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第9 章 不等式与不等式组（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点1】一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等
式。
（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫解不等式。
（4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
（5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
【要点2】等式基本性质
性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式。
【要点3】不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项
要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【要点4】解不等式的步骤：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化为1。
【要点5】解不等式的步骤：
（1）解出不等式的解集；（2）在同一数轴表示不等式的解集；（3）写出不等式组的解
集。
【要点6】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1）审题； 设未知数，找（不等量）关系式；设元，(根据不等量)关系式列不等式
(组) ；
（4）解不等式组，检验并作答。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 的值为负数，则 满足（ ）A． B． C． D．
2．若 ，且 ，则a的值可以是（ ）
A． B． C．0.7 D．
3．不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式 括号中部分数字和符号被墨水污染，淇淇查看到该不等式的解为 ，
则污染部分的内容为（ ）
A． B． C． D．
5．下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
6．若实数 满足： ，则实数 的整数解有（ ）个
A．8 B．7 C．6 D．5
7．若 时，则关于 的不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 为（ ）
A． B．
C． 或 D．
9．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ）A． B． C． D．
10．观察下列式子：
4×6-2×4=4×4；
6×8-4×6=6×4；
8×10-6×8=8×4；
…
若第n 个等式的右边的值大于 180，则 n的最小值是 （ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11． 或 的否定形式为 ．
12．当 时，点 在第四象限．
13．在数轴上，可以清晰的表达数的大小关系．请你在数轴上画出关于x的不等式 的解集，如果解
集中只有正整数解1，那么a的取值范围是 ．
14．已知 的值小于 的值，化简 ．
15．若不等式组 的所有整数解的和为k，则关于x的一元一次方程 的解为
．
16．运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否 ”为一次程序操作，如果程
序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是 ．
17．如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ， ，C是 的中点，连接 ，并延长 ，点D在 的延长线上，点P是射线 上的一个动点，当 时，点P的横坐标 的
取值范围为 .
18．若关于 的一元一次不等式组 有且仅有3个整数解，则 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（1）求不等式 的正整数解．
（2）解不等式组 ．
20．（8分）小亮在做数学题时由于不小心，把不等式组 污染了一部分（不等式组中的
），他记得这个不等式组的解集是 ，且 里是一个正整数．根据上述信息，你能求出 里原来是一
个什么数吗？
21．（10分）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数 ， ．(1) 若 ，则点A，B间的距离是多少?
(2) 求x的取值范围；
(3) 请确定表示数 的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由．
22．（10分）若点 的坐标满足方程组 ．
(1) 求点 的坐标（用含 的式子表示 ， ）；
(2) 若点 在第二象限，求 的取值范围；
(3) 若点 在第一象限，且 ，则满足条件的整数 有几个？
23．（10分）感知：解不等式 ．根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组
或不等式组 解不等式组 ，得 ；解不等式组 ，得 ，所以
原不等式的解集为 或 ．
（1）探究：解不等式 ．
（2）应用：不等式 的解集是 ．
24．（12分）2024年成都世界园艺博览会于4月26日开幕，成都将向世界展示中华园艺文化的魅力和底
蕴．某学校以此为契机，计划开展“遇见生态文明之美”研学活动．本次活动需租用客车，若单独租用
30座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位．已知每辆
客车的租金情况如表所示：车型 30座 45座
租金（元/辆） 300 400
(1) 求该校参加研学活动的人数；
(2) 该校计划租用以上两种车型的客车共10辆，当两种车型的客车分别租用多少辆时，总费用最少？参考答案：
1．C
【分析】根据题意可得 ，求解即可．
【详解】解：根据题意，可得 ，
解得 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了负数的概念以及解一元一次不等式，根据题意得出 并求解是解题关键．
2．B
【分析】根据不等式的性质3得出a＜0，再得出选项即可．
【详解】解：由am＜an得出m＞n是不等式的两边都除以a，并且不等号的方向改变了，
所以a＜0，
∴只有选项B中的-7＜0，选项A、选项C、选项D中的数都大于0，
即选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的
两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除
以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变．
3．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先根据不等式的性质：先移项，
然后合并同类项即可解得不等式，进而在数轴上表示解集，即可求解．
【详解】解：
∴
∴
解得：
在数轴上表示如图
故选：B．
4．C
【分析】设污染的部分为 ，根据不等式的解集为 ，进行求解即可．【详解】解：设污染的部分为 ，则不等式为 ，
解得： ，
∵不等式的解集为 ，
∴ ，
解得： ；
∴污染部分的内容为 ；
故选C．
【点拨】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键．
5．C
【分析】利用解不等式组的方法判断即可．
【详解】解：A、不等式组的解集为 ，不等式组有解，故不符合题意；
B、不等式组的解集为 ，不等式组有解，故不符合题意；
C、不等式组无解，故符合题意；
D、不等式组的解集为 ，不等式组有解，故不符合题意，
故选：C．
【点拨】此题考查了不等式组的解集，解题的关键掌握解不等式组的方法，同大取大，同小取小，大小小
大中间取，大大小小无解，以及画数轴确定．
6．B
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共
部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），最后求出整数解．
