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跟踪训练 03 空间直线、平面的平行
一．选择题（共15小题）
1．设 与 分别为圆柱上下底面圆周上的点，且位于该圆柱轴截面 同侧，下底面
圆心 在 上，若 ， ， ，则直线 与 所成角
的余弦值为
A． B． C． D．
2．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 为
棱 的中点，点 是棱 上的一点，且 ，则直线 与 所成角的余弦值
为
A． B． C． D．
3．在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则异面直线 与
所成角的大小为
A． B． C． D．
4．下列命题正确的是（1）已知平面 和直线 ， ，若 ， ，则 ；
（2）已知平面 ， 和直线 ， ，且 ， 为异面直线， ， ．若直线 满
足 ， ， ， ，则 与 相交，且交线平行于 ；
（3）已知平面 ， 和直线 ， ，若 ， ， ， ，则 ；
（4）在三棱锥 中， ， ， ，垂足都为 ，则 在底面
上的射影是三角形 的垂心
A．（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）
5．如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， 的中点，则
异面直线 ， 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．在正方体 中，点 在 上运动（包括端点），则 与 所成角
的取值范围是
A． B． C． D．
7．在直三棱柱 中， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为A． B． C． D．
8．如图，在直三棱柱 中， ， ，则直线 与直线
夹角的余弦值为
A． B． C． D．
9．在正方体 中，异面直线 ， 所成角的大小为
A． B． C． D．
10．如图，在正四棱台 中， ， 分别为上、下底面中心， ， 分别
为 ， 的中点，则下列结论中错误的是A． 是直角梯形 B． 是直角梯形
C．直线 与直线 异面 D．直线 与直线 异面
11．在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点，
，则 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
12．已知正三棱柱 的所有棱长均相等，点 为 的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
13．四棱柱 中，侧棱 底面 ， ，底面 中满
足 ， ， ， 为 上的动点， 为四棱锥 外
接球的球心，则直线 与 所成角的正弦值的最小值为
A． B． C． D．
14 ． 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 中 ， ，
，则直线 与直线 所成角的余弦值为A． B． C． D．
15．若 ， 表示两条不重合的直线， ， ， 表示三个不重合的平面，下列命题正确
的是
A．若 ， ，且 ，则
B．若 ， 相交且都在 ， 外， ， ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
二．多选题（共5小题）
16．如图，在三棱柱 中，已知点 ， 分别在 ， 上，且 经过△
的重心，点 ， 分别是 ， 的中点，且 、 、 、 四点共面，则下列
结论正确的是
A． B． 平面C． D．平面 平面
17．在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中
点， 为正方体表面上的一个动点，下列说法正确的是 ．
A． 平面
B．平面 截正方体所得的截面面积为
C．满足 平行于平面 的点 的轨迹总长度为
D．异面直线 与 所成角的正弦值为
18．在正方体 中，点 、 、 分别为棱 、 、 的中点，下
列命题中正确的是
A．
B． 平面
C． 平面
D．异面直线 、 所成角的大小为
19．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ，侧面 为正三角形，且平面 平面 ，则下列说法正确的是
A．在棱 上存在点 ，使 平面
B．异面直线 与 所成的角的余弦值为
C．直线 与平面 所成的角为
D． 平面
20．已知 ， ， 是不同的平面， ， ， 是不同的直线，则下列命题正确的是
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则 ， ， 两两平行
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
三．填空题（共5小题）
21．已知直三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， ， 分别是 和 的中
点，那么异面直线 和 所成角的余弦值等于 ．22．在如图所示的直四棱柱 中， ， ，点 在侧面
内（含边界）运动，若点 到直线 与直线 的距离相等，则直线 与直线
所成角的正弦值的最大值为 ．
23．三棱锥 中， ， ， 两两垂直且相等，点 ， 分别在线段 和
上移动，且满足 ，则 和 所成角余弦值的取值范围是 ．
24．在如图直四棱柱 中，底面 为菱形， ，
，点 为棱 的中点，若 为菱形 内一点（不包含边界），满足
平面 ，设直线 与直线 所成角为 ，则 的最小值为 ．
25．已知体积为6的四面体 满足 ， ， ，则
异面直线 与 所成的角的大小为 ．四．解答题（共3小题）
26．如图所示，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 为正三角形，
为线段 上一点， 为 的中点．
（1）当 为 的中点时，求证： 平面 ．
（2）当 平面 ，求出点 的位置，说明理由．
27．如图，平行六面体 的底面是菱形，且 ，
， ．
（1）用空间的一个基底 表示 ，并求 的长；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．28．如图，在圆柱 中， 是底面圆 的直径， 为半圆弧 上一点， 是圆柱的
母线．已知 ，圆柱的体积为 ．
（1）求圆柱 的表面积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
