高三数学
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项
中，有且只有一项符 合题目要求.
1. 已知全集 U=R ，集合 A={x∣x≥2 或 x≤−3} ， B={x∣0≤x≤4} ，则
Venn 图中阴影部分表示的集合为( )
A. [0,2) B. [0,3] C. (2,4] D. (3,4)
2. 若 z =2+i,z =3+ai ，复数 z +z 所对应的点在实轴上，则实数 a 等于( )
1 2 1 2
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
3. 在一次篮球比赛中, 某支球队共进行了 8 场比赛, 得分分别为
29,30,38,25,37,40,42,32 , 那么这组数据 第 75 百分位数为( )
A. 38 B. 39 C. 40 D. 41
4. 已知向量 ⃗a,⃗b 的夹角为 150∘ ,且 |⃗a|=2,|⃗b|=2 ,则 |⃗a−√3⃗b|= ( )
A. 1 B. 2−√3 C. 2+√3 D. 2√7
5. 抛掷一枚质地均匀的硬币,一直到出现正面向上时或抛满 100 次时结束,设抛掷的
次数为 X ,则随机变量 X 的数学期望 E(X) ( )
A. 大于 2 B. 小于 2 C. 等于 2 D. 与 2 的大小无法确定
6. 已知 S 为正项数列 {a } 的前 n 项和. 若 S +2a =S −1 ，且 S =57 ，则
n n n n n+1 5
a = ( )
4
A. 7 B. 15 C. 8 D. 16
7. P 为等边三角形 ABC 所在平面内的一点,向量 ⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC ,且
1≤x≤2,1≤ y≤2 . 设向量 ⃗AP 与 ⃗AB 的夹角为 α ,则 cosα 的最大值为( )
√6 √6 5√7 2√7
A. B. C. D.
4 3 14 7
{−x(x+3) 2,(x≤0)
8. 已知函数 f (x)= ， f (x)=k 有 5 个不相等的实数根，从小到
|lnx|,(x>0)x x x
大依次为 x ′,x ′,x ′,x ， x ,则 1 2 3 的取值范围为( )
1 2 3 4 5 x x
4 5
A. (0,4) B. C. (−2,0) D. (−4,0)
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 若数列 {a } 为等差数列,公差为 d ,其前 n 项和为 S ,S >S ,S =S ,S <S ,
n n 9 10 10 11 11 12
则 ( )
A. a <0 B. d<0
10
C. S >S D. 使 S >0 的最小正整数 n 的值为 22
15 7 n
10. 已知函数 f (x) 对 ∀x∈R 都有 f (x+2)=−f (x) ,且函数 y=f (x−1) 的图像
关于点 (1,0) 对称,当 x∈(0,1] 时, f (x)=2x−1 ，则下列结论正确的是( )
A. f (2022)=0
B. f (x) 在区间 (3,5) 上单调递减
C. f (x) 是 R 上的偶函数
D. 函数 y=f (x)−|lgx| 有 6 个零点
11. 在长方形 ABCD 中, AB=8,AD=6 ，点 E,F 分别为边 BC 和 CD 上两个动
点(含端点)，且 EF=5 ，设 ⃗BE=λ⃗BC,⃗DF=μ⃗DC ,则 ( )
1 3
A. ≤λ≤1, ≤μ≤1 B. λ+μ 为定值
6 8
C. ⃗AE⋅⃗AF 的最小值 50 D. |⃗AE+⃗AF| 的最大值为 √265
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分)
12. 已知公比不为 1 的等比数列 {a } 中， a =1 且 3a 、 2a 、 a 成等差数
n 1 1 2 3
列，则 a = _____(结果用幂表示)
2025
13. 将甲、乙等 8 人安排在 4 天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一
天的概率为_____. (结果用分数表示)
14. 若实数 a,b,c 满足 b+c=3a2−4a+6,b−c=a2−4a+4 ，试确定 a,b,c 大小
关系是_____. 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤)
B+C
15. 已知锐角 ABC 的内角 A,B,C ,所对的边分别为 a,b,c ,且 bsin =asinB
2
.(1)求角 A ；
(2)若 a=2√3 ，求 ABC 的周长的取值范围.
16. 已知数列 {a } 的前 n 项和为 S ,数列 {b } 为等差数列,且满足
n n n
a =−1,a +b =0,S =2a +b (n∈N∗) .
1 2 3 n n n
(1)求数列 {a } 和 {b } 的通项公式；
n n
(2)若 c =b ,c =c +b ,c =c +a ，求数列 {c } 的前 2n 项和 T .
