宜宾市普通高中2023级第一次诊断性测试数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年01月高三试卷_0114四川省宜宾市普通高中2023级第一次诊断性测试（宜宾一诊）

宜宾市普通高中 2023 级第一次诊断性测试
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D B A C B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ABD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2 13. 80 14. 33
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.解：(1)∵ 3c= 3acosB+asinB
由正弦定理可得 3sin(B+A)= 3sinAcosB+sinAsinB..........................................................2分
∴ 3sinBcosA+ 3cosBsinA= 3sinAcosB+sinAsinB
∴ 3sinBcosA=sinAsinB
∵sinB≠0，∴ 3cosA=sinA................................................................................................4分
∴tanA= 3
又∵A∈0,π 
π
∴∠A= ......................................................................................................6分
3
π
(2)∵∠A= ,AB=2，AC=4
3
 
∴AB⋅AC=4.....................................................................................................................7分
 
∵∠MPN就是向量AM 与向量BN 的夹角................................................................................8分
     
1 1
AM = (AB+AC),BN = AC-AB
2 2
     
1 1
∴AM ⋅BN = (AB+AC)⋅ AC-AB
2 2

   
1 1 1
= (AC)2- (AB)2- AB⋅AC=1..........................9分
4 2 4
         
∵|AM|= 1 AB2+ 1 AC2+ 1 AB⋅AC = 7，|BN|= 1 AC2+AB2-AB⋅AC =2......................11分
4 4 2 4
 
AM⋅BN 1 7
∴cos∠MPN=   = =
|AM||BN 7×2 14
7
∴∠MPN的余弦值为 .....................................................................................................13分
14
16.解：(1)取AD的中点O，连接线段PO,BO,BD
由△PAD为等边三角形，得AD⊥PO......................................................................................2分
由△ABD为等边三角形，得AD⊥BO......................................................................................4分
又PO∩BO=O,PO,BO⊂平面POB，于是AD⊥平面POB.......................................................6分
又PB⊂平面POB，
所以PB⊥AD....................................................................................................................7分
(2)在平面POB内过O作Oz⊥OB，显然直线OA,OB,Oz两两垂直，
以O为坐标原点，直线OA,OB,Oz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.........................................9分
·第1页，共4页·不妨设AB=2，则PO  =BO 
3
= 3,PB= AD=3
2
2π
所以∠POB=
3
A1,0,0  ,B0, 3,0 
3 3
,P0,- ,
2 2
 ,D-1,0,0 
1 1
由AB⎳CD,AB⊥BC，得DC= BD= AB，
2 2
 
1 1 3
DC= AB=- , ,0
2 2 2

3 3
所以C- , ,0
2 2
 ............................................................................................................10分

 3 3
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，而CB= , ,0
1 1 1 2 2


 3 3 3
m⋅PB= y - z =0
2 1 2 1 
则
  3 3
，取x
1
=1，得m=(1,- 3,-3).....................................................12分
m⋅CB= x + y =0
2 1 2 1

又因为平面ABCD的法向量n=(0,0,1).................................................................................13分
 
  |m⋅n| 3 3 13
设平面ABCD与平面PBC所成角为θ，则|cosθ|=|cos‹m,n›|= = =
|m  ||n  | 13×1 13
3 13
所以平面ABCD与平面PBC所成角的余弦值为 ..............................................................15分
13
17.解：(1)由题意，得函数fx  的定义域为0,+∞ 
且fx 
2 a -x2+2x-a
= -1- = .....................................................................1分
x x2 x2
若x=1为函数fx  的极值点，则f1  =0，a=1...................................................................3分
此时fx 
-x2+2x-1 -x-1
= =
x2
 2
≤0，
x2
函数fx  在0,+∞  上单调递减..........................................................................................5分
故x=1不是函数fx  的极值点，所以不存在a满足条件............................................................6分
(2)由题意可知f1-x  +f1+x  =0在x∈-1,0  ∪0,1  上有解........................................8分
a
所以 2ln(1-x)-(1-x)+
 1-x
 + 2ln1+x  -1+x 
a
  +
 1+x
 =0在x∈-1,0  ∪0,1  上
有解
该方程化简得2ln1-x2  2a + -2=0,即ln1-x2
1-x2
 a + -1=0..................................10分
1-x2
令t=1-x2∈0,1  a ，得lnt+ -1=0，
t
所以问题等价于方程a=t-tlnt在t∈0,1  上有解..............................................................12分
令ht  =t-tlnt，t∈0,1  ，有ht  =-lnt>0，
所以ht  在0,1  单调递增，
又t→0,ht  →0且h1  =1，所以ht  ∈(0,1)..........................................................................14分
即a∈(0,1),所以a∈(0,1)时，fx  图象上总存在关于点1,0  对称的两点....................................15分
18.解：(1)由题意得分总数X的所有可能取值为4，5，6，7，8，
其中PX=4  3 = 4  4 81 = ，PX=5 256  1 3 =C1× × 4 4 4  3 27 = ， 64
PX=6  1 =C2× 4 4  2 3 × 4  2 27 = ，PX=7 128  1 =C3× 4 4  3 3 3 × = ， 4 64
·第2页，共4页·PX=8 
1
=
4

