用购买30桶菜籽油和20桶芝麻油共需要
4600元，购买10桶菜籽油和50桶芝麻油共需要5000元，再建立方程组解题即可；
（2）设购买菜籽油m桶，则购买芝麻油 桶．利用计划购买菜籽油和芝麻油共100桶，预算总费
用不超过9200元，再建立不等式解题即可．
【详解】（1）解：设菜籽油每桶售价x元，芝麻油每桶售价y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：菜籽油每桶售价为100元，芝麻油每桶售价为80元．
（2）设购买菜籽油m桶，则购买芝麻油 桶．
根据题意，得 ，
解得 ，
答：菜籽油最多购买60桶．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，化简绝对值，正确解不等式，求出解集是
解答本题的关键．
（1）将a看作已知数求出方程组的解，由 即可得到关于a的不等式，解不等式即可；
（2）由 ，得 ， ，据此化简绝对值即可；
（3）根据 ，得 ，据此求解关于k的不等式即可．【详解】（1）解： ，
由 ，得 ，
解得： ，
把 代入①，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴
．
（3）解：∵
∴
∴
∴ ．
25．（1）A区显示结果为： ，B区显示结果为： ；（2）n的最大值是6．
【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A区就会自动减2， 区就会自动加22，可直接求出初始
状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按n次后A，B两区显示的代数式，再根据A，B两区显示的代数式
值的关系列不等式，即可确定n的最大值．
【详解】解：（1）A区显示结果为： ，
B区显示结果为： ；
（2）初始状态按n次后A显示为：B显示为：
∵A区的计算结果不小于 区的计算结果，
∴ ，
∴ ．
∴n的最大值是6．
【点拨】本题考查了列代数式，列不等式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根
据不等式的解集确定最值．
26．(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）由已知可以得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可以得到A、B的坐标；
（2）连接 ，即可用m表示出三角形 和三角形 的面积，根据 可以
用m表示出三角形 的面积，再由已知条件得到关于m的不等式即可；
（3）分点C在线段 上和点C在射线 上两种情况讨论．
【详解】（1）∵ ，
∴
解得， ，
∴ ， ，
（2）如图1，连接 ，则 ， ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，解得： ；
（3）连接 ，设
如图2，当点C在线段 上时，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得， ；
又 ，
∴ ，解得， ；∴
如图3，当点C在射线 上时，
同理可求得，
综上所述， 或
【点拨】本题考查由直线围成的图形面积的应用，熟练掌握非负数的应用、二元一次方程组的求解、由直
线围成的图形面积的求解及不等式的求解是解题关键．
