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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.若集合A={x∈N0≤x≤5},B={x|2x-1∈A},则A∩B=( )
A.{0,1,2} B.{1,3,5} C. {1,2,3} D.{2,4,5}
2. 已知i为虚数单位，则；2026-i的虚部为( )
A.-1 B.1 C. i D.-i
3. 已知sin β+cosβ=-5,B∈(0,π),则sinβ-cosβ=( )
A5 B.5 c.-5 D.5
4.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a=|5=1,c=2,则|a+b-c=( )
A.3 B.4 C.3或0 D.4或1
f(x)=(a-22+)cosx,a∈R是奇函数，则a的值为( )
5. 若函数
A.2 B.-2 C.-1 D.1
6. 已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0与直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0相交于A,B两点，
c.
当∠ACB最小时，m的值为( )
B.
A.-3 D.3
7. 已知四面体ABCD满足∠ABC=90°,∠BCD=120°,△ABC,△BCD 均为等腰三角形，若
AC=2√2,AD=4,则该四面体外接球的表面积为( )
c23 D. 3
A.24π B. 20π
8.若√x?ex+1=2√x?Inx?=1,则下列不等关系一定不成立的是( )
A.Yb>0,则ac2>bc2
B.若a>b,则a3>b3
C.若a>b,则 c-a c-
D.若c>a>b>0,则
10.下列说法中正确的有( )
A.一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为51
B.在成对样本数据分析中相关系数r=0,表示两个分量之间没有线性相关关系
C.经验回归方程为y=0.839x+28.957,x=6时的观测值为34,则残差为0.009
D.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为x,x和
=2(G2+22)
s2,s?2,若x?=x,则总体方差
-2=I(a>0,b>0),0为坐标原点，F、F?分别是双曲线的左右焦点，P是
11.己知双曲线
双曲线位于第一象限上的点，I、G分别是△PFF?的内心、重心，则下列说法正确的是( )
A. I的横坐标为a
B.直线PI与双曲线相切
C. |or的最大值是c
PF?F,eπ)
D.若IG//x轴，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设曲线y=e2?+在点(0,e?)处的切线与直线 ex+2y+6=0垂直，则b=_____.
π一3
13. 已知郴圆C:+=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F,F?,过右焦点F?且倾斜角为 的直
线交椭圆于A,B两点，满足2AF?=P?B,则椭圆C的离心率e=_______
14.已 知(2x+1(22x+1)(23x+1)…(2"x+1)=ao+ax+az2+…+ax"(n≥2,neN),则
ao=________;a?=____,
第2页 共 4页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
己知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C对边，a=2且2cosC+2√3sinC-b-c=0.
(1)求A;
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
16.(15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧
面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点.
(1)求证：AM1平面PCD;
(2)试问在线段PB上是否存在一点N,使得平面AMN与底面ABCD所成夹角的余弦值为
D
4
若存在求出 的值，若不存在，请说明理由.
P
次
D
A
C
B
17.(15分)
2026年被业界公认为“具身智能元年”.得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉一语言一动作
大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人
类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮
进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、
34 33
小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为 通过第一轮后通过第二轮的概率依次为
假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为ξ,求5的分布列及期望.
第3页 共 4页18.(17分)
已知函数f(x)=(x+1)lnx,e为无理数且e=2.71828……
(1)求f(x)在区间 的最值；
(2)若f(x)≥a(x-1)对Vx∈(1,+∞)恒成立，求a的取值范围；
22+1<1n2
(3)对于Vn∈N+,证明：
19.(17分)
己知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，P是抛物线C上的一点且有FP=(0,2).
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点T(3,0),连接P、T并延长交抛物线C于另外一点Q.
(i)若抛物线C上有且仅有3个点M、M?、M?使得△M?PQ、△M?PQ、△M?PQ的面积
均为定值S,求S的值；
(ii)已知点A、B是抛物线C上异于P、Q的两点，且PQ是∠APB的角平分线.请问直线AB
是否过定点G,若过定点，求出G点的坐标，若不过定点，请说明理由.
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