文档内容
山西大学附中
2025～2026 学年高三年级第二学期 3 月模块诊断
数 学 试 题
考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：闫芙蓉
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D B D C A C
二、多选题
9．ABD 10. BD 11. ABD
三、填空题
12．80 13．4 14．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数 ， ．
(1)若函数 是偶函数，求实数 的值．
(2)若 ，将方程 的所有正数解从小到大排列，构成数列 ，其前 项和为 ，
求 的值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】分组（并项）法求和、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求等差数列前 n 项和
【分析】（1）利用偶函数的定义和和角公式可求答案；
（2）解出方程 的根，求出通项公式，利用分组求和的方法可得答案.
【详解】（1）因为函数 是偶函数，所以 ， ，
整理可得 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由 得 ，
解得 ，
试卷第 7 页，共 8 页从小到大排列为： ，所以 ，
.
16. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴平行．
（1）求实数 的值；
（2）若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）求得 ，得到 ，根据题意列出方程 ，即
可求解；
（ 2） 由 （ 1） 知 ， 转 化 为 ， 设
，利用导数求得函数的单调性与 ，即可求解.
【小问 1 详解】
解：因为函数 ，可得 ，
所以 ，即曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
因为曲线 在点 处的切线与 轴平行，所以 ，解得 ，
故实数 的值为 ．
【小问 2 详解】
解：由（1）知 ，
因为 ，所以由 ，即 ．
设 ，
试卷第 6 页，共 8 页则 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
17．已知双曲线 的左顶点为 ，离心率为 3， 是 上的两点.
(1)求 的标准方程；
(2)若 （ 不在直线 上），证明：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用离心率公式和双曲线 的关系得到双曲线方程；
（2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案；
（3）设直线 的方程为 ，联立方程组消元得到 通过
韦达定理有 ， ，结合 ，化简得 ，解得
或 ，当 和 时，分别分析直线 的方程，进而求得定点；
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，故 的标准方程为 ·
（2）证明：依题意可设直线 的方程为 .
由 ，得
则 ， ，
，由（2）知 ，
因为 ，所以
即
即
试卷第 7 页，共 8 页即 ，得 ，解得 或 .
当 时，直线 ，直线 过点 ，不符合题意，舍去；
当 时，直线 ，满足 ，则直线 过定点
故直线 过定点
18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：
指标大于或等于 76 为合格品，小于 76 为次品，现抽取这种元件 100 件进行检测，检测结果
统计如下表：
测试指标
元件数（件） 2 18 36 40 4
（1）现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合
格品的概率；
（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 具有数学期
望 ，方差 ，则对任意正数 ，均有 成立．
（i）若 ，证明： ；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有
界的．若该工厂声称本厂元件合格率为 ，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫
不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件 发生的概率小于 0.05
时，可称事件 为小概率事件）
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）不可信．
【解析】
【分析】（1）记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，然后求出
， ，由条件概率求得 ；
（2）（i）由二项分布期望和方差公式求得 ， ，由二项分布随机变量的概率的
试卷第 6 页，共 8 页性质得到 ，然后由切比雪夫不等式得到结果；
（ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取 100 件产品中合格品的件数为 ，则
，再由期望和方差公式求得 ， ，由由切比雪夫不等式求出
，然后由小概率原理做出判断.
【小问 1 详解】
记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，
， ，
；
【小问 2 详解】
（i）由题：若 ，则 ， ，
又 ，
所以 （ 或 ） ，
由切比雪夫不等式可知， ，
所以 ，
（ii）设随机抽取 100 件产品中合格品的件数为 ，假设厂家关于产品合格率为 的说
法成立，则 ，所以 ， ，
由切比雪夫不等式知， ，
即在假设下 100 个元件中合格品为 80 个的概率不超过 0.021，此概率极小，由小概率原理可
知，
一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．
19．如图 1，在梯形 中， ， 是线段 上的一点， ，
，将 沿 翻折到 的位置.
试卷第 7 页，共 8 页(1)如图 2，若 是 的中点，二面角 为直二面角，证明： 平面 .
(2)如图 2，若二面角 为直二面角， 分别是 的中点，若直线 与平
面 所成角为 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角余弦值的取值范围.
(3)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点 为线段 的
中点， 分别在线段 上（不包含端点），且 为 的公垂线，如图 3 所示，
记四面体 的内切球半径为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.15
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、台体体积的有关计算、多面体与球体内切外
接问题
【分析】（1）由题可得 ，结合平面 平面 ，即可证得 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，根据 求出 的范围，将平面 与
平面 所成锐二面角的余弦值表示为 的函数，再求范围.
（3） 是四面体的表面积，可证 ， ，从
而证得结论.
【详解】（1）由题意知 ，
而 是 的中点，
所以 ，
又平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
试卷第 6 页，共 8 页（2）在平面 内作 的垂线作为 轴，所以 轴，
如图以 为坐标原点，分别以 为 轴正半轴建立空间直角坐标系：
因为 ，设 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
.
设平面 的法向量 ，
得 ，
取 ，
，
解得 .
设平面 的法向量 ，
得 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则
试卷第 7 页，共 8 页，
由于 在 上单调递增，故 ，
故 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角余弦值的取值范围是 ；
（3）S 是四面体的表面积， ，令 与面 所成角为 ，
，
，
因为 是公垂线， 上的点和 上的点的最短距离是 ，
（取不到等号），
，
，
.
试卷第 6 页，共 8 页
