文档内容
第 10 讲 一元一次不等式组（5 个知识点+5 种题型
+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组
但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等
式的个数可以是两个及以上的任意几个．
知识点2．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组
成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，
再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点3．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集
的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再
根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等
关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不
大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类
题目．
知识点5．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
知识复习
一．一元一次不等式组的定义（共5小题）
1．（2021春•游仙区校级期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
2．（靖江市校级月考）有甲、 乙、 丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等
式组， 他们各说出该不等式组的一个性质：
甲： 它的所有的解为非负数；乙： 其中一个不等式的解集为 ；
丙： 其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向 ．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ．
3．我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组．
4．下列选项中，是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
5．（福州校级期末）写出一个解集在数轴上如图所示的不等式组： ．
二．解一元一次不等式组（共9小题）
6．（2024•南阳模拟）不等式组 的解集为 ．
7．（2023•崇川区校级三模）已知点 在第三象限，则 的取值范围是 ．
8．（2024•光明区二模）把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是
A． B．
C． D．
9．（2024•永善县一模）若关于 的不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2024•叙州区校级一模）对于实数 ，符号 可表示不超过 的最大整数，如
， ．若 有正整数解，则正实数 的取值范围是 ．
11．（2023春•武汉期末）已知关于 的不等式组 ，下列四个结论：
①若它的解集是 ，则 ；
②当 ，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则 的取值范围是 ；
④若它有解，则 ．
其中正确的结论个数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023春•彭山区校级期中）已知关于 、 的方程组 的解均为非负数，
（1）求 的取值范围；
（2）化简： ．
13．（2023•雁塔区校级模拟）解一元一次不等式组 ，并把解表示在数轴
上．14．（2023•银川校级二模）解不等式组 并写出它的解集在数轴上表示出
来．
三．一元一次不等式组的整数解（共9小题）
15．（2023春•新泰市期末）已知关于 的不等式 整数解共有2个，若 为整数，
则
A．2 B．3 C．4 D．5
16．（2023春•沈丘县月考）若整数 使关于 的不等式组 有4个整数解，
且使关于 、 的方程组 的解为整数，那么满足条件的整数 的值为 ．
17．（2023春•牟平区期末）关于 的不等式组 恰有3个整数解，则 的取值范
围是 ．
18．（2023春•道外区校级期中）不等式组 的最小整数解为 ．
19．（2023春•合阳县期末）对于任意实数 、 ，定义一种运算： ，
如： ，请根据以上定义解决问题：若关于 的不等式组 有2个
整数解，则 的取值范围为是
A． B． C． D．20．（2023春•枣阳市期中）如果关于 的方程 有非负整数解，且关于
的不等式组 的解集为 ，则所有符合条件的整数 的和为
A． B． C． D．
21．（2023 春•鲤城区校级期中）若 、 、 是 的三边，且 、 满足关系式
， 是不等式组 的最大整数解，求 的周长．
22．（2023春•隆昌市校级期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集
范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程 的解为
，而不等式组 的解集为 ，不难发现 在 的范围内，所
以方程 是不等式组 的“相依方程”．
（ 1 ） 在 方 程 ① ； ② ； ③ 中 ， 不 等 式 组
的“相依方程”是 ；（填序号）
（2）若关于 的方程 是不等式组 的“相依方程”，求 的取值
范围；
（3）若关于 的方程 是关于 的不等式组 的“相依方程”，且
此时不等式组有5个整数解，试求 的取值范围．23．（2024•常州一模）解不等式组： ，并求出它的正整数解．
四．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共8小题）
24．（2023春•乐陵市期末）如图，已知每一个同类水果的质量相同， ， ， 分别表示
一个苹果、一个梨、一个桃子的质量，则下列关系中正确的是
A． B． C． D．
25．（2021春•远安县期末）阿江同学每分钟跳绳的次数范围为少于160次，但不少于120
次，用不等式表示为 （用 表示每分钟跳绳的次数）
26．（2023春•广西月考）某数的3倍大于2，它的2倍不大于1，设某数为 ，可列不等
式组为
A． B． C． D．
27．（2021春•古城区期末）已知 的5倍与3的差大于10，且不大于20，用不等式表示
为 ．
28．（2023春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若
每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．
