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安徽合肥庐阳区庐阳中学
七年级下学期期中数学试卷
（满分：150分）
一、选择题（共十题：共40分）
1. 16的平方根是（ ）
A. 8 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义进行计算．
【详解】解：16的平方根是 ，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是本题的解题关键．
2. -64的立方根是（ ）
A. -8 B. ±4 C. 8 D. -4
【答案】D
【解析】
【分析】根据立方根的定义直接求解即可．
【详解】解：-64的立方根是-4．
故答案为D．
【点睛】本题考查了立方根的定义，掌握负数的立方根仍为负数是解答本题的关键．
3. 有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不含根号的数一定是有理数；③负数没有平方根；④
是6的平方根．其中正确的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；整数和分数统称为有理
数，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数；正数有两个平方根，它们
互为相反数，负数没有平方根；
【详解】解：实数和数轴上的点一一对应，①正确；
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学科网（北京）股份有限公司不含根号的数一定是有理数，②错误，如 是个无理数；
负数没有平方根，③正确；
是6的平方根，④正确；
①③④正确，
故选： D．
【点睛】本题考查了实数和数轴的关系，有理数的定义，平方根的定义；掌握相关定义是解题关键．
4. 估算 的值（ ）
A. 在1到2之间 B. 在2到3之间
C. 在3到4之间 D. 在4到5之间
【答案】C
【解析】
【
详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴估算其值在3到4之间
故选：C
5. 已知实数实数 ， ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两
边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改
变，可得答案．
【详解】解：A、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都先乘以2，再减去 ，不等号的方向不变，故C正确；
D、不等式的两边都先乘以 ，再加上 ，不等号的方向改变，故D错误；
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学科网（北京）股份有限公司故选：D．
【点睛】主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是关键．
6. 下列各式中，正确的有（ ）
A. a3+a2=a5 B. x(x m )3= x3m C. a8÷a2=a4 D. (－2a3)2=4a6
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法、积的乘方法则分别计算得出答
案．
【详解】A．a3+a2，无法计算，故此选项不合题意；
B．x（x m）3= x3m+1，故此选项不合题意；
C．a8÷a2=a6，故此选项不合题意；
D．（－2a3）2=4a6，故此选项不合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项以及积 的乘方运算和单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解
题的关键．
7. 若 展开后不含 的一次项，则 的值为（ ）
A. 8 B. C. 0 D. 8或
【答案】B
【解析】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含 的一次项，确定出 的值即可．
【详解】解：原式 ，
由结果不含 的一次项，得到 ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8. 下列各式中，自左向右变形属于分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式；因式分解的结果是整式的乘积的形式，这是判
断是否是因式分解的依据．
【详解】解：A．右边结果不是整式的乘积的形式，不属于分解因式；
B．运用平方差公式化为整式的乘积的形式，属于分解因式，符合题意；
C．该选项是整式的乘法运算，不属于分解因式；
D．运算错误，不符合题意；
故选： B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，牢记分解的结果是整式的乘积的形式是解题关键．
9. 已知 ，则 的值为（ ）
A. 9 B. 6 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得 ，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．
【详解】解： ，
，
．
也可采用： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，关键是利用换元法消去所求代数式中的 ．
10. 如果关于x的不等式组 有解，且关于x的方程 有正整数解，则符合条件的所
有整数k的和为（ ）
.
A －1 B. －3 C. －7 D. －8
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式组，若不等式组有解则其解的上限要比下限大，从而确定参数 的范围；解方程
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，若方程有正整数解则 ；然后取满足条件的整数 验证 是否为正
整数即可解答；
【详解】解：由不等式 可得 ，
由不等式 可得 ，
∴不等式组的解为 ，
若不等式组有解则 ，可得 ，
由 可得 ，
∵方程 有正整数解，
∴ ，可得 ，
当 时， 则 ， 则 ， 则 ，
∴符合条件的所有整数k的和 ，
故选： B．
【点睛】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的
几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
二、填空题（共四题：共20分）
11. 2019新型冠状病毒（ ），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉
的
害 电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示为
______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.000000125用科学记数法表示为 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据同底数幂的乘法法则，得 ，再根据积的乘方运算法则，得
，然后计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方法则，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
13. 如果 ， ， 是整数，且 ，那么我们规定一种记号 ，．例如 ，那么记作
．根据以上规定，求 ______．
【答案】0
【解析】
【分析】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用0指数幂的意义解答即可．
【详解】解：设 ，
，那么我们规定一种记号 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了0指数幂，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．
14. 如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a＋b＝4，ab＝2，则阴影部分的面积为______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积 ，通过配完全平方公式化为含 和 代数式
的整式，然后再代入求值即可；
【详解】解：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去两个空白三角形的面积，
∴阴影部分的面积
故答案为：5；
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式 是解题关键．
三、计算题（共二题：共16分）
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学科网（北京）股份有限公司15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数，负整数指数幂运算的意义，算术平方根、立方根的定义计算即可．
