数学-黎曼杯赛2026年2月第二届“黎曼杯”高考模拟考试试卷(2月12日9点-11点15点-17点)_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年02月高三试卷

年 月第二届“黎曼杯”高考模拟 2026 2 数 学 出卷人：purpleguy（大章鱼）、搁浅、皇甫重光、expi（wpj）、寻忆、六月松 姓名：___________ qq号：___________ 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和qq号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷 类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需 改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是正确的）     1.若集合M  x x3 3 3 ，集合N  x 2x3 16 ，则M N          (A) x 0 x2 (B) x 2 x3 (C) x 2 x9 (D) x 0 x2 2.已知z 23i，则 z  (A)2 (B) 13 (C)13 (D)3 3.(3x2 5x2)4的展开式中x的系数为 (A)500 (B)224 (C)224 (D)160 1  π 1  π 4.已知 sinα  ，则sin2α  2  3 5  3 2 21 2 21 4 21 6 21 (A) (B) (C) (D) 25 25 25 25 5.已知等差数列 a 的前n项和为S ，若S S 420，则a 的值为 n n 25 4 15 (A)20 (B)15 (C)25 (D)30 x2 y2 6.在平面直角坐标系xOy中，已知A为椭圆  1(a b0)上一点，F 为其右焦点，延 a2 b2 第 1 页 共 6 页长AO，AF分别交椭圆于异于A的两点M，N，若MF  AN，且2NF  FA ，则该椭圆的离 心率为 5 3 2 3 (A) (B) (C) (D) 3 3 2 2 1 1 1 1 7.若x，y为正实数，xy 1，则min x ， y 和max  3x3，2y4 的乘积的最大值为 2 3 3 2 52 6 74 2 52 3 74 3 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3 8.某实验容器由五个仓组成，一个粒子初始位于1号仓中开始 做无规则随机运动，即从所在仓的通道口中随机选择一个到 达相邻仓或者容器外，但粒子到达容器外就会被外部装置所 捕获，此时实验结束.则实验结束时该粒子是从 1 号仓到达 容器外的概率为 141 142 (A) (B) 236 237 158 159 (C) (D) 213 214 二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0 分） 9.在正方体ABCD ABC D 中，AB 2，P，Q分别是AD，CD的中点，则下列说法正确的有 1 1 1 1 1 1 (A)PQ与BC不是异面直线 (B)AC 不与平面PQB 垂直 1 145 5 (C)sinPBQ  (D)三棱锥C PQB的体积为 15 1 3 10.下列结论正确的有 (A)数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的上四分位数为6 第 2 页 共 6 页 n  x x  y  y  i i (B)变量x和变量 y 的样本相关系数r  i1 ，则r 0时，变量x和  n  x x 2  n  y  y 2 i i i1 i1 变量y可能存在线性相关关系 2       3 (C)设A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A) ，P B P B A ，P AB  ，则 3 4   5 P ABAB  12 (D)随机变量X ~ N(4，8)，随机变量Y ~ N(9，16)，则X 的密度函数的极大值是Y 的密度函 数极大值的 2 倍 11.已知x，yR， f(x y) f(x y)2f(x)cosy，则下列说法正确的有 π 3π (A) f  f 恒成立 4  4  π 3 3 π 3 (B)若 f  ， f  ，则 f(x)的最大值为3 3 2 2 2 2026 (C)记 f (n)(x)为 f(x)的n阶导数，则 f (i)(x)0恒成立 i1  π  19π π 2026 2i1  (D)若 f  f ， f  3 ，则 f π3 20  20  6  3  i0 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分） 12.