宜宾市普通高中2023级第一次诊断性测试数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年01月高三试卷_0114四川省宜宾市普通高中2023级第一次诊断性测试（宜宾一诊）

宜宾市普通高中 2023 级第一次诊断性测试 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D B A C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对 的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13. 80 14. 33 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：(1)∵ 3c= 3acosB+asinB 由正弦定理可得 3sin(B+A)= 3sinAcosB+sinAsinB..........................................................2分 ∴ 3sinBcosA+ 3cosBsinA= 3sinAcosB+sinAsinB ∴ 3sinBcosA=sinAsinB ∵sinB≠0，∴ 3cosA=sinA................................................................................................4分 ∴tanA= 3 又∵A∈0,π  π ∴∠A= ......................................................................................................6分 3 π (2)∵∠A= ,AB=2，AC=4 3   ∴AB⋅AC=4.....................................................................................................................7分   ∵∠MPN就是向量AM 与向量BN 的夹角................................................................................8分       1 1 AM = (AB+AC),BN = AC-AB 2 2       1 1 ∴AM ⋅BN = (AB+AC)⋅ AC-AB 2 2      1 1 1 = (AC)2- (AB)2- AB⋅AC=1..........................9分 4 2 4           ∵|AM|= 1 AB2+ 1 AC2+ 1 AB⋅AC = 7，|BN|= 1 AC2+AB2-AB⋅AC =2......................11分 4 4 2 4   AM⋅BN 1 7 ∴cos∠MPN=   = = |AM||BN 7×2 14 7 ∴∠MPN的余弦值为 .....................................................................................................13分 14 16.解：(1)取AD的中点O，连接线段PO,BO,BD 由△PAD为等边三角形，得AD⊥PO......................................................................................2分 由△ABD为等边三角形，得AD⊥BO......................................................................................4分 又PO∩BO=O,PO,BO⊂平面POB，于是AD⊥平面POB.......................................................6分 又PB⊂平面POB， 所以PB⊥AD....................................................................................................................7分 (2)在平面POB内过O作Oz⊥OB，显然直线OA,OB,Oz两两垂直， 以O为坐标原点，直线OA,OB,Oz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.........................................9分 ·第1页，共4页·不妨设AB=2，则PO  =BO  3 = 3,PB= AD=3 2 2π 所以∠POB= 3 A1,0,0  ,B0, 3,0  3 3 ,P0,- , 2 2  ,D-1,0,0  1 1 由AB⎳CD,AB⊥BC，得DC= BD= AB， 2 2   1 1 3 DC= AB=- , ,0 2 2 2  3 3 所以C- , ,0 2 2  ............................................................................................................10分   3 3 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，而CB= , ,0 1 1 1 2 2    3 3 3 m⋅PB= y - z =0 2 1 2 1  则   3 3 ，取x 1 =1，得m=(1,- 3,-3).....................................................12分 m⋅CB= x + y =0 2 1 2 1  又因为平面ABCD的法向量n=(0,0,1).................................................................................13分     |m⋅n| 3 3 13 设平面ABCD与平面PBC所成角为θ，则|cosθ|=|cos‹m,n›|= = = |m  ||n  | 13×1 13 3 13 所以平面ABCD与平面PBC所成角的余弦值为 ..............................................................15分 13 17.解：(1)由题意，得函数fx  的定义域为0,+∞  且fx  2 a -x2+2x-a = -1- = .....................................................................1分 x x2 x2 若x=1为函数fx  的极值点，则f1  =0，a=1...................................................................3分 此时fx  -x2+2x-1 -x-1 = = x2  2 ≤0， x2 函数fx  在0,+∞  上单调递减..........................................................................................5分 故x=1不是函数fx  的极值点，所以不存在a满足条件............................................................6分 (2)由题意可知f1-x  +f1+x  =0在x∈-1,0  ∪0,1  上有解........................................8分 a 所以 2ln(1-x)-(1-x)+  1-x  + 2ln1+x  -1+x  a   +  1+x  =0在x∈-1,0  ∪0,1  上 有解 该方程化简得2ln1-x2  2a + -2=0,即ln1-x2 1-x2  a + -1=0..................................10分 1-x2 令t=1-x2∈0,1  a ，得lnt+ -1=0， t 所以问题等价于方程a=t-tlnt在t∈0,1  上有解..............................................................12分 令ht  =t-tlnt，t∈0,1  ，有ht  =-lnt>0， 所以ht  在0,1  单调递增， 又t→0,ht  →0且h1  =1，所以ht  ∈(0,1)..........................................................................14分 即a∈(0,1),所以a∈(0,1)时，fx  图象上总存在关于点1,0  对称的两点....................................15分 18.