新八校2025-2026学年高三下学期开学考试数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_260301湖北省新八校2025-2026学年高三下学期开学考试（全科）

高三数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A B C D A B C BD ABC ABD 一、单选题 1 3 5  1.C[详解] A0,1,2,3,4,5 ,B ,1, ,2, ,3,AB1,2,3 . 2 2 2  2.A[详解] i2026 i1i，虚部为1 1 24 π  3.B[详解] (sincos)2  2sincos 0  π,  25 25  2   sincos2 12sincossincos2  49 又sin0,cos0 25 7 sincos 5      2  2  2  2    4.C[详解]当a,b,c的夹角均为120°时 abc a b c 2ab2ac2bc   2    abc 9abc 3          当a,b,c的夹角均为0时,abc 0abc 3或0 2 5.D[详解]  f(x)(a )cosx,aR 是奇函数，ycosx为偶函数 2x 1 2 2 2 g(x)a 为奇函数g(x)g(x)2a  02a20 a1 2x 1 2x 1 2x 1 6.A[详解] 分析题意可知直线l过定点M(3,1)，过圆心C作CH l 交直线l于点H CH ACB2ACH,ACB最小时,ACH也最小cosACH  即CH 最大 AC 1 2m1 3 即CM l，k  k 2 m CM 2 l m1 4 7.B[详解] 分析题意可知：ABBCCD2,BCD120BD2 3又BD2 AB2  AD2ABBD ABBC,BCBDB,BC平面BCD,BD平面BCDAB平面BCD 又AB平面ABC平面ABC  平面BCD 过点D作DM BC交BC的延长线于M，取AC的中点为O ,连接OM 1 1 OO h,则h2  OC 2  OM 2 (DM h)2解得h 3R  5,S 4R 2 20 1 1 1 球 表 球 1 8.C[详解]ex 1 1 2lnx 2  x 3 第 1 页 共 6 页1  令f(x)ex1,g(x)2lnx,h(x)x 2，即f(x )g(x )h(x ) 1 2 3 观察右侧图象可知，不可能为x x x 2 1 3 二．多选题 9.BD 10.ABC 11.ABD 9.BD[详解] A项：c0时不成立 B项： y x3为R上的增函数且aba3 b3 a b c(ab) a b C项：a0b时不成立 D项：    0  ca cb (ca)(cb) ca cb 10.ABC[详解] 1 4953 A项：8 2下四分位数为： 51 B项：相关系数r 0，表示变量没有线性相关关系 C 4 2   项： y 0.839628.95733.991残差 y -y 0.009 D项：分层抽样各层占比不清楚，所以系数 6 6 6 1 并不一定为 2 11.ABD[详解]如图所示，内切圆与PFF 三边的切点分别为A、B、C，延 1 2 长 PI 交 FF 于 Q ， 连 接 FI、F I . 对 于 A 选 项 ： 由 题 意 可 知 1 2 1 2 PAPB、FBFC、FC F A ，FCFC 2c,PF PF 2a ，可知 1 1 2 2 1 2 1 2 FC ac，IC FF ，所以内心I 的横坐标为a，故A正确；对于B选 1 1 2 项：PI与FPF 的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质可知直线PI 1 2 是双曲线在P点处的切线，故B正确；对于C：设Px ,y x a,y 0， 0 0 0 0 则有 PF ex a，PF ex a ，其中 e 为双曲线的离心率，设内切圆的半径为 r(r0) ，则有 1 0 2 0 1 1  x   x2  S PF 1 F 2  2 PF 1 PF 2 F 1 F 2 r  2 F 1 F 2 y 0 ，化简可得r  1 a 0    y 0 ，两边同时平方，代入y 0 2 b2  a 0 2 1   ， x a 化简可得r2 b2 0 b2 ，OI2 OC2 r2 a2 b2 c2 ，所以OI c，故C错误；对于D选项：GI //x x a 0 PI F P FP FP F P 2a 轴，由重心的性质可知可知 2，由题意及角平分线定理可知 2  1 2 1 2  ， IQ FQ FQ FQFQ FQFQ 2 1 1 2 1 2 PF 2 FF 2 PF2 则PF 2ca,PF 2ca ，在PFF 中，由余弦定理可知cosPF F  2 1 2 1 ,代入数据可得 2 1 1 2 2 1 2PF FF 2 1 2 c  2a e-2 1 3 1 3  1   cosPF F   = - ，因为e1，所以    1， ，所以PF F   ， ， 2 1 2c  a 2e-1 2 4e-2 2 4e2  2 2 1  3  故D正确. 三、填空题 2 22n2 8 12题： 1 13题： 14题：a 1；a  2n2 3 0 2 3 3 12.[详解] y' 2e2xby' 2eb 2e1b1 x0 13.