已知向量a，b满足 a  b 4且ab6，则b在a上的投影向量的模长为__________. 13.已知两定点A(1，0)，B(5，0)，点C在曲线2x2 8x y2 20上，若点A，B，C 能构成三角 形，且有一条垂直于x轴的直线同时过△ABC 的重心和内心，则△ABC 外接圆的半径为 __________. x2 1 14.记[x]表示不超过x的最大整数，则函数 f(x) 的值域为__________. 1 x[x]x 2x   x 第 3 页 共 6 页四、解答题（本大题共 5 小题，共计 77 分） 15.（本题满分13分） 3 已知在三角形ABC中，a2 b2 bc，sinB  . 5 （1）求sinC； 10 CD （2）若D在线段BC上，且sinBAD  ，求 . 10 BD 16.（本题满分15分） 如图，已知四边形ABCD（A，B，C，D四点逆时针排列）是平行四边形，AD 2AB 2， A60，记AD边上的中点为E.现将△ABE沿着BE翻折至△ABE ，连接AD，AC，且此 时AC 2. A （1）试判断CE与平面ABE的位置关系，并说明理由； （2）在线段 AC 上是否存在一点F ，使得平面FBE 与平面 BEDC 所成角的余弦值为 4 ？若存在，求出AF 的值；若不存在，请说明理由. 17 第 4 页 共 6 页17.（本题满分15分） 已知抛物线C: y2 2px(p 0)的焦点为F ，一条斜率存在的直线l过点F ，l与C交于 A，B两点，过A，B分别作C的切线l ，l ，记两条切线的交点为P，过线段AB的中点D作线 1 2 1 1 1 段AB的中垂线交x轴于点E，且   . AF BF 2 （1）求抛物线C的方程； （2）求证：四边形PFED是平行四边形； S （3）记PF 交y轴于点Q，△PBQ，△PAD 的面积分别为S ，S ，求 2 的取值范围. 1 2 S 1 18.（本题满分17分） 已知函数 f(x) xlnx，x0. （1）试求函数 f(x)的最小值； （2）给定函数g(x)ex，x0，设函数ρ(x) g(x) f(x)kx1.若函数ρ(x)有两个零点， 将其分别记为α，β . ①试求k的取值范围； 2 ②证明：k αlnβ . 2 第 5 页 共 6 页19.（本题满分17分） (a 1)(a 1) n2 数列 a 满足 n n2  ，且a 0，a 1. n (a 1)2 n1 1 2 n1 （1）求 a 的通项公式； n b （2）若b a 1，且n4时c b ，n4时c  n . n n n n n 6b n3 2 n1 n2 ①证明： lnb ln ln ； n n 2 3 ②记数列 c 的前n项和为S ，若λS  S 恒成立，求λ的取值范围. n n n 2n 恭喜您完成本卷全部题目！ 黎曼杯命题组全体成员谨在此向您致以诚挚谢意，感谢您为本届杯赛所作出的重要贡献！ 第 6 页 共 6 页原题： 1 1 1 1 7.若x，y为正实数，xy 1，则min x ， y 和max  3x3，2y4 的乘积的最大值为 2 3 3 2 52 6 74 2 52 3 74 3 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3 【答案】A 1 1 1 1 1 2 【解析】由于xy 1 y  ，故有 y   ，2y4 4 x 3 2 3x 2 x 2 1 1 1 1 2 2 我们发现，在当x 时， x   3x3 4，故我们以x 为分界点讨论： 3 2 3 3x 2 x 3  2 1 1 1 1 1 1 ①当x0，  时，min x ， y  x ，max  3x3，2y4 2y4，其乘积为  3 2 3 3 2 2 3 1 12   2  7 74 3  3  f (x) x  42x   当x 时取“” 1 2 3 x   3x 3 3   3   2  1 1 1 1 1 1 ②当x  ，时，min x ， y  y ，max  3x3，2y4 3x3，其乘积为 3  2 3 3 2 3 2  1 1 3x 1 5 52 6  6  f (x)  (3x3)    当x 时取“” 2 3x 2  2 x 2 2   3   52 6 74 3 52 6 而通过比较，发现  ，故所求最大值为 ，故选A. 2 3 2 （解析·搁浅）（原题·皇甫重光） 第 1 页 共 1 页已知 则下列说法正确的是（ ） 11. , x,y∈R,f(x+y)+f(x−y)= 2f(x)cosy A. （ ）恒成立 π 3π f(4)= f 4 B. 