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2026 届高三年级 3 月份学情诊断
数学参考答案及解析
三、填空题
12．28【解析】 记该棱台的高为h，易得AC ＝2，AC＝4，由勾股定理可得 ，得h＝3，于是棱
1 1
台的体积V＝×3×(4＋8＋16)＝28.故答案为28.
13. 【解析】显然 ， ，可得 ，显然 ，于是
， ，可知 ， ，即 ，显然当 时等号成立.故答案为 .
14. 【解析】设取出的5个球编号从小到大排列为 ，由已知中位数为
（不是最简形式不得分）
即 ，则 需从 中选取， 需从 中选取，故基本事件总数为 .
若满足最大编号与最小编号之差为 ，设 ，则 .由 知 ，由 即 知
，且 即 ，故 .此时中间球的选法数为 ，求和得符合条件的事件数为
，故所求概率为 .故答案为 .
四、解答题
15．解：(1)零假设H：数学成绩与单日运动时间无关，(1分)
0
χ2＝＝20>10.828，(3分)
（卡方公式代入数据正确给1分，算出结果并与临界值比较正确得3分）
零假设不成立，故可认为根据小概率值α＝0.001的独立性检验，数学成绩与单日运动时间有关．(5分)
(2)x＝＝25，(6分)
y＝＝，(8分)
于是 ，(11分)（b 数据代入正确给1分；若用另一个公式计算，结果正确不扣分，结果错误则给1分）
于是a＝y－bx＝69.5.(13分)
16．解：(1)注意到 ，可得B＝，(2分)
而△ABC的面积S＝6＝acsin B＝b2，可得b＝4.(5分)（若求出ac=8 ，没有写出b，扣1分）
(2)法一：由正弦定理得 ，(6分)
即＝2sin Asin(A＋（) 7分）＝sin2A＋sin Acos A（8分）＝＋sin 2A（9分）＝sin(2A－)＋，(10分)于是sin(2A－)＝.(11
分)
法二：
（6分）=-[cos(A+C)-cos(A-C)]（7分）= +cos(A-C)（8分）
所以 = +cos[A-( ,（9分）所以sin(2A- )=
.(11分)
(3)法一：若A＝C，则应有A＝C＝，这与 矛盾，(12分)
不妨设A，(14分)
故△ABC是钝角三角形．(15分)
法二：因为 =ac,所以
， ，所以sinAsinC= ，（12分）
cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=- （, 13分）所以cosAcosC=- ,所以A，C中有一个是钝角，（14分）所以
△ABC是
钝角三角形．(15分)
17．解：(1)由PD＝CD，DM⊥PC得M为PC中点，(1分)
又N为PA的中点，于是MN∥AC，(2分)
由MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD得MN∥平面ABCD.(3分)
(2)由平面几何知识可知AD⊥BD，（由简单运算过程得此结论即给分）(4分)
由PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD得AD⊥PD，(5分)
由PD∩BD＝D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD可得
AD⊥平面PBD.(6分)
(3【) 方法一】以D为坐标原点，过D点作平行于CB方向的直线为x轴正方向，DC的方向为y轴正方向，DP的方向为z
轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，(7分)
可得D(0，0，0)，A(2，－2，0)，B(2，2，0)，N(1，－1，1)，记PM＝λPC，λ∈[0，1]，(9分)
DA＝(2，－2，0)，NB＝(1，3，－1)，DM＝DP＋λPC＝(0，2λ，2－2λ)，(10分)
设平面MAD的法向量为n＝(x，y，z)， ，(11分)
即 ，可取n＝(λ－1，λ－1，λ)，(12分)记直线BN与平面MAD所成角为θ， ，(13分)
即＝，整理得24λ2－14λ＋1＝0，(14分)
解得＝λ＝或.(15分)
【方法二】建系同上
设M(0，m，2-m)，m∈[0，2]，(9分)
DA＝(2，－2，0)，NB＝(1，3，－1)，DM＝(0，m，2-m)，(10分)
设平面MAD的法向量为n＝(x，y，z)， ，(11分)
即 ，可取n＝(m－2，m－2，m)，(12分)
记直线BN与平面MAD所成角为θ， ，(13分)
即＝，整理得6m2－7m＋1＝0，(14分)