解：(1)由题意得分总数X的所有可能取值为4，5，6，7，8， 其中PX=4  3 = 4  4 81 = ，PX=5 256  1 3 =C1× × 4 4 4  3 27 = ， 64 PX=6  1 =C2× 4 4  2 3 × 4  2 27 = ，PX=7 128  1 =C3× 4 4  3 3 3 × = ， 4 64 ·第2页，共4页·PX=8  1 = 4  4 1 = ， 256 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 81 27 27 3 1 P 256 64 128 64 256 .........................................................................................................................................5分 EX  81 27 27 3 1 =4× +5× +6× +7× +8× =5.......................................................6分 256 64 128 64 256 (2)因为这n道题得分的总数为n+1  ，所以其中恰有1道题得到2分 1 3 所以P =C1× × n n 4 4  n-1 n 3 = ⋅ 3 4  n ......................................................................................8分 1 3 3 则P+P +P +...+P = × 1× +2× 1 2 3 n 3 4 4  2 3 +3× 4  3 3 +...+n× 4   n    3 所以 4 P 1 +P 2 +P 3 +⋅⋅⋅+P n  1 3 = × 1× 3 4  2 3 +2× 4  3 3 +3× 4  4 +...+n-1  3 × 4  n 3 +n× 4   n+1    1 两式相减得 4 P 1 +P 2 +P 3 +⋅⋅⋅+P n  1 3 3 = × + 3 4 4  2 3 + 4  3 3 +⋅⋅⋅+ 4  n 3 -n× 4   n+1    3 3 × 1- 1 4 4 = × 3   n    3 -n× 3 4 1- 4   n+1   n+4 3 =1- × 3 4  n+1 .......................................................11分 所以P 1 +P 2 +P 3 +⋅⋅⋅+P n =4-n+4  3 × 4  n ...........................................................................12分 (3)在这20名学生中，设得到1分的人数为x，则得到2分的人数为20-x  ， 所以得分总数n=x+220-x  =40-x，................................................................................13分 3 此时得分总数为n的概率为Cx 20 4  x 1 ⋅ 4  20-x = 3x⋅C 2 x 0..............................................................14分 420 3x⋅Cx 3x+1⋅Cx+1  20 ≥ 20  420 420 x+1≥320-x 所以 ，整理得  3x⋅Cx 3x-1⋅Cx-1   20 ≥ 20  420 420  321-x   59 63  ，解得 ≤x≤ .......................................16分 ≥x 4 4 而0≤x≤20，x∈N，所以x=15，所以n=40-15=25 因此以总分为n的概率最大为依据，王老师应该提前准备25朵小红花比较合理..............................17分 x2 y2 19.解：(1)因为双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率e= 2， a2 b2 c 可得 = 2，即c= 2a. a 又因为焦点到渐近线bx-ay=0的距离为1， |bc| 根据点到直线距离公式d= ，而c2=a2+b2，所以d=b，则b=1. a2+b2 由c2=a2+b2且c= 2a，b=1，可得( 2a)2=a2+1，解得a2=1. 所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1.....................................................................................4分 (2)由x2-y2=1可得a2=1，b2=1，c2=2. ∴F 1- 2,0  ， 在没有折叠之前，设直线AB的方程为：x=ty- 2，Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ， (i)记折叠后点O为坐标原点，原x轴正半轴为折叠后空间直角坐标系中x轴正方向，原y轴正半轴为折叠 后空间直角坐标系中y轴正方向，原y轴负半轴为折叠后空间直角坐标系中z轴正方向，可得 F 1- 2,0,0  ，Ax 1 ,y 1 ,0  ，Bx 2 ,0,-y 2  ∴AF 1  =-1- 2x 1 ，BF 1  =-1- 2x ， 1 ·第3页，共4页·则AF 1  +BF 1  -AB  =-2- 2(x 1 +x 2 )- x 1 -x 2  2+y2+y2 1 2 =2- 2ty 1 +y 2  - t2 y 1 +y 2   2-4yy 1 2  +y 1 +y 2  2-2yy ①....................................................6分 1 2 x=ty- 2 由  x2-y2=1 可得t2-1  2 2t 1 y2-2 2ty+1=0，所以y +y = ，yy = .............................8分 1 2 t2-1 1 2 t2-1 π 1 3 3 当θ= 时，t= = ，可得y +y =- 6，yy =- ， 3 π 3 1 2 1 2 2 tan 3 代入①得：AF 1  +BF 1  -AB  =4- 13 ...............................................................................10分 (ii)记折叠后点O为坐标原点，原x轴正半轴为折叠后空间直角坐标系中x轴正方向，原y轴负半轴为折叠 后z轴正方向，过原点O向上垂直于平面xoz为y轴正方向， 可得F 1- 2,0,0  3y y ，Ax, 1, 1 1 2 2  ，Bx 2 ,0,-y 2  x=ty- 2   x2-y2=1 ，得(t2-1)y2-2 2ty+1=0 2 2t 1 ∴y +y = ,yy = ...............................................................................................12分 1 2 t2-1 1 2 t2-1 π π 根据双曲线的对称性，不妨设 <θ≤ 4 2 ∴t∈[0,1) ∴AB  = t2 y 1 +y 2   2-4yy 1 2  +y 1 +y 2  2-yy 1 2 2 2t = t2  t2-1   2 4  -  t2-1  2 2t + t2-1  2 1 4t4+11t2+1 - = t2-1 t2-1  ....................................................14分 2 令m=1-t2∈(0,1]，可得AB  4m2-19m+16 1 = = 16 m2 m  2 19 - +4 m 1 1 因为 ∈[1,+∞)，所以y=16 m m  2 19 - +4的范围为[1,+∞)， m 所以AB  4m2-19m+16 = ∈[1,+∞)................................................................................16分 m2 当且仅当t=0，即折叠前AB为通径的时候，折叠后AB的长度取最小值1 所以折叠后的线段AB长度的取值范围为[1,+∞).....................................................................17分 ·第4页，共4页·