若设有 人，则可列不等式组为
A． B．
C． D．
29．某文具批发商有水彩笔144支，油画棒102支，计划将其装成甲，乙两种套装小礼盒，
甲种每盒装有水彩笔10支，油画棒6支，乙种装有水彩笔8支，油画棒8支，两种套装礼
盒共装15盒．设装 盒甲种礼盒，写出 应满足的不等式组．30．（2022春•岳池县期末）请阅读下面求含绝对值的不等式 和 的解集过程．
对于含绝对值的不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值小于
3，所以 的解集为 ；对于含绝对值的不等式 ；从图2的数轴上看：小
于 或大于3的数的绝对值大于3，所以 的解集为 或 ．
（1）含绝对值的不等式 的解集为 ；
（2）已知含绝对值的不等式 的解集为 ，求实数 ， 的值；
（3）已知关于 ， 的二元一次方程 的解满足 ，其中 是正数，
求 的取值范围．
31．（2023春•丹徒区期末）【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如
表示数轴上表示 这个数的点到原点的距离，那么式子 可理解为：数轴上表示 这个
数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式 则是要在数轴上找出到1的距
离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到 1距离小于等于2的点对应的数
都在 和3之间（包含 和3两个点），这样我们就可以得到不等式 的解集为：
；【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
（1）不等式 的解集为 ；
（2）不等式 的解集为 ；
（3）不等式 的解集为 ；
（4）不等式 的解集为 ；
（5）对于任意数 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围．
五．一元一次不等式组的应用（共9小题）
32．（2023春•兖州区期末）小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，
小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至
多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”．
则这本书的价格 （元 所在的范围为
A． B． C． D．
33．（2023春•临沭县期末） ， ， ， 四个小朋友玩跷跷板，结果如图所示，则他
们的体重大小关系为
A． B． C． D．
34．（2023春•罗庄区期末）为了落实精准扶贫政策，某单位对某山区贫困村提供优质种
羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只：若每户发放母羊5只，则多出15只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只，这批种羊共 只
A．55 B．85 C．65 D．75
35．（2023春•卫辉市期中）如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入
一个值 ”到判断“结果是否 ”为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么
的取值范围为 ．
36．（2023春•南岗区校级期中）把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，
则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有 本．
37．（2023春•长泰县期中）“输入一个数 ，然后经过如图的运算，到判断结果是否大
于7为止”叫做一次操作，若经过两次操作就停止，则 的取值范围是 ．
38．（2023春•淇滨区校级期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人
得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”光明中学为提升学生的阅读品味，决定购买第十届
茅盾文学奖的获奖篇目《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共 50本．
已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风
记》的价格相同．
（1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为多少元？
（2）若学校购买《北上》的数量多于17本，且购买两种书的总价不超过1600元，请问有
几种购买方案？最低费用为多少元？
39．（2023春•泾阳县期中）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18 超过18吨的部分
吨的部分
收费标准（元 吨） 2.00 2.50 3.00
（1）某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？
（2）要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？
40．（2023春•揭东区期中）某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风扇，若购进 8台空调和20台电风扇，
需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元．
（1）求空调和电风扇的采购价各是多少元？
（2）该老板计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000
元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30
元，该老板希望当这两种电器销售完时，所获的利润不少于 3500元，试问老板有哪几种进
货方案？
（3）在所有的进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少？
强化训练
一、单选题
1．（21-22七年级下·全国·单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若不等式 的解集是 ，则a必满足
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图表示的是关于x的不等式 的解集，则
a的值是（ ）
A．0 B． C． D．3
4．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知有理数 ，且 ，则使 始终成立的有