解得m=或m=1，==或. (15分)
1. 按步骤给分，踩点给分，满分15分。
2. 关键公式、韦达定理应用、斜率表达式化简等核心步骤出错，将扣除对应步骤分；结果错误但过程正确，仅扣最终
结果分。
3. 若出现计算失误但后续步骤逻辑正确，按“错一步扣一步分”原则处理，不重复扣分。
18. 解：(1)由－＝0得y＝±x，可得b＝a，联立 ，(1分)
得 ，(2分)
于是E：x2－＝1.(3分)
仅写出核心关系式但未求解，得1分；求解错误但关系式正确，扣1分；最终方程写错，扣1分
(2)(ⅰ)显然l斜率不为0，故设l：x＝my＋4.联立 ，
得(m2－)y2＋8my＋15＝0，(4分)
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝－，yy＝，(5分)
1 2 1 2
于是kk＝，
1 2
k＋k＝＋，(6分)
1 2
＝
＝＝－m，(7分)
于是＋＝· (8分)
＝－，为定值．(9分)
韦达定理符号错误，扣1分；斜率表达式变形错误，扣1分；展开计算错误，扣1分；最终结果错误但过程逻辑正确，扣
1分
(ⅱ)x＋x＝m(y＋y)＋8＝＋8＝，于是M(－，－)，(10分)
1 2 1 2
显然M为DN中点，(11分)
设N(s，t)，由 ，(12分)
得N(－－4，－)，(13分)
记C(p，0)，＝k·＝－·(14分)
0
＝－，(15分)
由其为定值可知其与m无关，
故必有4＋p＝0，p＝－4，于是C(－4，0)，(16分)
于是＝－＝－.(17分)中点坐标求解错误，扣1分；点坐标求解错误，扣1分；定点坐标求解错误，扣1分；最终定值错误，扣1分
额外扣分规则
1. 未写关键步骤（如直接写结果、省略韦达定理推导），每处扣1分。
2. 字迹潦草、步骤混乱导致无法识别得分点，酌情扣1-2分。
3. 单位、符号书写错误（如斜率符号、双曲线方程符号），每处扣0.5分，累计不超过1分。
19．解：(1)由题有g′(x)＝()′＝.（1分）因为对于任意x∈(0，＋∞)，都有xf′(x)>f(x)，即xf′(x)－f(x)>0，且x2>0，所以g′
(x)>0，（2分）故函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，(3分)
下面证明：f(x＋x)>f(x)＋f(x)．因为x，x∈(0，＋∞)，所以x＋x>x，由g(x)的单调递增性质可知g(x＋x)>g(x)，即>.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
（4分）因为x>0且x＋x>0，整理得：xf(x＋x)>(x＋x)f(x)．同理，因为x>0，所以x＋x>x，由g(x)的单调递增性质
1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2
可知g(x＋x)>g(x)，即>，（5分）整理得xf(x＋x)>(x＋x)f(x)．将两式相加得(x＋x)f(x＋x)>(x＋x)[f(x)＋f(x)]，（6
1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
分）因为x＋x>0，两边同时除以x＋x，得f(x＋x)>f(x)＋f(x)，得证．(7分)
1 2 1 2 1 2 1 2
（如果以上都没有，只写出了单调递增的定义也得1分）
(2)(ⅰ)由题意f(a)＝n，则＝＝＝.要证明数列单调递减，即证明{g(a)}单调递增（8分），因为f(x)在(0，＋∞)上单调递
n n
增，且f(a)＝n0时f(x)>0，从而g(x)>0，所以>，即>.故数列单调递减．(11分（) 不用分析法，正确也可得
分）
(ⅱ)记S ＝a ＋a ＋…＋a.由(1)可知f(x ＋x)>f(x)＋f(x)有f(S)＝f(a ＋(a ＋…＋a))>f(a)＋f(a ＋…＋a)，同理f(a
n 1 2 n 1 2 1 2 n 1 2 n 1 2 n 2
＋…＋a)>f(a)＋f(a＋…＋a)，依此类推，可得：f(S)>f(a)＋f(a)＋…＋f(a)，(14分)
n 2 3 n n 1 2 n
将f(a)＝k(k＝1，2，…，n)代入右侧可得f(S)>1＋2＋…＋n，（15分）即f(S)>.由题意，令N＝，则a 满足f(a )＝N＝（16
k n n N N
分），所以f(S)>f(a )．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以S>a ，即 ，得证．(17分)
n N n N
