文档内容
精卫杯 2026 年 2 月诊断性测试（A）
数 学 试 卷
精卫杯高中部数学命题组命制 2026.2.20
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．考试开始前，考生应登陆“雨课堂”对昵称进行调整，避免个人信息泄露。
2．上传答案时，选择题部分应在“雨课堂”的相应位置选中或输入你的答案，非
选择题部分应在“雨课堂”的相应位置将答案拍照上传，要求图片清晰、水平。
3．考试结束后的10分钟内，考生应提交所有的答案。超时者会被强制提交。
4．考试时，请留意考试群内的更正通知。如有疑问，请联系考务人员。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求。
1
1．若幂函数y=xα的图像过点( ,4)，则α=
2
1 1
A．2 B．−2 C． D．−
2 2
f(4x),01
2
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若锐角α满足sinα=2sin2α，则cos2α=
3 13 7 15
A．− B．− C．− D．−
4 16 8 16
4．若非零向量a,b满足a⊥(a+2b)，则b在a上的投影向量为
1 1
A．2a B．−2a C． a D．− a
2 2
5．甲说：“我永远说真话．”乙说：“我永远说假话．”则这两句话中
A．甲说的一定是假话，乙说的一定是假话
B．甲说的一定是假话，乙说的不一定是假话
C．甲说的不一定是假话，乙说的一定是假话
D．甲说的不一定是假话，乙说的不一定是假话
数学试卷 第 1 页 （共 4 页）6．下表所示的是随机变量X 的分布列，则E(X)的最大值为
X a b 1
P b 2a 0.2
A．0.36 B．0.4 C．0.44 D．0.48
7．设全集为U ，对于集合A,B，记条件 p:A⊆B，q:B⊆ A，则 p是¬q的
U
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．黄金分割数ϕ满足：其倒数的值与其本身的值之差为1．已知由有理数构成的数列
{a }和{b }满足ϕn =a +ϕb ，则数列{a2}的前n项和为
n n n n n
A． |a a | B．|a b | C．|a b −1| D．|b b +1|
n n+1 n n+1 n+1 n n n+1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题的四个选项中，有多个
选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分。
9．已知函数 f(x)=ln(ex +e−x)−cosx，则
A． f(x)为奇函数 B． f(x)为偶函数
C． f(x)有唯一的极值点 D． f(x)的极值点不唯一
10．在三棱锥P−ABC中，D,E分别是PC,AC 的中点，点Q在线段AB上（含端点）．
下列说法正确的是
A．直线PQ可能与平面BDE平行
B．若QA=QB，则PB的中点在平面QDE 上
C．若直线BD//平面PQE，则△ABC的面积是△AEQ的面积的3倍
D．若直线BD//平面PQE，则△ABC的面积是△AEQ的面积的4倍
11．在△ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，b=2cosC ．下列说法正确的是
A．若a=2，则B=90
1
B．若a=c，则△ABC面积的的最大值为
2
C．当且仅当a>1时，a+c>2
D．若△ABC为面积为1的等腰三角形，则它是直角三角形
数学试卷 第 2 页 （共 4 页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12．若二项式( x + )n展开式的常数项为正整数n，则n= ．
x
z+1
13．若复数z满足z = ，则|z+i|的取值范围为 ．
z−1
y2
14．已知A,B分别是椭圆Ω: x2 + =1的左右顶点，P点在Ω上，I 为△PAB的内
2
心，O为坐标原点，若直线OI 的斜率为 2，则cos∠APB= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明和证明过程。
15．（13分）
在正四棱柱ABCD−A BCD 中，P,Q两点分别在BC,CD 上．
1 1 1 1 1 1
（1）证明：AC ⊥BD ；
1
（2）若AB=2AA =2，且PQ⊥平面ABC，求PQ的长度．
1 1
16．（15分）
在某校的合唱比赛中，每个班完成合唱后，音乐老师组和学生代表组（各5人）
会对该班的综合表现进行打分．在统计高二1班的得分时，小明发现之前忘记标注每
组数据的来源．由于音乐老师组的打分离散程度更小，小明打算通过比较两组数据的
离散程度，判断哪一组数据来自音乐老师组．完成下列问题，帮助小明进行判断．
高二1班得分表
第一组数据 7.4 7.8 8.0 8.2 8.6
第二组数据 7.0 8.0 8.0 8.5 8.5
（1）分别计算表中两组数据的极差与方差；
（2）小明认为：对于样本量相同的两组数据，可以将两组数据分别从小到大依次
编号（编号从1开始），以编号为解释变量，分数为响应变量，将数据整理成两组样本
点，通过比较两组样本点的经验回归方程的斜率大小，来比较两组数据的离散程度．
（i）请按照小明的想法，利用最小二乘法，比较两组数据的离散程度．
（ii）综合（1）（2）中的计算结果，请判断哪一组数据来自音乐老师组．
n
∑(x −x)(y − y)
i i
参考公式：b ˆ= i=1 ．
n
∑(x −x)2
i
i=1
数学试卷 第 3 页 （共 4 页）17．（15分）
x2 y2
已知A,B分别为离心率为2的双曲线Γ: − =1 (a,b>0)的左右顶点，直线
a2 b2
y=3a交Γ于M,N 两点，与M,N 相异的P,Q两点在Γ上，梯形ABMN的面积为9．
（1）求Γ的方程；
（2）若PM =−3QN ，求以P,Q,M,N 为顶点的四边形的面积．
18．（17分）
已知函数 f(x)=xex −(a−k)x+b，g(x)是 f(x)的导函数．
（1）讨论g(x)的单调性；
（2）若直线y=kx+b是曲线y= f(x)的切线，求a；
|b|
（3）若a≠k ，且 f(x)恰有2个零点，求 的取值范围．
a−k
19．（17分）
已知无穷数列{a }满足a ∈N*，且{a }前n项的中位数为n.
n n n
（1）若{a }是递增数列，求{a }的通项公式；
n n
（2）证明：a ≥n；
n
（3）给定k∈N*，求关于n的方程a =k 所有可能的解集．
n
数学试卷 第 4 页 （共 4 页）精卫杯 2026 年 2 月诊断性测试（A）
参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D C C D A
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题的四个选项中,有多个选项符合
题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的不得分。
题号 9 10 11
答案 BD ABC BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
4
答案 3 [0,2 2]
13
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明和证明过程。
15．（13分）
6
（1）略； （2） ．
2
16．（15分）
（1）第一组数据：极差为1.2，方差为0.16；第二组数据：极差为1.5，方差为0.3；
（2）（i）第二组数据的离散程度更大；
（ii）第一组数据来自音乐老师组．
17．（15分）
y2
（1）x2 − =1； （2）24．
3
18．（17分）
（1）g(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增； （2）1；
（3）(−∞,−4)[0,+∞)．
19．（17分）
（1）a =2n−1； （2）略；
n
（3）当k为正偶数时，解集为∅；当k =1时，解集为{1}；当k =3时，解集为{2}；
当k为奇数且k≥5时，解集为{3}或{4}或或{k−1}．
参考答案 第 1 页 （共 2 页）
