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工作秘密★启用前
精卫杯 2026 年 2 月诊断性测试（B）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．复数z=1+i，则|z −i|=
A．1 B． 2 C．2 D． 5
2．集合A={x|x=2n,n∈N*}，B={x|x=2n,n∈N*}，则AB=
A．A B．B C．R D．∅
3．平面向量a=(1,4)，b=(−2,3)，则(a−b)⋅(a+b)=
A．2 B．4 C．−2 D．−4
4．若函数 f(x)=(x+a)2 +8x是偶函数，则 f(0)=
A．1 B．4 C．16 D．64
5．体积为7π的圆台的上、下底面半径分别为1,2，则该圆台的侧面积为
A．3 10π B．3 5π C．9π D．6 3π
6．记S 为等比数列{a }的前n项和，则下面不能唯一确定{a }的一组量是
n n n
A．a 和S B．a 和S C．S 和S D．S 和S
1 2 2 2 2 4 3 6
π π π
7．若函数 f(x)=cos(ωx+ ) (ω>0)在[− , ]上恰有两个零点，则ω的取值范围为
6 3 3
A．(1,3] B．[2,3) C．[2,4) D． [3,4)
数学试题 第 1 页（共4页）8．若对于任意的x∈[0,2]，有|x2 −2ax|≤1，则a的取值范围为
3 3 1
A．[ ,1] B．[ ,2] C．[ ,1] D．(−∞,1]
4 4 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在一次物理实验中，小明记录到了小车在不同的时刻t（单位：s）运动的速度v
（单位：m/s），具体数据如下表：
t 2 4 6 8 10
v 1.9 3.2 4.0 4.8 6.1
经计算得经验回归方程v =0.5t+a，则下列说法正确的是
A．变量t,v呈正相关
B．经验回归方程过点(6,5)
C．相应于点(4,3.2)的残差为0.2
D．估计t =0时小车的速度为1.0m/s
10．已知函数 f(x)=ex −ax2 −a，则曲线y= f(x)部分图像的示意图可以为
A． B．
C． D．
11．对2×n的方格表中的所有格子染色，要求每个方格有且仅有一个颜色与之相同的
相邻方格，且有k种颜色可用，设染色的总方案数为a ，则
n
A．当k =2时，a =2 B．当k =3时，a =24
n k
C．当k =3时，a <500 D．当k =4时，a >106
2k 2k
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在面积为 3的△ABC中，A:B:C =1:2:3，则AB=＿＿＿＿＿．
13．若圆C :x2 + y2 =2(x+a)内含于圆C :x2 + y2 =4(y+4)，则a的取值范围为
1 2
＿＿＿＿＿．
14．已知抛物线C:y2 =2px的焦点为F(1,0)，A,B两点在C上，点P在直线x=5
上．若FAPB为矩形，则该矩形的面积为＿＿＿＿＿．
数学试题 第 2 页（共4页）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
设S 为等差数列{a }的前n项和，已知S =90，S =240．
n n 3 5
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b =2n −a ，求数列{b }中最小项的值．
n n n
16．（15分）
如图所示，平行四边形ABCD满足AB⊥BD，AB=λBD=λ．
现将△ABD沿BD翻折至△PBD，使得PB⊥BC．
（1）证明：CD⊥平面PBD；
（2）若二面角B−PC−D的大小为60，求λ．
17．（15分）
已知随机事件A,B满足：P(A)P(B)≠0．
（1）若P(A|B)+P(B|A)=P(A)+P(B)，证明：A,B相互独立；
（2）若P(A)=P(B)=P(AB|A+B)，求P(AB)的取值范围．
18．（17分）
a+lnx
已知函数 f(x)= ，其中a,b>0．
b+x
b
（1）若 =e，讨论 f (x)的单调性；
a
（2）证明：当且仅当a−b≥1时， f(x)在(1,+∞)上单调递减；
2
（3）若 f (x)的极值都不超过2f (b)，求a+ b的最小值．
e
数学试题 第 3 页（共4页）19．（17分）
x2
已知椭圆Ω: + y2 =1(m>0)，圆O:x2 + y2 =1，直线l:y=ax+b (a,b>0)交Ω
m
|AB| 8
于A,B两点，交圆O于C,D两点．记 =λ．已知当a=b=1时，λ= ．
|CD| 5
（1）求Ω的方程；
（2）若λ=2，P为Ω的下顶点．
（i）求a2 −b2的最小值；
（ii）当∠APB=2∠CPD时，求l的方程．
数学试题 第 4 页（共4页）精卫杯 2026 年 2 月诊断性测试（B）
参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B C A C C A
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题的四个选项中,有多个选项符合
题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的不得分。
题号 9 10 11
答案 ACD AD BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
1
答案 2 2 (− ,2) 8
2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明和证明过程。
15．（13分）
（1）a =18n−6； （2）−52．
n
16．（15分）
（1）略； （2）1．
17．（15分）
（1）略； （2）[0,3−2 2]．
18．（17分）
（1） f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减． （2）略；
1
（3）ln2+ ．
e
19．（17分）
x2 13 2
（1） + y2 =1． （2）（i）− ． （ii）y= x+1．
4 25 2
参考答案 第 2 页 （共 2 页）