若 ， 则 的最大值为 π 3 3 π 3 f(3)= 2 f(2)= 2, f(x) 3 C. 记 为 的 阶导数，则 恒成立 (�) 2026 (�) � (�) f(x) n �=1 � (�) =0 D. 若 则 , 3 π 19π π 2026 2i+1 f(20)= f( 20 )f(6)= 3, i=0 f( 3 π)= 命题人：皇甫重光 解析：进行三组赋值① ② ③ π π π π x= 0,y= ξ x= 2+ξ,y= 2 x= 2,y= 2+ξ ① 则有 � � +� −� =2� 0 ② � �+� +� � =0 ③ � � �+� +� −� =−2� 2 sin� ① ② ③整理并解得 + − f x =mcosx+nsinx m,n ∈ R 回代原函数表达式有：左边=右边，该表达式成立。具体可自行检验，此处不再赘述。 下面开始分析选项： 故 恒成立错误， 选项错误 π 2 3π 2 π 3π A.f 4 = 2 m+n ,f 4 = 2 n−m f 4 =f 4 A � 1 3 3 3 解得 3 3 , � 3 =2�+ 2 � = 2 �= 2 B. � 3 3 � 2 =�= 2 �= 2 即 3 3 3 π f x = 2 cosx+2sinx=3sin x+3 ≤3 即 的最大值为 ，取最大时 ，B选项正确 π f x 3 x= 6+2kπ, k∈Z 1 � =−�sin�+�cos� 根据求导法则有 : 2 � =−�cos�−�sin� C. 3 � = �sin�−�cos� 4 � = �cos�+�sin� 我们不难发现该求导关系呈现一个周期为 的循环 4 则 等于 恒成立是错误的， 选项错误 2026 � �=1 � � = �−� cos�− �+� sin� 0 C 由选项给出的条件我们可以确定 D. f � =2 3sin� 现在我们引入等差角求和公式： � �+1 � sin �+2 sin 2 �=0sin �+� = sin 2则 2027� 2027� 选项正确 2026 2�+1 sin 3 sin 3 �=0 2 3sin 3 �=2 3 sin � 3 =3,� 故正确答案应为 BD 注： 的计算还可以使用周期性，此处不再赘述 D 试题评析：本题考察核心为三角函数的相关知识，并结合抽象函数，辅助角公式，求导法则， 等差角求和公式等全面考察对三角函数模块的掌握情况。命题思路源自 新课标一卷的 2025 ，力求发掘考生抽象思维和逻辑创新的潜能。笔者将本题放在 这个多选压轴的位置综 19 11 合考虑了得分率和难度系数的问题，如果不能正确求出 的表达式，实际上通过赋值法亦 f x 可锁定一些选项拿下部分分数，在正确求出 的表达式后，下面的问题就并不困难了，这 f x 一点笔者其实是参照了 新课标一卷 的考察方式。总体来说，本题源自高考又有一 2025 11 些创新突破，是一个非常不错的试题。(from 皇甫重光 ) 2026.1.2113.已知两定点 点 在曲线 上 若点 ， ， , 2 2 A −1,0 B 5,0 , C 2x −8x−y +2= 0 , A B C 能构成三角形，且有一条垂直 轴的直线同时过 的重心和内心，则 外接圆的 x ∆ABC ∆ABC 半径为多少_____________ . 命题人：皇甫重光 整理该曲线方程可得 易知 分别为两焦点 2 2 , �−2 � 3 − 6 =1 A,B 不妨将该图形向左平移两个单位作为标准双曲线解答 可得 ' ' � −3,0 ,� 3,0 则此时重心 在直线 上 ' � x= 3 则 = 即有 , ' ' ' xC 3xG =3 3 � 3 3,4 3 可得 , '' '' �� = 3 3+3,4 3 �� = 3 3−3,4 3 则 有 , ' ' ' 11 ' ' ' 4 3 cos∠��� =13 sin∠��� = 13 则 , 6 13 3 2R= 4 3 R= 4 132026 第二届黎曼杯填空 T14 解析（by 搁浅） 原题： x2 1 14.记[x]表示不超过x的最大整数，则函数 f(x) 的值域为__________. 1 x[x]x 2x   x 【解析】 1 x x 1 由于x0，故 f(x) ，注意到 f  f(x)，因此只需要研究 x 1的情形. 1 x [x] 2   x 1 x x 情形一 x1，设xkm，其中kN ，m[0，1)，k 2，则 f(x) ，其值域为  k1  1 1 k1 k    k1 ， k        1 1 ， k2 1     1， 5     2， 5   k2  k1 k1  k2  (k1)2 k2 k  3  2   1 情形二 x1，此时 f(1) . 