文档内容
山西大学附中
2025～2026 学年高三年级第二学期 3 月模块诊断
数 学 试 题
考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：闫芙蓉
一、单选题（本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1. 对一组数据 3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统
计量一定会发生变化的为（ ）
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
2. 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
3．若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ）
A．1 B． C． D．
4. 已知集合 ，则 （ ）
A. -2 B. C. D. 1
5. 函数 在区间 上的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 是等比数列，若 ， ，则 （ ）
A B. C. D.
7. 米斗是称量粮食 量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，
有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵
味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的
容积为 1 斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台
的下底面边长是上底面边长的 2 倍，若该米斗中刚好装了半斗
米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（ ）
A B. C. D.
8. 已知 是半径为 2 的圆 O 上的四个动点，若 ，则
试卷共 4 页，第 1页的最大值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 32
二、多选题（本小题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9．现有 4 个编号为 1，2，3，4 的盒子和 4 个编号为 1，2，3，4 的小球，要求把 4 个小
球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有 16 种
B．有空盒子的方法共有 256 种
C．恰有 1 个盒子不放球的方法共有 144 种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有 16 种
10. 椭圆 上 动点 M 与点 的距离的最小值为 ，则 a 的值可以是
（ ）
A. B. C. D.
11. 记 内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ，则下列选项
正确的是（ ）
A. B. 角 的最大值为
C. D. 的取值范围是
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12．在 的展开式中， 的系数是__________.（用数字作答）
13．若直线 平分圆 的周长，则 的最
小值为_____.
14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内
角都小于 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 ．如图，已知
和 都是正三角形， ， ，且 ， ， 三点共线，设点 是
内的任意一点，则 的最小值为 ．
试卷共 4 页，第 2页四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数 ， ．
（1）若函数 是偶函数，求实数 的值；
（2）若 ，将方程 的所有正数解从小到大排列，构成数列 ，其前 项和
为 ，求 的值．
16. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴平行．
（1）求实数 的值；
（2）若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
17．已知双曲线 的左顶点为 ，离心率为 3， 是 上的两点.
（1）求 的标准方程；
（2）若 （ 不在直线 上），证明：直线 过定点.
试卷共 4 页，第 3页18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分
为：指标大于或等于 76 为合格品，小于 76 为次品，现抽取这种元件 100 件进行检测，
检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 2 18 36 40 4
（1）现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不
合格品的概率；
（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 具有数学
期望 ，方差 ，则对任意正数 ，均有 成立．
（i）若 ，证明： ；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是
有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为 ，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪
夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件 发生的概率小于
0.05 时，可称事件 为小概率事件）
19．如图 1，在梯形 中， ， 是线段 上的一点， ，
，将 沿 翻折到 的位置.
（1）如图 2，若 是 的中点，二面角 为直二面角，证明： 平面
；
（2）如图 2，若二面角 为直二面角， 分别是 的中点，若直线
与平面 所成角为 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角余弦值的取
值范围；
（3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点 为线段
的中点， 分别在线段 上（不包含端点），且 为 的公垂线，如
图 3 所示，记四面体 的内切球半径为 ，证明： .
试卷共 4 页，第 4页
