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昭通市 2025 届高中毕业生诊断性检测
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D C C A D
【解析】
1．由集合A得 ，所以 ，故选B．
2． ，故选A．
3．由 知 ，所以 ，故选B．
4．该组数据的中位数为 ，极差为15，故 ，则 ， ，则
第60百分位数为10，故选D．
5 ． 方 法 一 ： 整 理 为 ， 则
则直线恒过定点（3，1），而 ，定点在
圆内，则直线与圆必有2个交点，故选C．
方法二：联立直线与圆的方程，判别式大于0，故选C．
6 ． 经 分 析 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 由 题 意 又 因 为
， 则 或 若
，由零点存在性定理 若 ，而
， 由 零 点 存 在 性 定 理
综上所述，则C一定正确，故选C．
数学参考答案·第1页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司7．设 ，则 . 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，
上、下底面为正方形，如图1，在四边形 中，过点 作 于点 ，
，所以 ， 解得
图
.在平面 中，过点 作 于点 ， 则
，故选A．
8 ． ， 因 为 函 数 在 处 取 得 极 值 ， 所 以
，即 ，A错误； 的对称轴为 ，所以
是 的极小值点，B错误；因为 ，又因为 ，
所以 ，故 C 错误；因为 （当且仅当 即
时，取等号），即 ，所以D正确，故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
ACD
答案 ABD BD
【解析】
9．由题意得 ，由图象可得 又 ，所以 ，
由五点法可得 ，所以 . A：由以上解析可得
， ，故 A 正确；B：由以上解析可得 ，故 B 错误；C：
的 对 称 中 心 的 横 坐 标 为 ， 则 对 称 中 心 为
数学参考答案·第2页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司，令 C 正确；D：当 时，
，所以最小值为 ，故D正确，故选ACD．
10．对于A： ，故A正确；对于B：
，故 故当 时， ，故B正确；另解：由
A 选项可知 为椭圆的上焦点，则 (本题中 )，则
，故B正确；对于C：经分析当 轴时，PQ最短为3，故
C错误；对于D：
，则EF垂直平分AC，则EA=EC，FA=FC，经分析C，D为曲线
的上，下焦点，
，故D正确，故选ABD．
为奇函数，则 关于点 中心对称，则 ，
11．
又 因 为 ， 令 ， 则
故 则 关 于 直 线 轴 对 称 . 又 因 为
， 故 ，则 的周期为 8.
对于 A：则 ，又因为 在区间 上单调递增，则
故 A 错 误 ； 对 于 B ： 关 于 点 中 心 对 称 ， 则
， 而 在 上 也 单 调 递 增 ， 故 ， 则
， 故 B 正 确 ； 对 于 C ： 在 上 也 单 调 递 增 ，
故 C 错 误 ； 对 于 D ：
数学参考答案·第3页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司而 在 上也单调递增，则 ，D正确，故选
BD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 1
【解析】
12．数列 满足 为正整数），则数列 为等比数列，不妨设其公比为 ，则
，因为 与 的等差中项是20，所以 ，即 ，解得 ．
13． ，
14．在个、十、百、千、万位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗
上珠，所有的数有 （个）.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由余弦定理得 ，
则 ………………………………………（2分）
解得 ，则 ……………………………………（4分）
则 …………………………（6分）
（2） ……………………（7分）
又
数学参考答案·第4页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司解得
故 或 则 …………………………（9分）
由正弦定理得：
若 ，则 ，
故 ……………………………………（11分）
若 ，则
故 ……………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）若 ，则 ， ………………………（1分）
. ………………………………（2分）
令 ，可得 或 ；令 ，可得 ，
……………………………………（4分）
所以单调增区间为 和 ，单调减区间为 .
………………………………………（6分）
（2）因为对于任意 ，都有 成立，
所以对于任意 ，都有 成立， ………………………（7分）
即对于任意 ， . ……………………………………（8分）
因为 ，所以对于任意 ， .
……………………………………………………………（9分）
数学参考答案·第5页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司设 ，其中 ，则 ， ………………………（11分）
因为 ，所以 ，
当 时， . ……………………………………（13分）
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ……………………………………（14分）
所以 ，即 ，故 的取值范围为 .
…………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：如图2，取PC的中点M，连接FM，BM.
在 中，因为M，F分别为PC，PD的中点，………………………………（1分）
所以 ， .
在菱形ABCD中，因为 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形， ……………………………………（3分）
因此 . ……………………………………（4分）
又因为 ，
所以 . ……………………………………（6分）
（2）解：因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
在菱形ABCD中， ，
因为E为AB的中点，所以 .
建立如图2所示的空间直角坐标系 . ……………………………………（8分）
数学参考答案·第6页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司图2
在正三角形 中，
因为 ， ， ， ，
所以向量 ， . ………………………………（10分）
设平面EFC的法向量为 ，则 即
取 得 . ………………………………（12分）
设直线CD与平面EFC所成角为 ，
. ……………………………………（15分）
18. （本小题满分17分）
（1）解：①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在 内，
记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在 内.
从这 80 名学生中任取一人，这名学生的竞赛成绩在 内的概率为
………………………………（4分）
②解：用X表示这80名学生中抽取的学生的成绩在 的人数，
经分析 服从二项分布，
数学参考答案·第7页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司……………………………………（6分）
由 得 即
解得 ………………………………………（9分）
又因为 ，所以 .
即当 最大. ………………………………………（10分）
（2）证明：根据方差的定义，记男生的成绩为
记女生的成绩为 则总体的方差为
由
同理
………………………………………………（17分）
19. （本小题满分17分）
数学参考答案·第8页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司（1）解：因为 ，
联立 解得 或 (舍去)，则
……………………………………（2分）
已知 ，则 ……………………………………（4分）
（2）证明： 当 为偶数时，取连续 3 个反射点 ， ，
则直线 的方程为 ，与双曲线交于点 ，
联立 消去 得
由韦达定理得 两式相除，得 ，
可得 ，
故 ……………………………………（6分）
将 代入直线 的方程 ，得
所以双曲线与直线 的另一个交点为
……………………………………（7分）
数学参考答案·第9页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司同理，双曲线与直线 的另一个交点为
……………………………………（9分）
故 ，
即 ……………………………………（10分）
（3）当 为奇数时，点 在第二象限，设
则 (*).
由（2）小题的结论知
，即
所以， ，
可得 ， ，
两式相除，得 ，即 .
又因为 ，
故数列 是首项为27，公比为81的等比数列. …………………（14分）
可得 将此式代入前面（*），
得 ，
数学参考答案·第10页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司所以 （ 为奇数）. ……………………………………（17分）
数学参考答案·第11页（共10页）
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