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第五届思雨杯数学考试
命题人∶高齐锦
审题人∶高齐锦、Pie14
满分∶100分 时长∶240分钟
一、单选题(本大题共四小题，每题5分，共20分)
1.记A={y∈Z|y=3sin(πx/2)}，B={x∈Z|y=tan(πx/6)}，则A∩B=( ).
A.{-2,-1,0,1,2} B.{-3,-2,-1,0,1,2,3} C.{x|x=6k±1,k∈Z} D.{x|x=2k+1,k∈Z}
2.若P为正△ABC所在平面外一点，则“三棱锥P-ABC为正三棱锥”的充分不必要条件有(
).
A.PA=PB=PC B.△APB,△BPC,△CPA均为等腰三角形
C.∠APB=∠BPC=∠CPA D.△APB,△BPC△CPA均为直角三角形
3.复数z满足√5z+m＝| |i，当m∈R时| +1-3i|的最小值为( ).
A.√5 B.4√5/3 C.7√5/5 D.√10
4.从3,4,5,6,7中等可能地选3个不同的数作为△ABC边长,则2cosA∈Z的概率为( ).
A.1/27 B.1/15 C.2/27 D.2/15
二、多选题(本大题共三小题，每题6分，未选全得部分分，选错不得分，共18
分)
5.已知min{p(x),q(x)}= ，设f(x)=min{|lnx-1|,a-|x-a|}，且∀x
1
∈R，
∃x
2
≠x
1
使得f(x
1
)=f(x
2
)，若a＞0，则( ).
A.a=e²+l B.方程f(x)-e1-x=0有3个相异正根
C.∀m∈R，∃n满足f(m)=f(n)且mn≤e² D.若f'(x
0
)+1=0，则x
0
＞2e+1
6. 椭圆C:x2/(b2+1)+y2/b2=1左,右焦点分别为A,B，直线l:x-y+a=0与椭圆C相切于P点，
下列说法正确的有( ).
A.a>1 B.点(a,b)在曲线x²-2y²=1上
C.点P轨迹方程为x²-y²=1 D.若弦PQ⊥AB，则AP⊥BQ
7.连分数 可表示为[a;a,a,…]，如3.14=[3;7,7]，√2=[1;2,2,2,...]，已知
0 1 2
数列{a}满足(a +a)/a =[0;1,n,4n]，a2=a，下列说法不正确的有( ).
n 2n 1 2n+1 1 2
A.2√2=[2;4,4,4,...] B.(a +a )/a =4/5
1 2 3
C.a =n2 D.{a /(a -1)}前n项和为2n(n+1)/(2n+1)
n n n
三、填空题(本大题共三小题，每题5分，共15分)
8.在大量自然多位数据中，首位为k的概率p=lg(1+1/k)，若p=m，p=n，则p=
k 1 2 8
(用m,n表示).
9.正数a,b之和为7/4，(x2+a/x+b)5展开式中五次项与八次项系数之和最大为 .
10.A(-1,1,μ),B是曲面ε:x²+y²=z上两点，过点A作ε的切面α，若AB⊥α，则点B
坐标为 .
四、解答题(本大题共三小题，其中11.12.题15，13.题17分，共47分)
11.在△ABC中，a=3，S =4tan(A/2)；
△ABC
(1)若△ABC内切圆面积为π/3，求其外接圆面积；
(2)若|AB|AC+|AC|AD=0，求BC·BD的取值范围.12.小高同学寒假期间抛硬币决定是否休息，每次抛一枚且结果相互独立，正面朝上就继续
抛，反面朝上就休息，记小高同学在第X次抛掷后休息，已知硬币正反面朝上的概率近似
相等，当x∈(0,1)且n趋向于正无穷时，xⁿ近似为0；
(1)求随机变量X的分布列P(X=k)；
(2)求X的数学期望E(X)；
(3)多项科学实验表明，硬币落下时与抛出时初始面相同的概率约为51%，若小高同学每次
都以反面朝上抛出，求X的标准差σ(X).