【详解】解：由 可得：
，
解不等式组得： ，
整数解有1，2，3，4，5，6，7共7个．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，其中正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．7．A
【分析】先解不等式 ，得 ，根据同小取小即可得到不等式的解集．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
又 ，
∴当 时，不等式组 的解集是 ，
故选：A．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式，求不等式组的解集，正确理解一元一次不等式解集的确定方法：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，是解题的关键．
8．C
【分析】根据x取非负数或负数两种情况来解不等式，因此得到两种结果．
【详解】当x为非负数时，不等式组的解为
当x为负数时，∵
∴
∴
∴
故选C
【点拨】本题考查含绝对值不等式组的求解，掌握x取值的两种情况是本题解题关键．
9．C
【分析】根据解一元一次不等式的方法求解后即可得出结论．
【详解】解：A. ，两边都除以－2，得 ，解集不符合要求，故此选项不符合题意；
B. ，两边都除以2，得 ，不等号的方向未改变，故此选项不符合题意；
C. ，两边都除以－2，得 ，故此选项符合题意；
D. ，两边都除以－2，得 ，解集不符合要求，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
10．C【分析】根据规律确定第n个等式：2（n+1）（2n+4）-2n（2n+2）=2（n+1）×4，根据第n个等式的右边
的值大于180，列不等式可得结论．
【详解】解：第1个式子：4×6-2×4=4×4；
第2个式子：6×8-4×6=6×4；
第3个式子：8×10-6×8=8×4；
…
∴第n个等式：2（n+1）（2n+4）-2n（2n+2）=2（n+1）×4；
∵第n个等式的右边的值大于180，
即2（n+1）×4＞180，
n＞21.5，
∴n的最小值是22．
故选：C．
【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键，注意n的值为正整数，在
解得n＞21.5时，要注意向上取整．
11． 或 / 或
【分析】此题考查了不等式，根据不等式的意义进行解答即可．
【详解】解： 或 的否定形式是 或 ．
故答案为： 或
12．
【分析】由平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征得到 ，继而解关于x的一元一次不等式即
可解答．
【详解】解：由题意得，
故答案为： ．
【点拨】本题考查平面直角坐标系点的坐标特征、解一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．
【分析】根据不等式的解集即可确定a的取值范围．
【详解】解：如图，
∵解集中只有正整数解1，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了不等式的整数解，关键是掌握不等式的性质．
14． /
【分析】根据题意得到不等式 ，解不等式得到x的范围，再根据绝对值的性质即可求解．
【详解】解：依题意有： ，
解得 ，
则 ，
则 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，绝对值，关键是得到x的范围．
15．
【分析】先解出不等式的解集，找出整数解，得出 值，将 值代入方程算出结果．
【详解】解： ，
由不等式①得 ，
由不等式②得 ，
不等式组的解集是 ，其中整数解为 ， ，0,1，整数解的和为 ，
，将 代入 得 ，
解得： ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，其中找到整数解并求和是解题的关
键．
16．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求代数式的值，熟练掌握程序图的计算规则和步骤，利用
不等式组的解集求出x的取值范围是解题的关键．根据题意，先计算第一次，得到的结果为 ，然后再
计算第二次的结果为 ，列出不等式组，从而求出x的取值范围．
【详解】解：根据题意，
第一次计算得： ；
第二次计算得： ；
∵如果程序操作进行了二次才停止，则有
解得： ，
∴ 的取值范围是 ；
故答案为： ．
17．
【分析】由坐标知， ，构建不等式 ，求解即得答案．
【详解】解：由题意知，点P在第一象限， ，则
，
∴
∴ ．故答案为： ．
【点拨】本题考查直角坐标系，一元一次不等式的应用；根据题意构建不等式求解是解题的关键．
18．
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的
整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、
大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的
不等式组，解之可得答案．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
∴ ，
解不等式②得： ，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的解集为 ，从而得到不等式组的整数解为4、3、2，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
19．（1）1，2，3；（2）无解
【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为 1，得 ．
原不等式的正整数解为1，2，3．（2）
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
原不等式组无解．
20．1
【分析】求出该不等式组中两个不等式的解，根据该不等式组的解集为 可得 ，再根据 里是
一个正整数即可求得．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
该不等式组的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 里是一个正整数，
∴ ，
故原来的数字是1．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是根据不等式组的解集求得 ．
21．(1)点A、B间的距离是 ；
(2) ；
(3)表示数 的点落在线段 上．
【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
（1）将 代入 ，求出 代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可；
（2）求出 的范围，进行判断即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ 代表的数为 ，
∴点A、B间的距离是 ；
（2）解：由题意，得： ，
解得： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴表示数 的点落在线段 上．
22．(1)
(2)
(3)2个
【分析】（1）运用加减消元法解此方程组；
（2）由题意构造不等式组并求解；
（3）由题意构造不等式组并求解，并确定出符合条件的 的值．
【详解】（1）解： ，
得， ，
解得 ，
把 代入 得， ，解得 ，
该方程组的解为 ，
点 的坐标为 ；
（2）解：由题意得不等式组 ，
解得 ，
的取值范围 ；
（3）解：由题意得不等式组 ，
解得 ，
满足条件的整数 有 ， ，
即满足条件的整数 有 个．
【点拨】此题考查了含字母参数的方程组与不等式组综合问题的解决能力，关键是能对以上题目正确求解，
并确定出符合条件的字母参数的值．
23．（1）-1＜x＜2;（2）-5≤x≤3
【分析】（1）先把不等式转化为两个不等式组 或 ，然后通过解不等式组来求分式不
等式；
（2）根据题意先把不等式转化为两个不等式组 或 ，然后通过解不等式组来求不等式．
【详解】（1）根据题意原不等式可化为不等式组
① 或②{
解不等式组①，无解.解不等式组②，得：−1
