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安徽合肥庐阳区寿春中学
七年级下学期期中数学试卷
（满分：120分）
一、选择题（共十题：共30分）
1. 在实数 ， ， ， ，0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）中，无理数的个数是（
）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数 的定义解答即可．
【详解】解： ， ，是有理数，
， ，0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）是无理数，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，
如2π， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如
0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法则、幂的乘方、积的乘方法则计算即可判断．
【详解】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 ，本选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、 ，本选项符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．即同底数幂相乘（除），底数不变，指
数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
3. 若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行判断作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，A错误，故不符合要求；
当 且 时， ，B错误，故不符合要求；
当 时， ，C错误，故不符合要求；
，D正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4. 设 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出 的取值范围，进而判断 的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴a在3和4之间，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．
5. 不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式组的解集，然后问题可求解．
【详解】解： ，
由①得： ；
由②得： ，
∴原不等组的解集为 ，；
在数轴上表示为
故选A．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
6. 下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：A选项： ，不能用平方差公式计算；
B选项： ，不能用平方差公式计算；
C选项： ，可以用平方差公式计算；
D选项： ，不能用平方差公式计算.
故选：C．
【点睛】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记
公式结构是解题的关键．
7. 已知 是完全平方式，则n的值为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成
了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．
9. 若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，则m的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 的解集，然后根据同小取小，即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵ ，
解得： ，
∵一元一次不等式组 解集为 ，
的
∴ ；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出不等式的解集．
10. 四美超市销售某品牌纸杯，商家按照进价的 提价销售，随着合肥“限塑令”颁布，该纸杯的进价
增加了 ，现商家为增加获利，且使利润率不低于 ，应把售价在原售价的基础上至少提高（
）
A. B. C. D.
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】令原进价为“1”，设售价在原售价的基础上至少提高 ，依题意得，
，计算求解即可．
【详解】解：令原进价为“1”，设售价在原售价的基础上至少提高 ，
依题意得， ，
解得， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键在于熟练掌握： ．
二、填空题（共四题：共16分）
11. 16的平方根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】即：16的平方根是
故填：
【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．
12. 生物课上，某同学在做“观察番茄果肉细胞”生物实验时，发现番茄果肉细胞的直径约为0.0000008米，
将此数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为 的形式，其中 ，n为整
数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：0.0000008用科学记数法表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对
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学科网（北京）股份有限公司值小于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为
a时小数点移动的位数．
13. 现规定一种运算： ，如 ，若 ，则m的范围
______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知， ， ，由 ，可得
，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次不等式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与
灵活运用．
14. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数
的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，
其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 (n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺
序排列)的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 展开
式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应 展开式中的系数等等．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据上面的规律，写出 的展开式____________．
（2） 展开式中第三项系数为：____________．
【答案】 ①. ②. 60
【解析】
【分析】（1）根据规律能得出 ， ， 的值，即可推出 的值；
（2）根据规律得出 展开式，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
，
，
∴ ；
故答案为： ；
(2) 解： ，
所以 展开式中第三项系数为：60．
故答案为：60．
【点睛】此题考查整式的混合运算，读懂题意，理解系数、字母以及字母的指数排列的规律，利用规律解
决问题是关键．
三、解答题（共八题：共74分）
15. 解不等式 ，并在数轴上表示此不等式解集．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】先去分母、移项合并，然后把系数化为1得到不等式的解集，然后用数轴表示其解集．
【详解】解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的
基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16. 化简求值 其中
【答案】 ，－28
【解析】
【分析】利用平方差公式以及完全平方公式进行化简，然后代入求值即可.
【详解】解：原式 ，
当 时，
.
原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键.