13.已知f(x)=alnx+2/x，a＞0；
(1)设f(x)最小值为g(a)，求g(a)最大值；
(2)若a≥e；
①求证:e1-x＜f(x)≤xae2/x-1；
②记h(x)=(ex+2)(lnx-1)+e1-x，求h(a)最小值.第五届思雨杯数学考试评分细则
命题人∶高齐锦 审题人∶高齐锦、Pie14
满分∶100分 时长∶240分钟
一、单选题(本大题共四小题，每题5分，共20分)
1.记A={y∈Z|y=3sin(πx/2)}，B={x∈Z|y=tan(πx/6)}，则A∩B=(A).
A.{-2,-1,0,1,2} B.{-3,-2,-1,0,1,2,3} C.{x|x=6k±1,k∈Z} D.{x|x=2k+1,k∈Z}
由题得A={-3,-2,-1,0,1,2,3}，B={x|x≠6k+3,k∈Z}，故A∩B={-2,-1,0,1,2}.
2.若P为正△ABC所在平面外一点，则“三棱锥P-ABC为正三棱锥”的充分不必要条件有
(D).
A.PA=PB=PC B.△APB,△BPC,△CPA均为等腰三角形
C.∠APB=∠BPC=∠CPA D.△APB,△BPC△CPA均为直角三角形
A为充要条件，B,C为必要不充分条件，D为充分不必要条件.
3.复数z满足√5z+m＝| |i，当m∈R时| +1-3i|的最小值为(D).
A.√5 B.4√5/3 C.7√5/5 D.√10
设z=a+bi(a,b∈R)，则 =a-bi
由√5a+m+√5bi=√(a2+b2)i得√5a+m=0，√5b=√(a2+b2)＞0，可得a=±2b=-√5/5m(b＞
0)
向量法:如左图，在复平面内，复数 的向量表示OA=(a,-b)，
OB=(-1,3)，则点A位于b=-|a/2|上，| +1-3i|=|OA-OB|=|BA|
≥√10；
代数法:a=-√5/5m，b=±√5/10m，
| +1-3i|=|a+1+(±b-3)i|=√[(a+1)2+(±b-3)2]
=√(m2/5-2√5/5m+1+m2/20±3√5/5m+9)=√[m2/4+(±3-2)√5/5m+10]≥√10.
4.从3,4,5,6,7中等可能地选3个不同的数作为△ABC边长,则2cosA∈Z的概率为(C).
A.1/27 B.1/15 C.2/27 D.2/15
从5个不同数中等可能地选3个不同的数有C3=10种选法，由3,4,7不能作为△ABC边长可
5
得共有9种选法，由余弦定理得3,4,5带90º内角，3,5,7带120º内角，故存在内角满足
条件的概率为2/9，该内角为A的概率为1/3，即2/9×1/3=2/27.
二、多选题(本大题共三小题，每题6分，未选全得部分分，选错不得分，共18
分)
5.已知min{p(x),q(x)}= ，设f(x)=min{|lnx-1|,a-|x-a|}，且∀x
1
∈R，
∃x
2
≠x
1
使得f(x
1
)=f(x
2
)，若a＞0，则(BCD).
A.a=e²+l B.方程f(x)-e1-x=0有3个相异正根
C.∀m∈R，∃n满足f(m)=f(n)且mn≤e² D.若f'(x
0
)+1=0，则x
0
＞2e+1如上左图，由∀x
1
∈R，∃x
2
≠x
1
使得f(x
1
)=f(x
2
)可得图象y=|lnx-1|与y=a-|x-a|交于
(1,1),(e²,1)两点，解得a=(e²+1)/2，A错误；
如上右图，由函数y=1-lnx与y=e1-x互为反函数且与直线x+y-2=0相切可得图象y=f(x)与
y=e1-x有且仅有3个交点，B正确；
若f(m)=f(n)，不妨设1＜m＜e＜n＜e2，即1-lnm=lnn-1，可得mn=e2，其余情况易证，C
正确；
当x＝1,e,e2时f(x)不可导，由f'(x)=-1可得x＞e2＞2e+1，D正确.