1 1 2n 2n−1 1 2n+1 2n n n 2n
17. 已知椭圆 C 两个焦点 F (−2,0),F (2,0) ，过 F 点且与坐标轴不平行的直线
1 2 1
l 与椭圆 C 相交于 M ， N 两点， ▵MN F 的周长等于 16.
2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若过点 P(−8,0) 的直线与椭圆 C 交于两点 A,B ，设直线 AF ,BF 的斜率
1 1
分别为 k ,k . 求证: k +k 为定值. 18. 某企业对生产设备进行优化升级,升级后的
1 2 1 2
设备控制系统由 2k−1(k∈N∗) 个相同的元件组成,每个元件正常工作的概率均为
p(0<p<1) ,各元件之间相互独立. 当控制系统有不少于 k 个元件正常工作时,设备
正常运行,否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 p (例如: p 表示控制系
k 2
统由 3 个元件组成时设备正常运行的概率， p 表示控制系统由 5 个元件组成时
3
设备正常运行的概率).
2
(1)若 p= ，当 k=2 时，求控制系统中正常工作的元件数 X 的分布列和数学期
3
望，并求 p ；
3
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为 a(a∈N∗) 件，每件产品的利润为1元，
设备升级后，在正常运行状态下， 单位时间的产量是原来的 4 倍,且出现了高端产
1
品,每件产品成为高端产品的概率为 ,每件高端产品的利润是 2 元. 记设备升级
4
后单位时间内的利润为 Y (单位:元).
(i) 请用 p 表示 E(Y) ;
k
(ii) 设备升级后, 已知该企业现有控制系统中有 5 个元件, 若增加 2 个元件, 则单位
时间内的利润是否提高.
19. 已知函数 f (x)=ax2−xlnx−a(a∈R,a>0) ,当 x≥1 时, f (x)≥0 恒成立.
(1)求实数 a 的取值范围；
x2−1−lnx f (x)
(2)若函数 g(x)= − ，当实数 a 取最小值时，求使得关于 x 的不
2x x
等式 g(x)≥t 恒成立的最大整数 t ；1( 1) 1 1 1
( 3 )已知 n∈N∗ ，证明: lnn+ 1+ ≤1+ + +⋯+ .
2 n 2 3 n
参考答案
ACBDB BCD 9ACD 10AD 11AC 1232024 13 7 14 b≥c>a
15【小问 1 】
(π A)
由已知得, bsin − =asinB ,
2 2
A
则根据正弦定理得 sinBcos =sin AsinB(sinB>0) ,
2
A A A A 1( A )
cos =2sin cos ⇒sin = cos ≠0 ,
2 2 2 2 2 2
π
∵△ABC 为锐角三角形, ∴A= .
3
【小问 2 】
a b c
= = =4
a b c
由正弦定理得 = = =4 ,即 sin A sinB [ (π )] ,
sin A sinB sinC sin π− +B
3
( π)
则 b=4sinB,c=4sin B+ ,
3
( π)
a+b+c=2√3+4sinB+4sin B+
3
( π π)
=2√3+4sinB+4 sinBcos +cosBsin
3 3
( π)
=2√3+4√3sin B+ ,
6
π
{ 0<B<
2 π π π (π 2π)
因为 ,解得 <B< ,得 B+ ∈ , ,
2π π 6 2 6 3 3
0< −B<
3 2
( π) (√3 ]
所以 sin B+ ∈ ,1 ,得 a+b+c∈(2√3+6,6√3] .
6 216 【小问 1 】
解: 令 n=1,S =2a +b =a ,∴b =1 ,
1 1 1 1 1
令 n=2,S =2a +b =a +a ,又 a +b =0 ,所以 b −b =−1=−d ,即 d=1 . 所以
2 2 2 1 2 2 3 2 3
b =n ,
n
,① S =2a +n−1,(n≥2) . ②
n−1 n−1
a −1
两式相减得 a =2a −2a +1,∴a =2a −1,∴ n =2,(n≥2) ,
n n n−1 n n−1 a −1
n−1
即 {a −1} 是公比为 2 的等比数列,且 a −1=−2 ,
n 1
所以 a −1=−2n,∴a =−2n+1 .
n n
【小问 2 】
解: 由 c =c +b ,c =c +a 可得 c =c −2n+2
2n 2n−1 1 2n+1 2n n 2n+1 2n−1
c =c −2n−1+2,c =c −2n−2+2,⋯c =c −21+2.