4 1
= ，
256
所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8
81 27 27 3 1
P
256 64 128 64 256
.........................................................................................................................................5分
EX 
81 27 27 3 1
=4× +5× +6× +7× +8× =5.......................................................6分
256 64 128 64 256
(2)因为这n道题得分的总数为n+1  ，所以其中恰有1道题得到2分
1 3 所以P =C1× ×
n n 4 4
 n-1 n 3 = ⋅
3 4
 n ......................................................................................8分
1 3 3 则P+P +P +...+P = × 1× +2×
1 2 3 n 3 4 4
 2 3 +3×
4
 3 3 +...+n×
4
  n 


3 所以 4 P 1 +P 2 +P 3 +⋅⋅⋅+P n  1 3 = × 1× 3 4  2 3 +2× 4  3 3 +3× 4  4 +...+n-1  3 × 4  n 3 +n× 4   n+1   
1 两式相减得 4 P 1 +P 2 +P 3 +⋅⋅⋅+P n  1 3 3 = × + 3 4 4  2 3 + 4  3 3 +⋅⋅⋅+ 4  n 3 -n× 4   n+1   
3 3 × 1-
1 4 4
= ×
3
  n 


3
-n×
3 4
1-
4


n+1


n+4 3
=1- ×
3 4

n+1
.......................................................11分
所以P 1 +P 2 +P 3 +⋅⋅⋅+P n =4-n+4 
3
× 4 
n
...........................................................................12分
(3)在这20名学生中，设得到1分的人数为x，则得到2分的人数为20-x  ，
所以得分总数n=x+220-x  =40-x，................................................................................13分
3 此时得分总数为n的概率为Cx
20 4
 x 1 ⋅
4
 20-x = 3x⋅C 2 x 0..............................................................14分
420
3x⋅Cx 3x+1⋅Cx+1
 20 ≥ 20
 420 420 x+1≥320-x
所以 ，整理得  3x⋅Cx 3x-1⋅Cx-1   20 ≥ 20
 420 420

321-x 
 59 63
 ，解得 ≤x≤ .......................................16分 ≥x 4 4
而0≤x≤20，x∈N，所以x=15，所以n=40-15=25
因此以总分为n的概率最大为依据，王老师应该提前准备25朵小红花比较合理..............................17分
x2 y2
19.解：(1)因为双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率e= 2，
a2 b2
c
可得 = 2，即c= 2a.
a
又因为焦点到渐近线bx-ay=0的距离为1，
|bc|
根据点到直线距离公式d= ，而c2=a2+b2，所以d=b，则b=1.
a2+b2
由c2=a2+b2且c= 2a，b=1，可得( 2a)2=a2+1，解得a2=1.
所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1.....................................................................................4分
(2)由x2-y2=1可得a2=1，b2=1，c2=2. ∴F 1- 2,0  ，
在没有折叠之前，设直线AB的方程为：x=ty- 2，Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，
(i)记折叠后点O为坐标原点，原x轴正半轴为折叠后空间直角坐标系中x轴正方向，原y轴正半轴为折叠
后空间直角坐标系中y轴正方向，原y轴负半轴为折叠后空间直角坐标系中z轴正方向，可得
F 1- 2,0,0  ，Ax 1 ,y 1 ,0  ，Bx 2 ,0,-y 2 
∴AF 1  =-1- 2x 1 ，BF 1  =-1- 2x ， 1
·第3页，共4页·则AF 1  +BF 1  -AB  =-2- 2(x 1 +x 2 )- x 1 -x 2  2+y2+y2 1 2
=2- 2ty 1 +y 2  - t2 y 1 +y 2   2-4yy 1 2  +y 1 +y 2  2-2yy ①....................................................6分 1 2
x=ty- 2 由  x2-y2=1 可得t2-1  2 2t 1 y2-2 2ty+1=0，所以y +y = ，yy = .............................8分 1 2 t2-1 1 2 t2-1
π 1 3 3
当θ= 时，t= = ，可得y +y =- 6，yy =- ，
3 π 3 1 2 1 2 2
tan
3
代入①得：AF 1  +BF 1  -AB  =4- 13 ...............................................................................10分
(ii)记折叠后点O为坐标原点，原x轴正半轴为折叠后空间直角坐标系中x轴正方向，原y轴负半轴为折叠
后z轴正方向，过原点O向上垂直于平面xoz为y轴正方向，
可得F 1- 2,0,0 
3y y
，Ax, 1, 1 1 2 2  ，Bx 2 ,0,-y 2 
x=ty- 2
  x2-y2=1 ，得(t2-1)y2-2 2ty+1=0
2 2t 1
∴y +y = ,yy = ...............................................................................................12分
1 2 t2-1 1 2 t2-1
π π
根据双曲线的对称性，不妨设 <θ≤
4 2
∴t∈[0,1)
∴AB  = t2 y 1 +y 2   2-4yy 1 2  +y 1 +y 2  2-yy 1 2
2 2t = t2 
t2-1
  2 4  -
 t2-1
 2 2t +
t2-1
 2 1 4t4+11t2+1 - =
t2-1 t2-1 
....................................................14分
2
令m=1-t2∈(0,1]，可得AB  4m2-19m+16 1 = = 16
m2 m
 2 19 - +4
m
1 1
因为 ∈[1,+∞)，所以y=16
m m

2 19
- +4的范围为[1,+∞)，
m
所以AB 
4m2-19m+16
= ∈[1,+∞)................................................................................16分
m2
当且仅当t=0，即折叠前AB为通径的时候，折叠后AB的长度取最小值1
所以折叠后的线段AB长度的取值范围为[1,+∞).....................................................................17分
·第4页，共4页·