[详解] 设 AF  x则BF 2x,在AFF，BFF 分别由余弦定理解得: 2 2 1 2 1 2 第 2 页 共 6 页2b2 b2 c 2 x  2a3c即e  2ac 2ac a 3 22n2 8 14. 【答案】a 1；a  2n2 0 2 3 3 [详解]令x0，易知a 1， 0 令 S 222 23...2n 2n12 ， 则 a  1  2S 222 S 22 23 S 23 ....2n S 2n 1  S2  222426...22n  1  S2 4 2 2n2  2 2   2   2  1 4  22n2 8 ，代入S化简可得a  2n2 . 2 3 3 四．解答题 15、（1）由题意可知acosC 3asinCbc0. ..............2分 由 正 弦 定 理 及 sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC 可 知 3sinAsinCsinCcosAsinC0 ，   1 C0,，sinC 0，则有 3sinAcosA1，即sinA   ， ............4分  6 2    A(0,)，A   A . ..........5分 6 6 3 （2）由（1）及余弦定理可知 b2 c2 bc4 ..........6分 b2 c2 4bc2bcbc4，当且仅当bc时，“”成立. ..........7分    D是BC的中点，AB AC 2AD ， ..........8分 两边平方可得b2 c2 bc4 AD 2， AD 2  1 b2 c2 bc  ..........10分 4 b2 c2 4bc AD 2  1 2bc43， ..........12分 4 所以AD的最大值为 3 . .........13分 16、（1）由题意可知AM PD，CD AD， ..........1分 侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCD AD，CD平面PAD， ..........3分 AM 平面PAD，CD AM ， 又CDPD D ,CD平面PCD,PD平面PCD， ..........5分 AM 平面PCD ..........6分 （2）如图，分别取 AD、BC 的中点O、G ，连接OA、OG、OP ，已知 OA、OG、OP两两垂直，则以O为坐标原点，OA、OG、OP为x、y、z 轴 建立空间直角坐标系   由题意可知P 0,0，3 ，A1,0,0，B1,2,0，  1 3    M ，0， ，AP 1,0, 3 ，    2 2    3 3    AM  ，0， ，PB 1,2, 3 ， ..........7分    2 2  第 3 页 共 6 页设  P  N    P  B    0,1  ，则  P  N    ,2, 3  ，  A  N    A  P    P  N  ，    所以AN  1,2, 3 3 ， ..........8分      设平面AMN 的法向量为n(x,y,z)，则 AM n0 ， ANn0 ，  3 3  x z0 代入数值可得 2 2 ，  (1)x2y 3(1)z0    不妨令x，则n ,1，3 ， ..........11分   OPn  6 由题意可知， OP 即为平面ABCD的法向量，则有    ， OP n 4 3 6   ， ..........13分 3 2 12 32 4 1 PN 1 解得 或1（舍去），所以  ..........15分 3 PB 3  3 17、（1）记3人中通过第一轮的人数为，由题意可知~ B3, , ..........1分  4 3 3 37 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件M ,则PM1P31C3    ..........3分 3 4 64 （2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为N、R、T ，通过第二轮的事件记为D，则由题意可知 PNPRPT 1 P  D N   3  2  1 ， 3 4 3 2 P  D R   3  2  1 ，P  DT   3  1  3 ， ..........5分 4 3 2 4 2 8 则PDPNDPRDPTDPNP  D N  PRP  D R  PTP  DT  .........7分 1 1 1 1 1 3 11 PD       ， ..........8分 3 2 3 2 3 8 24 （3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为A、B、C，则PA 3  2  1 ，P  A  1PA 1 ， 4 3 2 2 PB 3  2  1 ，P  B  1PB 1 ，PC 3  1  3 ，P  C  1PC 5 ， ..........9分 4 3 2 2 4 2 8 8 由 A、B、C 相 互 独 立 可 知 P0P  ABC   1  1  5  5 ， ..........10 分 2 2 8 32 P1P  ABC  P  ABC  P  ABC   1  1  3  1  1  5  1  1  5  13 ， ..........11 分 2 2 8 2 2 8 2 2 8 32 P2P  ABC  P  ABC  P  ABC   1  1  3  1  1  5  1  1  3  11 ， ..........12 分 2 2 8 2 2 8 2 2 8 32 1 1 3 3 P3PABC    . ..........13分 2 2 8 32 所以的分布列是 第 4 页 共 6 页 0 1 2 3 5 13 11 3 P 32 32 32 32 5 13 11 3 44 11 则的数学期望是E()0 1 2 3   . ..........15分 32 32 32 32 32 8 1 1  x1 18、（1）由 f(x)(x1)lnx，可知 f'(x)lnx 1,x  ,e  ， f''(x) ， .........1分 x e  x2 1  易知 f'(x)在  ,1  单调递减，在 1,e 上单调递增， ..........2分 e  1   f'(x)  f'(1)20，则 f(x)在  ,e  单调递增， ..........3分 min e  1 e+1 所以 f (x)  f  =- ， f x  f e=e+1. .........5分 min e e max （2）构造函数g(x) f(x)a(x1)(x1)lnxa(x1)  x 1, ， 1 g'xlnx 1a，g'12a，易知g(1)0，若g'12a0， x 则x 1,使得g(x)在 1,x 上单调递减，g(x ) g(1)0，与题意矛盾， ..........7分 0 0 0 则g'10，a2，此时g(x)(x1)lnxa(x1)(x1)lnx2(x1)， ..........8分 1 x1 令 h(x)(x1)lnx2(x1) ，只需证 h(x)0在 1, 恒成立即可. h'(x)lnx 1， h''(x) ， x x2   1,，h''(x)0恒成立，及h'(x)在 1,单调递增， ..........9分 h'(x)h'(1)0，h(x)在 1,单调递增，则h(x)h(1)0恒成立，即证， ..........10分 所以a的取值范围是，2  ..........11分 （3）由（2）可知x1lnx2x1在1，恒成立， 2x1 则有lnx 在1，恒成立， ..........12分 x1 n1  2 1 n1 n1  n  n1 2 令 x 1 ，则有 ln  ln  恒成立， ..........14 分 n n n1 n 2n 1 1 n n1 n2 n3 2n ln2ln ln ln ...ln ， ..........16 分 n n1 n2 2n1 n1 n2 n3 2n 2 2 2 2 ln ln ln ...ln   ...  ， n n1 n2 2n1 2n1 2n3 2(2n2)1 4n1 即证 i  2n1 2 ln2 ..........17分 2i1 in  p   p  19、（1）由题意可知F ,0，则P点的坐标为 ,2， ..........1分  2   2  第 5 页 共 6 页代入抛物线方程解得 p2或 p2（舍去），所以抛物线C的方程为 y2 4x. ..........3分 （2）（i）由题意可知直线PT 的方程为yx3，联立y2 4x可得y2 4y120，解得y 2,y 6， 1 2 所以P1,2，Q9，6，所以 PQ 8 2 . ..........4分 如图所示，由图象可知，对任意面积S，抛物线位于直线PQ右上方的部 分均存在2点使得M PQ、M PQ 的面积均为定值S ，则抛物线在直 2 3 线PQ的左下方部分存在唯一的一点M 满足条件，此时M 到直线PQ的 1 1 距离达到最大值，即在M 处的切线于直线PQ平行， ..........6分 1 1 当y0时，抛物线方程为y2 x ，y' 1， x 所以M (1,2)， ..........7分 1 1(2)3 则M 到直线PQ的距离为d  2 2 ， ..........8分 1 2 1 1 所以定值S  PQ d  2 28 216 ..........9分 2 2 （ii）PQ是APB的角平分线，所以T 点到直线PA、PB的距离相等，设该距离为定值r(r0).当PA的  斜率不存在时，由题意可知APT  ，易知此时r2，PB与x轴平行，不满足题意， ..........11分 4 所以r2，PA、PB的斜率均存在.设过P点的直线斜率为k，则过P点的直线可表示为kxyk20， 3k0k2   则有 r ， 4r2 k2 8k4r2 0，则有k k 1， ..........13分 k2 1 PA PB y  y 4 设A(x y )、Bx ,y ，则y2 4x ,y 2 4x ，两式相减可得k  1 2  ， 1, 1 2 2 1 1 2 2 AB x x y  y 1 2 1 2 利用点斜式方程可得l :4x(y  y )y y y 0， ..........14分 AB 1 2 1 2 4 4 由k k   1化简可得，122y  y  y y 0， ..........15分 PA PB y 2 y 2 1 2 1 2 1 2 结合l :4x(y  y )y y y 0，易知直线AB过定点G3，2 . ..........17分 AB 1 2 1 2 第 6 页 共 6 页