2n−1 2n−3 2n−3 2n−5 3 1
累加可得 c =−2n+2n+1 ,
2n−1
T =(c +c +c +⋯+c )+(c +c +c +⋯+c )
2n 1 3 5 2n−1 2 4 6 2n
=(c +c +c +⋯+c )+(c +1+c +1+c +1+⋯+c +1)=2(c +c +c +⋯+c )+n
1 3 5 2n−1 1 3 5 2n−1 1 3 5 2n−1
,
而 c +c +c +⋯+c =−(21+22+⋯+2n)+(3+5+⋯+2n+1)
1 3 5 2n−1
=2−2n+1+n2+2n ,
∴T =4−2n+2+2n2+5n .
2n
17 【小问 1 】
{
c=2
{
a=4
由题意可得椭圆焦点在 x 轴上,且 4a=16 ,解得 b=2√3 ,
a2=b2+c2 c=2
x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1 .
16 12
【小问 2 】
由题意可知直线斜率存在,当直线斜率为 0 时,显然 ,所以 k +k =0 ;
1 2
当直线斜率不为 0 时,设直线 AB 方程为 x=my−8 ,
{x=my−8
联立方程 x2 y2 ,消去 x 可得 (3m2+4)y2−48my+144=0 ,
+ =1
16 12
则 Δ=(−48m) 2−4(3m2+4)×144=576m2−2304>0⇒m2>4 ,
144 48m
设 A(x ,y ),B(x ,y ) ,则 y y = ,y + y = ,
1 1 2 2 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
y y y y y (my −6)+ y (my −6)
所以 k +k = 1 + 2 = 1 + 2 = 1 2 2 1 ,
1 2 x +2 x +2 my −6 my −6 (my −6)(my −6)
1 2 1 2 1 2
144 48m
因为 y (m y −6)+ y (m y −6)=2m y y −6(y + y )=2m× −6× =0 ,
1 2 2 1 1 2 1 2 3m2+4 3m2+4
所以 k +k =0 .
1 2
综上, k +k 为定值 0 .
1 2
18【小问 1 】
因为 k=2 ,所以控制系统中正常工作的元件个数 X 的可能取值为0,1,2,3,
2 ( 2)
因为每个元件的工作相互独立,且正常工作的概率均为 p= ,所以 X∼B 3, ,
3 3
所以
P(X=0)=C0(2) 0 (1) 3
=
1
,
3 3 3 27
P(X=1)=C1×
2
×
(1) 2
=
2
,
3 3 3 9P(X=2)=C2×
(2) 2
×
1
=
4
,
3 3 3 9
P(X=3)=C3(2) 3 (1) 0
=
8
,
3 3 3 27
所以控制系统中正常工作的元件个数 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1 2 9 4 9 8
27 27
2
控制系统中正常工作的元件个数 X 的数学期望为 E(X)=3× =2 ,
3
【小问 2 】
(i) 升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 4a 0
设备运行概率 p 1−p
k k
所以升级改造后单位时间内产量的期望为 4ap ,
k
所以
高端产
产品类型 品 一般产品
产量(单位:件) ap 3ap
k k
利润(单位:元) 2 1
设备升级后单位时间内的利润为 2ap +3ap =5ap ,即 E(Y)=5ap .
k k k k
(ii) 若增加 2 个元件,则第一类: 原系统中至少有 4 个元件正常工作,其概率为
p(1)=p −C3p3(1−p) 2 ;
3 5
第二类:原系统中恰好有 3 个元件正常工作，新增 2 个元件中至少有 1 个正常工
作，
其概率为 p(2)=C3p3(1−p) 2 ⋅ [1−(1−p) 2]=C3p4 ⋅(1−p) 2 (2−p) ;
5 5
第三类:原系统中恰好有 2 个元件正常工作，新增 2 个元件全部正常工作，
其概率为 p(3)=C2p2(1−p) 3 ⋅p2=C2p4(1−p) 3 .
5 5
所以 p =p(1)+p(2)+p(3)=p −C3p3(1−p) 2+C3p4(1−p) 2 (2−p)+C2p4(1−p) 3
4 3 5 5 5
=p +C3p3(1−p) 3 (2p−1) ,
3 5则 p −p =C3p3(1−p) 3 (2p−1) ,
4 3 5
1
所以当 <p<1 时, p −p >0 ,即增加 2 个元件设备正常工作的概率变大;
2 4 3
1
当 0<p≤ 时, p −p ≤0 ,即增加 2 个元件设备正常工作的概率没有变大.
