数学-神算杯赛2026年“神算杯”第一次模拟考试(2月14日15点-17点)(A卷)_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年02月高三试卷

绝密 启用前 试卷类型：A 2026 年“神算杯”第一次模拟考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知z(2i)i，则z的虚部为 A．2 B．2 C．2i D．2i 2．已知集合A{xN|x2 x60}，B{y|ylnx}，则AB A．{0,1,2} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{1,2,3} 3...若椭圆2x2  y2 c的焦距为2 2，则c A． 2 B．2 C．2 2 D．4 4．已知向量a，b满足 b  ab 2， a 2 3，a(ab)，则 A． 3 B． 3 C．2 D．2 5．若2x 3y 6，x ykxy，则k  A．1 B． 2 C． 3 D．2 6．在无穷数列{a }中，“{a }存在最小项”是“{a a }存在最小项”的 n n n n1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件   7．在△ABC 中，ABC60，AD2DC，若BD的最大值是1 3 ，则AC  A．1 B．2 C．3 D．4 8．若圆(xm)2 (y2m)2 (m1)2与曲线ycosx有公共点，则m的取值范围是 A．(0,1) B．(1,1) C．(,0] D．(,1] S 数学试题 第 1 页（共 4 页）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ..9. 随机变量X ，Y 满足X ~ N(1,2)，Y ~ N(2,1)，则 A．P(X 0)P(X 2) B．P(X 3)P(Y 3) C．P(X 2)P(Y 2) D．P(X 2)P(Y 1) 10. 函数 f(x)在R上满足 f(x2)2f(x)2，且x[0,2)时， f(x) x(2x)，则 A．1是 f(x)的一个极值点 B． f(2)0 C．当x0时， f(x)0 D．当x10时， f(x)64 11．已知O为坐标原点，过F(1,0)的直线与抛物线C:y2 4x交于A，B两点．点A，P 均在第一象限，且 AP y 轴，|AB|  |AP|，点Q在线段AP 上. 若直线BQ过点 E (2,0)，则 A．AFE 2APB B．直线OA的斜率是直线BP的2倍 3 3 C．AFQQFE D．点A到直线BP距离的最小值为 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数 f(x)ln(2x)ln(xa)为偶函数，则 f(1) ． 13．大小为120的二面角的内部一点P到两个半平面的距离分别为3 3和2 3，则点 P到这个二面角的棱的距离为 ． 14．Santa将正整数1~6随机填入一个3行2列的表格中. 现规定：每格只能填入一个 数字，且每个数字恰用一次．记第i列中三个数两两之差的绝对值之和为A(i1,2)， i 则P(A  A ) ． 1 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在直三棱柱ABCABC 中，点D，E分别是棱BB 和AC 的中点． 1 1 1 1 1 1 （1）证明：直线DE∥平面ABC； 1 （2）若ABCD，BB 2AB4BC ，求平面ABC与平面CDE夹角的余弦值. 1 1 S 数学试题 第 2 页（共 4 页）16．（15分） x2 y2 已知双曲线C:  1(a,b0)的两条渐近线互相垂直，两点P(1,2)，Q(2,1)中 a2 b2 恰有一点在C上． （1）求C的方程； （2）若点A在C的左支上，且△APQ是直角三角形，求点A的坐标． 17．（15分） 甲、乙和丙三人进行象棋对弈. 对弈采用积分制：每局对弈中，若分出输赢，则 赢者得2分，输者得0分；若和棋，则双方均得1分. 第一局对弈前抽签决定首先对 弈的两人，另一人轮空；若对弈双方分出输赢，则该场对弈的输者与轮空者进行下一 局对弈，赢者下一局轮空；若对弈双方和棋，则在对弈双方中再抽签决定一人和上一 局轮空者对弈，剩余一人轮空. 经抽签，甲和乙首先对弈. 设每局对弈中，任意一方 赢棋、输棋以及跟对方和棋的概率都相等. （1）三人累计对弈2局后，求乙的得分为2分的概率； （2）三人累计对弈3局后，记丙的得分为X ，求X 的分布列和期望. 18．（17分） 已知数列{a }满足a 2，a 8，a 4a 4a 0． n 1 2 n2 n1 n （1）证明{a 2a }为等比数列，并求{a }的通项公式； n1 n n n n （2）记S (1)a 并规定S (1)0. 且对任意的kN*，S (k 1)S (k)a . n i 1 n i k1 i2 i1 （i）求S (1)，S (2)； n n t （ii）设常数tN*，证明：对任意的nN*，S (i)4t. n i1 S 数学试题 第 3 页（共 4 页）19．（17分） 1 已知函数 f(x)x x3与g(x) Asin(x)有相同的极大值，其中A,a为正数. 3a2 1 （1）若A ，求a； 3 （2）若存在R使得 f(x)≤g(x)对x[0,)恒成立. （i）记x ,x 为g(x)的两个相邻的零点，x ax ．探究x x 与a的数量关系， 1 2 1 2 1 2 并证明：x ≤0； 1 （ii）求a的取值范围． S 数学试题 第 4 页（共 4 页）绝密 启用前 试卷类型：A 2026 年“神算杯”第一次模拟考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C 8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. ACD .10. AC . 11. ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 3 12．ln3 ..13. 2 7 .14. 5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 70 15．（13分）（1）略； （2） . 10 16．（15分）（1）C:x2 y2 3；（2）A(2,1). 1 3 17．（15分）（1） ； （2）分布列如下；E(X) . 2 2 18．（17分）（1）a n2n； （2）（i）S (1)(n1)2n1，S (2)(n2)2n2； n n n （ii）略. 1 π 19．（17分）（1）a ； . （2）（i）x x 2a；证明略； （ii）(0, ]. 2 1 2 2 S 数学参考答案 第 1 页（共 1 页）