17. 因式分解：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解： ，
；
【小问2详解】
解： ，
；
【点睛】本题考查了综合提公因式与公式法进行因式分解，利用公式法进行因式分解．解题的关键在于对
知识的熟练掌握与灵活运用．
18. 观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……，
这些等式反映自然数间的某种规律．
（1）可猜想第5个等式为____________．
（2）探索规律，若字母n表示自然数，请写出第n个等式____________．
（3）试说明你写出的等式的正确性．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，进行总结即可；
（3）把（2）中的等式的左边进行整理，即可求证．
【小问1详解】
解：由题意得：第5个等式为： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵第1个等式： ，即 ，
第2个等式： ，即 ，
第3个等式： ，即 ，
第4个等式： ，即 ，
…，
∴第n个等式为： ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：等式左边
右边，
故猜想成立．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
19. 在计算 时，小明发现每一个加数都是下一个加数的2倍，于是他的做法是：
令 ，
，
，
即 ．
仿照上述做法，解决下列问题：
（1） ______．
（2）计算： （写出计算过程）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令 ，则 ，即 ，计
算求解即可；
（2）令 ，则 ，即
，计算求解即可．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，
∴ ，
解得， ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ；
【小问2详解】
解：令 ，则 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
20. 为确保学生进出校园安全，学校安装了人脸识别系统，设立了若干个验证通道供学生通行．七年级学
生中午放学时间为 ，学校在 分时打开验证通道，此时已有60位同学在排队等候，此后每分
钟又有30位同学到达，已知每人通过时间为5秒（其它时间忽略）且每个通道通行人数相同．
（1）若只开一个验证通道，打开验证通道3分钟后正在门口排队等候的人数为______人．
（2）若同时打开两个验证通道，几分钟后正在排队人数恰为96人？
（3）请用不等式的知识说明至少同时打开几个通道，能够让 以后到达的同学无需排队？
【答案】（1）114 （2）6
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据 ，计算求解即可；
（2）设 分钟后正在排队人数恰为96人，依题意得， ，计算求解即可；
（3）由题意知，从 到 ，共5分钟，设至少同时打开 个通道，能够让 以后到达的同
学无需排队，依题意得， ，计算求解并根据 为正整数，求值即可．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：由题意知，
，
∴若只开一个验证通道，打开验证通道3分钟后正在门口排队等候的人数为114人，
故答案为：114；
【小问2详解】
解：设 分钟后正在排队人数恰为96人，
依题意得， ，
解得， ，
∴若同时打开两个验证通道，6分钟后正在排队人数恰为96人；
【小问3详解】
解：由题意知，从 到 ，共5分钟，
设至少同时打开 个通道，能够让 以后到达的同学无需排队，
依题意得， ，
解得， ，
∵ 为正整数，
∴ 的最小值为4，
的
∴至少同时打开4个通道，能够让 以后到达 同学无需排队．
【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键
在于理解题意，正确的列等式或不等式．
21. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，如图
1，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的一个大正方形，中间形成一个较小正方形，直角三角形的较
短直角边为a，较长直角边为b．
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学科网（北京）股份有限公司（1）图1中较小正方形的边长用字母a、b表示为：____________．
（2）若将四个直角三角形按如图2的形式摆放，发现图1较大正方形与图2中较小正方形面积相等，由此
可得等式：____________．
（3）已知图1中较小正方形的面积是3，图2中较大正方形面积为27，利用（2）中所得结论，求图1中
较大正方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）15
【解析】
【分析】（1）由图形即可得到答案；
（2）由正方形面积公式用a，b表示出图1较大正方形与图2中较小正方形面积，即可得到结论；
（3）由（2）的结论求出ab即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵直角三角形的较短直角边为α，较长直角边为b，
的
∴图1中较小正方形 边长可表示为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：图1较大正方形的面积为 ，
图2较小正方形面积 ，
∵图1较大正方形与图2中较小正方形面积相等，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴图1较大正方形的面积 ．
【点睛】本题考查正方形的面积，完全平方公式，关键是应用完全平方公式，用a，b表示出图1较大正方
形与图2中较小正方形面积．
22. “倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，滨湖世纪社区计划在某小区内新建A、B两类
垃圾站，占用绿地面积分别为 和 ，已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为
1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨．
（1）问：1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？
（2）该小区计划投入使用10座两类垃圾处理站，使每日处理垃圾能力不低于3.6吨，则共有哪几种设计
方案？
（3）现考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，占用绿化面积不得超过 ，在（2）前提下，
仅有两种方案可供选择，求a的取值范围．
【答案】（1）1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是 、 吨
（2）共有4种设计方案，方案一、1座A类垃圾站，9座B类垃圾站；方案二、2座A类垃圾站，8座B类
垃圾站；方案三 、3座A类垃圾站，7座B类垃圾站；方案四、4座A类垃圾站，6座B类垃圾站
（3）
【解析】
【分析】（1）设1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是 、 吨，依题意得，
，计算求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设使用 座A类垃圾站，则使用 座B类垃圾站，依题意得， ，计
算求解，然后作答即可；
（3）由题意得， ，解得， ，由仅有两种方案可供选择，可得
，计算求解即可．
【小问1详解】
解：设1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是 、 吨，
依题意得， ，
解得 ，
∴1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是 、 吨；
【小问2详解】
解：设使用 座A类垃圾站，则使用 座B类垃圾站，且 ，
依题意得， ，
解得， ，
∴ ，
∴共有4种设计方案，方案一、1座A类垃圾站，9座B类垃圾站；
方案二、2座A类垃圾站，8座B类垃圾站；
方案三 、3座A类垃圾站，7座B类垃圾站；
方案四、4座A类垃圾站，6座B类垃圾站
【小问3详解】
解：由题意得， ，
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学科网（北京）股份有限公司解得， ，
∵仅有两种方案可供选择，
∴ ，
解得， ，
∴a的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌
握与灵活运用．
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学科网（北京）股份有限公司
