文档内容
2026 年普通高等学校招生考试仿真卷 3
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|√x−1)＜4}，N＝{x|－2＜x≤3，x∈Z}，则M∩N＝( )
[A]{x|1＜x≤3} [B]{x|1≤x≤3}
[C]{2，3} [D]{1，2，3}
i
2．在复平面内，复数 z 对应的点与复数z ＝ 对应的点关于实轴对称，则 z
1 2 1+i 1
＝( )
1 1 1 1
[A] − i [B] + i
2 2 2 2
1 1 1 1
[C]－ − i [D]－ + i
2 2 2 2
4 1
3．已知x，y都是正数，且x＋y＝2，则 + 的最小值为( )
x+2 y+1
13
[A] [B]2
15
9
[C] [D]3
5
4．过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为( )
[A]y＝x [B]y＝2x
[C]y＝e2x [D]y＝ex
5．如图所示是传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫
色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即
代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有 1个紫色小方格(如
图所示即满足要求)，则一共可以传递的不同信息种数是( )
[A]14 [B]12
[C]9 [D]6
1/6π
( )
6．关于函数f (x)＝A sin (ωx＋φ) A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ，有下列四个
2
说法：
①f (x)的最大值为3；
②f (x)的图象可由y＝3sin x的图象平移得到；
π
③f (x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为 ；
2
π
④f (x)的图象关于直线x＝ 对称．
3
π
( )
若有且仅有一个说法是错误的，则f 的值为( )
2
3√3 3
[A]－ [B]－
2 2
3 3√3
[C] [D]
2 2
x2 y2 1
7．已知F ，F 为椭圆 + ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为 ，
1 2 a2 b2 2
M为椭圆上一动点，则∠F MF 的最大值为( )
1 2
π π
[A] [B]
3 2
2π 3π
[C] [D]
3 4
8．3D打印属于快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用
粉末状金属或塑料等可黏合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术．
已知某鞠(类似今日的足球)的表面上有四个点A，B，C，D，满足任意两点间的
直线距离为2√6 cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖
去由ABCD组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为 1 g/cm3，不考虑
打印损耗，则制作该模型所需原料的质量约为(参考数据：π≈3.14，√2≈1.41，
√3≈1.73，精确到0.1)( )
[A]113.0 g [B]267.9 g
[C]99.2 g [D]13.8 g
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分．
9．已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确
2/6的是( )
[A]a·b＝0
[B](a＋b)⊥(a－b)
[C]向量a与b在a＋b上的投影向量相等
[D]|a＋b|＝|a－b|
10．某位同学10次考试的物理成绩y(单位：分)与数学成绩x(单位：分)如表所
示：
数学
成绩 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
x
物理
成绩 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77
y
10
参考数据：∑ x＝800．
i
i＝1
已知y与x线性相关，且y关于x的经验回归方程为y＝1.1x－5，则下列说法正
确的是( )
[A]a＝86
[B]y与x正相关
[C]y与x的相关系数为负数
[D]数学成绩每提高5分，则估计物理成绩能提高5.5分
11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于
两点P(x ，y )，Q(x ，y )，点P在l上的射影为P ，则( )
1 1 2 2 1
[A]若x ＋x ＝6，则|PQ|＝8
1 2
[B]以PQ为直径的圆与准线l相切
[C]设M(0，1)，则|PM|＋|PP |≥ √2
1
[D]过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等差数列{a }的各项均为正数，记S 为{a }的前n项和，若数列{√S }
n n n n
a +a
是等差数列，则 2 3＝________．
a
1
( 1) 6
13．(3－x2) x− 的展开式中，x2项的系数是________．(用数字作答)
x
3/6[1 )
14．已知k＞0，若对于任意的x∈ ，+∞ ，不等式ekx(kx－ln 2)－2x ln x≥0
e
恒成立，则实数k的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．(13 分)如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，∠ACD＝90°，∠A＝
∠BCD，2AD＝3BC.
(1)求tan A的值；
(2)若AC＝6，求AB的值．
16.(15 分)如图，AE⊥平面 ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝
CF＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
4/6(3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值．
1
17．(15分)已知函数f (x)＝a ln (x＋2)－ x2(a∈R)．
2
(1)讨论函数f (x)的单调性．
(2)若函数f (x)有两个极值点．
(ⅰ)求实数a的取值范围；
(ⅱ)证明：函数f (x)有且只有一个零点．
√2
18．(17分)已知椭圆C的中心为O，焦点在x轴上，离心率为 .圆O在椭圆C
2
√6
的内部，半径为 .P，Q分别为椭圆C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小
3
√6
距离为1－ .
3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)A，B是椭圆C上不同的两点，且直线 AB与以OA为直径的圆的一个交点在
圆O上．求证：以AB为直径的圆过定点．
5/619．(17分)若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(ξ，η)是Ω上
的二维离散型随机变量或二维随机变量．设(ξ，η)的一切可能取值为(a，b)，
i j
i，j＝1，2，…，记p 表示(a，b)在Ω中出现的概率，其中p ＝P(ξ＝a，η＝b)
ij i j ij i j
＝P[(ξ＝a)∩(η＝b)].
i j
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为 1，2，3的三个盒子中，记1号盒子
中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(ξ，η)是一个二维随机变量．
(ⅰ)写出该二维离散型随机变量(ξ，η)的所有可能取值；
(ⅱ)若(m，n)是(ⅰ)中的值，求P(ξ＝m，η＝n)(结果用m，n表示)．
(2)P(ξ＝a)称为二维离散型随机变量(ξ，η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：
i
+∞
P(ξ＝ai)＝∑ p .
ij
j=1
6/6