0 0
6. 椭圆C:x2/(b2+1)+y2/b2=1左,右焦点分别为A,B，直线l:x-y+a=0与椭圆C相切于P点，
下列说法正确的有(BD).
A.a>1 B.点(a,b)在曲线x²-2y²=1上
C.点P轨迹方程为x²-y²=1 D.若弦PQ⊥AB，则AP⊥BQ
联立C,l得(2b2+1)x2+2a(b2+1)x+(a2-b2)(b2+1)=0，b≠0，
由C,l相切得△=0，即4a2(b2+1)2-4(2b2+1)(a2-b2)(b2+1)=0，
整理得a2=2b2+1＞0，A错误，B正确；
代入得P(-(a2+1)/2a,(a2-1)/2a)，
由|a|＞1得点P轨迹方程为x²-y²=1(xy＜0)，C错误；
如左图，由点P在曲线x²-y²=1上可得
k ·k =y/(x+1)·y/(x-1)=y2/(x2-1)=1
AP BP P P P P P P
故k ·k =-1，即AP⊥BQ，D正确.
AP BQ
7.连分数 可表示为[a;a,a,…]，如3.14=[3;7,7]，√2=[1;2,2,2,...]，已知
0 1 2
数列{a}满足(a +a)/a =[0;1,n,4n]，a2=a，下列说法不正确的有(ABC).
n 2n 1 2n+1 1 2
A.2√2=[2;4,4,4,...] B.(a +a )/a =4/5
1 2 3
C.a =n2 D.{a /(a -1)}前n项和为2n(n+1)/(2n+1)
n n n
2√2=[2;1,4,1,4,...]，A符合题意；
(a +a )/a =[0;1,1,4]=5/9，B符合题意；
1 2 3
由(a +a)/a =[0;1,n,4n]=(4n2+1)/(2n+1)2可得(a+a)/a =(n2+1)/(n+1)2，
2n 1 2n+1 n 1 n+1
即有2a/a=1/2，联立a2=a 解得a=4，a=16，
1 2 1 2 1 2
若a =4n2，由(a+a)/a =(n2+1)/(n+1)2可得a =4(n+1)2，故a =4n2，C符合题意；
n n 1 n+1 n+1 n
a /(a -1)=4n2/(4n2-1)=1+1/(2n+1)(2n-1)=1+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2，
n n
{a /(a -1)}前n项和为1+(1-1/3)/2+1+(1/3-1/5)/2+...+1+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
n n
=1+1+...+1+[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2=n+n/(2n+1)=2n(n+1)/(2n+1)，D不符合题
意.
三、填空题(本大题共三小题，每题5分，共15分)
8.在大量自然多位数据中，首位为k的概率p=lg(1+1/k)，若p=m，p=n，则p= 2n- m
k 1 2 8
(用m,n表示).p=lg(9/8)=lg(3/2×3/2÷2)=lg(3/2)+lg(3/2)-lg2=p+p-p=2n-m.
8 2 2 1
9.正数a,b之和为7/4，(x2+a/x+b)5展开式中五次项与八次项系数之和最大为 2 0 .
(x2+a/x+b)5展开式中五次项为20abx5，八次项为5bx8，
系数和20ab+5b=5b(4a+1)=5/4×4b(4a+1)≤5/4×(4b+4a+1)2/4=20.
10.A(-1,1,μ),B是曲面ε:x²+y²=z上两点，过点A作ε的切面α，若AB⊥α，则点B
坐标为(5/4,-5/4,25/8).
由题得A(-1,1,2)，取截面x+y=0交α于l与平面z=0夹角正切值为2√2，
则α法向量可取m=(2,-2,1)，由AB=λm可得
(x+1,y-1,z-2)=(2λ,-2λ,λ)，
B B B
联立x2+y2=z 解得B(5/4,-5/4,25/8).
