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秘密★启用前
高三年级第一次诊断性测试
数学试题
本试卷共 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.设集合 则集合A∩B=
2
A.[1,3] B.[0,3] C.(0,3] D.[-1,3]
= ∣ −2 −3 ≤ 0 , = ∣ln ≥ 0 ,
2.在平面直角坐标系中，直线x=a(a∈R)与函数y=f(x)图象的交点个数为
A.0 B.1 C.0或1 D.无法确定
3.在复平面内，把复数 对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转π/3，则旋转后的向量对应的
复数为
3− 3
4.已知等差数列{an}的前n项和为 Sn，且满足 则
.−2 3 .3+ 3 .2 3 .−3+ 3
A.30 B.60 1 = 2 C , . 930 + 6 = 10, 15 = D.120
5.在 2025 年 10 月 19 日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往 A、
B、C 三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在
甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为
A. B. C. D.
1 1 2 5
6.6已知随机变量ξ～N(2,σ²),且2 P(ξ≤0)=P(ξ≥a), 则3当0率0为) 1 2 = , 2 1 = ,
7 2 4
, ∈ 02 ,cos = 10 ,tan + = 3,
2 2 2 3 5
二 、. 2多项选择题：本大题共 3 小. 题3 ，每小题 6 分，共 计. 418 分，每小题给出的 .四4个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.一组样本数据 x₁ ,x₂ ,x₃ ,……;xₙ , 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为 a₁ ,b
₁ ,c₁ ,d₁ ,由这组数据得到一组新样本数据 y₁ ，y₂ ，y₃ ，··，yₙ ，其中
其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为a₂ ，b₂ ，c₂ ，d₂ ， 则 = 2 +
2026 = 12⋯ ,
1 0. . 已2知 = 曲 2 线1 +2026 . 2 = 2 点1 P(a， b . ) 在2 = 曲 2 线 1C + 上 2 ， 02 则 6 下列结 . 论 2正 = 确 2 的 1是 +2026
2 2
A.曲线C有4条对称轴 B.|a+b+3|的最小值是
: + = ∣ ∣+∣ ∣,
C.曲线C围成的图形面积为π+2 的最大值是1 2
11.已知数列{an}满足 . −2则下列结论正确的是
1 ∗
A.数列{an}为递增数列 1 = 2, +1 = +sin ∈B .∃,n∈N*, an>3
∗ 1 2 ∗ 2
.∀ ∈ , +1 <−2 + .∀ ∈ , +1 ≤ 1− +2
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
13.写出一个满足下列条件的函数解析式 . ⋅ = _.
①f(-x)=f(x); ②∀x₁ ,x₂ ∈(0,+∞),且. 有
③ ∞ 且 有 1 ≠ 2, ④ f1(x−₁ · x2₂ ) =1f(−x₁ 2)f<(x0₂; ).
1 + 2 1+ 2
14.∀甲 1、, 乙2 ∈、丙0+三人每, 人 制1 ≠作 两2,张卡片，2 将卡>片 放在2同一; 个盒子中，每人不放回的随机抽取两
张，设至少取回一张自己的卡片的人数为 X，则P(X=1)+2P(X=2)= .
四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 向量
= , = 3cos sin ,
( 1=)若 − 求−A ;.
→ →
(2)若 求△ABC 的面积.
‖ ,
16.(15 分 ⊥) 如, 图=,2在, 三=棱3锥, P-ABC 中,平面PAB⊥平面ABC,AB=AC=AP =2,BP=2 ∠
2
E、F、G 分别为棱PA、PB、PC 上的点. 2 = 3 ,
(1)若EF∥AB,FG∥BC,证明: EG∥AC;
(2)若 E、F分别为棱 PA,PB 的中点,在棱 PC 上是否存在点 G,使得平面
EFG 与平面 ABC 所成角为π/6?若存在，求 的值；若不存在，请说明
理由.
17.(15分) 已知函数
2
3 +
(1)当a=0时, 求函数 f( x)在=(1, f(1) )处∈ 的,切线方程;
(2)若函数f(x)在x=0处取得极值,
(i)求a的值;
(ii)已知 若f(x)g(x)≤1在x∈(0,+∞)上恒成立, 求实数b的取值范围.
3 2
− + −5 +1
2
= 3 ,
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学科网（北京）股份有限公司18.(17 分)在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最
终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓
球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬
念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从 0 比 0 开局，率先净胜对手 2 分
的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过
程)中，甲得分的概率为 ，乙得分的概率为 .假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各
2 1
局胜负互不影响. 3 3
(1)在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率P 和经过4回合结果为平局的概率P；
1 2
(2)在某一局比赛中, 记“经过 n 个回合甲获胜”为事件 A , 分别求 P(A ),P(A ),P(A ),P(A )及
n 1 2 3 4
在该局比赛中甲获胜的概率；
(3)比赛结束时，双方共进行了 X局比赛，求X的分布列.
(附: 当0积0)为 .
20
(1)求双曲线Γ的标准方程； 9
(2)直线l经过点Q( ，5)，且与双曲线的右支交于M，N两
4
点，设△MNF₂ 的内心为3 点I，求证：点I在定直线上；
(3)从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲
线的另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质被广泛应用.
如图，由 F 发出的光线经双曲线Γ上一点 P (4，y₀ )(y₀ >0)反射后，反射光线的反向延长线经
2 0
过点F ，连接 P F 交双曲线于点P ，点P 也是一个反射点，连接 PF 交双曲线于点 P，则点P 也
1 0 1 1 1 1 2 2 2
是一个反射点，再连接 P F ，交双曲线于点 P ，则点 P 也是一个反射点，……，各反射点连线得
2 1 3 3
到折线 设第 n 个反射点为 P (xₙ , yn)(n=0,1,2,…),求证：数
n
列 0 1 − 1 2为−等 2比 3数−列 .3 4⋯⋯.
2 −1−2 ∗
2 −1+2 ∈
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