理数 的取值范围是（ ）
A．小于或等于 的有理数 B．小于 的有理数
C．小于或等于 的有理数 D．小于 的有理数
5．（22-23七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x
千米，则满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组 有3
个整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·广东广州·期中）若关于x的不等式组 的整数解仅有1
和2，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式组 只有3个整数
解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．39 B．42 C．45 D．48
9．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式 至少2个整数
解，且关于x，y的方程组 的解满足 ，则满足条件的整数m有
（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）对实数x，y定义一种新的运算F，规定若关于正数x的不等式组 恰好有 3 个整数解，则m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（21-22七年级下·全国·单元测试） 的 倍与 的和大于 ，且 的 倍是非负数，列
不等式组为 ．
12．（23-24七年级下·北京·期中）已知 为实数，且 ，则
的平方根为 ．
13．（23-24七年级下·广东广州·期中）对于任意实数m，n，定义一种运算
，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：
．请根据上述定义解决问题：若 ，且解集中有两个整
数解，则a的取值范围是 ．
14．（七年级·全国·单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，
就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等
式组的 ．
15．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）设 ， 是正整数，且满足 ，
，则 ．
16．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若 ，且 ， ，设
，
（1）用只含有 的代数式表示 ，则 ；
（2）t的取值范围为 ．
17．（2024·四川南充·模拟预测）定义一种新运算： ，例如：
．根据上述定义，不等式组 的整数解为 ．
18．（2024七年级·全国·竞赛）如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 分别表示
1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个数，不同的字母表示不同的数，使得分别以正九边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，那么 的值为
．
三、解答题
19．（七年级下·全国·单元测试）已知 中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取
值范围．
20．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组 ．
(1)若此方程组的解满足 ，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于 的不等式 的解集为 ，求满足条件
的a的整数值．21．（23-24七年级下·广东广州·期中）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，
， ，求a的取值范围．
（2）已知 ， 且 ， ，求k的取值范围．
（3）已知 ， ，在关于x，y的二元一次方程组 中，
， ，求代数式 的最大值．
22．（23-24七年级下·北京通州·期中）解下列不等式和不等式组
(1)解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
(2)解不等式组 ，并写出不等式组的所有整数解．23．（23-24七年级下·北京·期中）对于两个关于 的不等式，若有且仅有一个整数 ，使
得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数 “互联”．例如：不等式 和
不等式 关于整数 “互联”．
(1)不等式 和 关于整数______“互联”；
(2)若关于 的不等式 和 关于整数 “互联”，
①直接写出 的值为______；
②求 的最大值；
(3)已知不等式 和 关于整数 “互联”，直接写出 的取值范围．
24．（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式 的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
① 或② ，
解不等式组①得 ，
解不等式组②得 ，等式 的解集为 或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出 的解集；
(2)求不等式 的解集．
25．（23-24七年级下·北京通州·期中）莉莉在归纳有理数运算时得到下列结论：对于任意
两个有理数a，b，①如果 ，那么 或者 ．②如果 ，那么 或者
，③如果 ，那么 或者 ，我们发现这些结论在整式运算中仍然成立．
例如，解不等式 ．由不等式 可得：不等式组① 或
不等式组② ，解不等式组①得： ，解不等式组②得 ，∴不等式
的解集为 或 ．请你完成下列任务．
(1)解方程： ；
(2)求不等式 的解集；
(3)求不等式 的解集﹔
(4)如果（1）中方程的两个解，都是关于x的不等式组 的解，求m的取值范围．26．（22-23七年级下·广东惠州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图 所示的
长方形和正方形纸板 长方形的宽与正方形的边长相等 加工成如图所示的竖式与横式两种
无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
(1)若该厂购进正方形纸板 张，长方形纸板 张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多
少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板 张，长方形纸板 张，
全部加工成上述两种纸盒，且 ，试求在这一天加工两种纸盒时， 的所有可能
值．