B B B
四、解答题(本大题共三小题，其中11.12.题15，13.题17分，共47分)
11.在△ABC中，a=3，S =4tan(A/2)；
△ABC
(1)若△ABC内切圆面积为π/3，求其外接圆面积；
(2)若|AB|AC+|AC|AD=0，求BC·BD的取值范围.
(1)S=3π；(2)(-6,24).
R
(1)由4tan(A/2)=S =bcsin(A/2)cos(A/2)可得4=bccos2(A/2)(2分)
△ABC
由16-2bc=4bccos2(A/2)-2bc=2bccosA=b2+c2-a2可得(b+c)2=a2+16=25，解得b+c=5(4分，若直接
代入椭圆焦点三角形面积公式扣1分，多种方法解题按第一种给分)
由S=π/3可得r=√3/3，故4tan(A/2)=S =(a+b+c)r/2=4√3/3，解得A=π/3(6分)
r △ABC
由2R=a/sinA=2√3可得S=3π；(8分)
R
(2)由题得点D在CA延长线上且AD=AB=c，取CD中点为M
由CD=AC+AD=b+c=5可得BC·BD=BM2-25/4(12分)
由BM∈(a-5/2,a+5/2)得BC·BD∈(-6,24)(15分)
12.小高同学寒假期间抛硬币决定是否休息，每次抛一枚且结果相互独立，正面朝上就继续
抛，反面朝上就休息，记小高同学在第X次抛掷后休息，已知硬币正反面朝上的概率近似
相等，当x∈(0,1)且n趋向于正无穷时，xⁿ近似为0；
(1)求随机变量X的分布列P(X=k)；
(2)求X的数学期望E(X)；
(3)多项科学实验表明，硬币落下时与抛出时初始面相同的概率约为51%，若小高同学每次
都以反面朝上抛出，求X的标准差σ(X).
(1)P(X=k)=1/2k；(2)E(X)=2；(3)σ(X)=70/51.
(1)(3分)
(2)(7分)
(3)(15分)
13.已知f(x)=alnx+2/x，a＞0；
(1)设f(x)最小值为g(a)，求g(a)最大值；
(2)若a≥e；
①求证:e1-x＜f(x)≤xae2/x-1；
②记h(x)=(ex+2)(lnx-1)+e1-x，求h(a)最小值.
(1)2；(2)证明如下；(3)e1-e.
(1)由题得f'(x)=(ax-2)/x²，f'(2/a)=0(1分)
g(a)=f(2/a)=a(ln2-lna+1)(2分)
g'(a)=-lna+ln2，g'(2)=0(3分)
g(a)≤g(2)=2；(4分)(2)左边:由a≥e可得f(x)≥elnx+2/x(5分)
设p(x)=xe1-x，q(x)=exlnx+2，则p'(x)=(1-x)e1-x，q'(x)=elnx+e(7分)
由p'(1)=q'(1/e)=0可得p(x)≤p(1)=1，q(x)≥q(1/e)=1(8分)
故xe1-x≤1≤exlnx+2等号不能同时成立，即证e1-x＜elnx+2/x=f(x)(9分)
右边:设F(x)=ex-x-1，则F'(x)=ex-1，由F'(0)=0得F(x)≥F(0)=0(10分)
xae2/x-1-f(x)=ealnx+2/x-1-(alnx+2/x-1)-1=F(alnx+2/x-1)≥0，当且仅当alnx+2/x-1=0时取等
(11分，未说明取等条件扣1分)
故xae2/x-1≥f(x)，即证f(x)≤xae2/x-1；(12分)
(3)h'(x)=elnx+2/x-e1-x，由(2)得h'(x)＞0恒成立，即h(x)单调递增(15分，未证结论扣
1分)
故h(a)≥h(e)=e1-e.(17分)