2 4 3
又因为 E(Y)=5ap ,
k
1 1
所以当 <p<1 时,增加 2 个元件后利润提高; 当 0<p≤ 时,增加 2 个元件后利
2 2
润没有提高.
19【小问 1 】
由题设 f (x)=ax2−xlnx−a≥0 在 x≥1 时恒成立,
a
等价于 ax− −lnx≥0 在 [1,+∞) 上恒成立,
x
a a 1 ax2−x+a
令 F(x)=ax− −lnx,x≥1 ,则 F′(x)=a+ − = ,
x x2 x x2
令 h(x)=ax2−x+a ,且 a>0 ,
1
当 Δ=1−4a2≤0 ,即 a≥ 时, h(x)≥0 ,即 F′(x)≥0 ,
2
此时 F(x) 在 [1,+∞) 上单调递增,则 F(x)≥F(1)=0 ,满足题意;
1 1
当 Δ=1−4a2>0 ,即 0<a< 时, h(1)=2a−1<0 ,对称轴 x= >1 ,
2 2a
所以存在 x ∈(1,+∞) ,使 h(x )=0 ,在 1≤x<x 时, h(x)<0 ,即 F′(x)<0 ,
1 1 1
所以 F(x) 在 (1,x ) 上单调递减,此时 F(x)≤F(1)=0 ,不满足题意;
1
[1 )
综上, a 的取值范围为 ,+∞ .
2
【小问 2 】
由 (1) 知 a= 1 ,所以 g(x)= ( 1− 1 ) lnx ,则 g′(x)= lnx + ( 1− 1 )1 = 2x+lnx−1 ,
2 2x 2x2 2x x 2x2
令 k(x)=2x+lnx−1 ,易知 k(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,
(1) (1 )
由 k =−ln2<0,k(1)=1>0 知,存在 x ∈ ,1 使 k(x )=0 ,即
2 0 2 02x +lnx −1=0 ,
0 0
所以 x∈(0,x ) 时, k(x)<0,g′(x)<0 ,所以 g(x) 在 (0,x ) 上单调递减,
0 0
x∈(x +∞) 时, k(x)>0,g′(x)>0 ,所以 g(x) 在 (x ,+∞) 上单调递增,
0 0
( 1 )
则 g(x) 在 x=x 处取得极小值, g(x )= 1− lnx ,
0 0 2x 0
0
又 2x +lnx −1=0 ,即 lnx =1−2x ,
0 0 0 0
( 1 ) 1 ( 1 )
故 g(x )= 1− (1−2x )=2− −2x =2− +2x ,
0 2x 0 2x 0 2x 0
0 0 0
由函数 y= 1 +2x 在 x ∈ (1 ,1 ) 上单调递增,
2x 0 0 2
0
故 g(x )=2− ( 1 +2x ) 在 x ∈ (1 ,1 ) 上单调递减,
0 2x 0 0 2
0
( 1 )
所以 g(x )∈ − ,0 ,
0 2
1
又 g(x)≥t 恒成立,即 t≤g(x) =g(x ) ,故 t≤− ,
min 0 2
所以整数 t 的最大值为 -1 .
【小问 3 】
当 n=1 时,右边 =1 ,左边 =1 ,左边 = 右边,原不等式成立,
下面考虑 n≥2 时的情况,
1 1 1 1
由(1)知当 a= 时, x2−xlnx− ≥0 ,即 x− −2lnx≥0 在 x≥1 上恒成立,
2 2 2 x
1
即 2lnx≤x− ,
x
n
令 x= ,n∈N∗ 且 n≥2 ,
n−1
n n n−1 1 1
则 2ln ≤ − = + ,
n−1 n−1 n n−1 n
( 2 3 n ) 1 1 1 1 1 1 1
所以 2 ln +ln +⋯+ln ≤1+ + + +⋯+ + + + ,
1 2 n−1 2 2 3 n−2 n−1 n−1 n( 1 1 1) 1 1 ( 1 1 1)
则 2lnn≤2 1+ + +⋯+ −1− ,故 2lnn+1+ ≤2 1+ + +⋯+ ,
2 3 n n n 2 3 n
1( 1) 1 1 1
所以 lnn+ 1+ ≤1+ + +⋯+ ,
2 n 2 3 n
1( 1) 1 1 1
综上,当 n∈N∗ 时, lnn+ 1+ ≤1+ + +⋯+ 成立.
2 n 2 3 n