【详解】解：原式 ，
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，零指数、负整数指数幂，算术平方根、立方根的定义，熟练掌握上
述知识是本题的关键．
16. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算积的幂，再计算单项式乘单项式，然后计算单项式除以单项式；
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键．
四、解不等式或因式分解（共二题：共16分）
17. 解不等式： ，并将不等式的解集在数轴上表示出来．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ，数轴表示见解析；
【解析】
【分析】依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1（系数是负数的，不等号要改变方向），解
不等式即可；
【详解】解：
∴不等式的解集为： ，
为
在数轴上表示 ：
【点睛】本题考查了解不等式及其解集的数轴表示，注
意“＜”要用空心点表示．
18. 分解因式：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式即可；
（2）先提取公因数 ，再利用平方差公式即可．
【小问1详解】
解： ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解： ．
【点睛】本题考查了因式分解，牢记完全平方公式 和平方差公式
是解题关键．
五、解答题（共二题：共20分）
19. 请解答下列各题：
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知n为正整数，且 ，求 的值．
【答案】（1）16 （2）32
【解析】
【分析】（1）将 化为 ，再根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相
加；计算求值即可；
（2）先根据幂的乘方，底数不变指数相乘，再提取公因式 ，然后代入求值即可；
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解： ；
【点睛】本题考查了幂的运算法则，掌握相关运算法则是解题关键．
20. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ,0.5
【解析】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式展开，再计算加减法化简，最后代入字母的值即可．
【详解】解：原式
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学科网（北京）股份有限公司，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，涉及完全平方公式与平方差公式，正确掌握整式的运算法则是解题
的关键．
六、解答题（共一题：共12分）
21. 我校体育组因教学需要本学期购进篮球和足球共80个，共花费5800元，已知篮球的单价是80元/个，
足球的单价是50元/个．
（1）篮球和足球各购进了多少个？
（2）因开展大课间的需求，体育组提出还需购进同样的篮球和足球共40个，但学校要求花费不能超过
2800元，那么篮球最多能购进多少个？
【答案】（1）篮球购进了60个，足球购进了20个
（2）篮球最多能购进26个
【解析】
【分析】（1）设篮球购进了 个，则足球购进了 个，根据各自的单价和总花费5800元列方程求
解即可；
（2）设篮球购进了 个，则足球购进了 个，根据花费不能超过2800元列不等式求解即可；
【小问1详解】
解：设篮球购进了 个，则足球购进了 个，
由题意得： ，
，
解得： ，
∴ ，
故：篮球购进了60个，足球购进了20个；
【小问2详解】
解：设篮球购进了 个，则足球购进了 个，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得： ，
，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 的最大值为26，
故：篮球最多能购进26个；
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，根据题目中的等量关系和不等关系列出
方程和不等式是解题关键．
七、应用题（共一题：共12分）
22. 【知识生成】我们知道，用两种不同的方法计算同一个几问图形的面积，可以得到一些代数恒等式．
例如图1可以得到 ，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的代数恒等式______．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知 ， ，求
的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释 ，画出图形，并标出字母
所表示的线段．
（4）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图3表示
的是一个边长为 的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图3中两个
图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）见详解 （4）
【解析】
【分析】（1）依据正方形的面积 ；正方形的面积 ，可得等
式；
（2）依据 ，进行计算即可；
（3）构造长方形长与宽分别为 即可；
（4）根据原几何体的体积 新几何体的体积，列式可得结论．
【小问1详解】
解：由图2得：正方形的面积 ；正方形的面积 ，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： ，
,
故答案为： ；
【小问3详解】
解：如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司大长方形的长与宽分别为， ，图形的面积可表示为： ，
图形又可表示为： ，
故 ；
【小问4详解】
解： 原几何体的体积 ，新几何体的体积 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后
根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
八、应用题（共一题：共14分）
23. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关
联方程．
例如：方程 的解集为： ，不等式组 的解集为： ，
因为 ，
所以称方程 为不等式组 的关联方程．
（1）在方程① ；② ；③ 中，不等式组 的关联方程
的是______．（填序号）
（2）若不等式组 的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是______．（写出
一个即可）
（3）若方程 ， 都是关于x的不等式组 的关联方程，求m的取
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学科网（北京）股份有限公司值范围．
【答案】（1）② （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得不等式组的解集，再分别解方程①②③，逐一验证方程的解是否在不等式组的解集
范围内即可；
（2）先解不等式组求得其解集，再找出解集中的一个整数并以此整数构建一个方程即可；
（3）先求得方程 和方程 的解，再求得不等式组的解集，然后根据两方程
解的大小确定不等式组的解集上限和下限即可；
【小问1详解】
解：不等式组 中：
解不等式 可得 ，
解不等式 可得 ，
∴不等式组的解集为 ；
解方程① 可得 ，方程的解不在 内，
∴方程①不是不等式组的关联方程，
解方程② 可得 ，方程的解在 内，
∴方程②是不等式组的关联方程，
解方程③ 可得 ，方程的解不在 内，
∴方程③不是不等式组的关联方程，
故答案为：②；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：不等式组 中：
解不等式 可得 ，
解不等式 可得 ，
∴不等式组的解集为 ；
是不等式组的一个整数解，
方程 的解为 ，方程的解在 内且是整数，
∴方程 是不等式组的关联方程；
【小问3详解】
解：解方程 可得 ，
解方程 可得 ，
不等式组 中：
解不等式 可得 ，
解不等式 可得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∵ ， 都在不等式的解集内，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了解不等式组，解一元一次方程，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公
共部分组成是解题关键．
第17页/共17页
学科网（北京）股份有限公司