2 1 x x 2 5 情形三 1 x2，此时 f(x) ，其值域为 ，. 3 3 6 1 x x 情形四 x2，设xkm，其中kN ，m[0，1)，k 2，则 f(x) ，其值域为  k2  1 1  k k1      k ， k1    k2 1 ， k2 2k2      5 ，1  k2 k2 k2   k2 k2 2k k2 3k2 8    1 5   5  5 综上所述，函数 f(x)的值域为  ，11， 2，  . 2 8   3  2 第 1 页 共 1 页已知在三角形ABC中 15. , 2 2 3 � =� +� , sin�=5 (1) 求 sin� (2) 若D在线段BC上且 求 , 10 � sin∠�� = 10 , � 命题人：皇甫重光 （1）：由 可得 ------------------------------------- 分 , 1 2 2 2 2 � =� +� sin� =sin� +sin�sin� 而 则有 ------------------------------------ 分 , 2 2 2 A+B+C= π sin� −sin� =sin�sin �+� 由正弦平方差可知 --------------------------------- 分 3 2 2 sin� −sin� =sin �+� sin �−� 而 ， 则有 , A+B ∈ 0 π sin �−� =sin� case 即 当舍去 1. , A−B+B= π A= π, case 即 成立-------------------------------------------- 分（有讨论过程合理即可） 2. , 5 A−B= B A= 2B 则 --------------------------------------------------------- 分 6 3 117 sin� =sin3�=3sin�−4푠� �= 125 （2）：不妨以 为原点建立平面直角坐标系作 , A DH⊥ AB 为简化运算可令 , BC= 40 由正弦定理知： 结合 , 40 �� sin�=sin� A= 2B 解得 ------------------------------------------------------------ 分 8 AC=25 令 则 DH= 3λ, BH= 4λ 而 则 可得 解得 ------------------ 分 , , 11 10 sin∠�� = 10 AH= 9λ 13λ=32+7= 39, λ=3 则 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 分 13 � 24−9 5 � = 9 =3 注：无正弦平方差说明不扣分第二问使用其它方法合理即可得分 ,已知抛物线 ： 的焦点为 ，一条斜率存在的直线 过点 ， 与 17. 2 C � =2푝 푝>0 F l F l C 交于 两点，过 ， 分别作 的切线 记两条切线的交点为 ，过线段 的中 , A,B A B C �1,�2 P AB 点 作线段 的中垂线交 轴于点 ，且 1 1 1 D AB x E 퐴 + 퐵 =2 （ ）求抛物线C的方程 1 . （ ）求证：四边形 为平行四边形 2 . PFED （ ）记 PF 交 轴于点 ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，求 3 �2 y Q PBQ �1 PAD �2 �1 的取值范围 . 命题人：皇甫重光 （1）记直线 的倾斜角为 由焦半径公式可知： , AB θ ---------------------------- 分 , 2 푝 푝 퐴 =1−cos� 퐵 =1+cos� 则有 可得 即 ： ---------------- 分 , 4 2 1 2 푝=2 p=4, C y =8x （2）设 , 2 2 A 8a ,8a B 8b ,8b 则 而 过点 , 1 8�� �퐴퐵:�= �+�+�+� �퐴퐵 F 2,0 代入得 -------------------------------------------------- 分 5 1 ab=−4 而 , 2 2 �1:8��=4 +8� �2:8��=4 +8� 联立 得 ， 则 成立------------------------------------------------------- 分 , , 7 �1 �2 P −2 4a+4b PD ∥FE 而 则 , 2 2 2 2 �퐷:�=− �+� +4 �+� � +� +1 E 4a +4b +4,0 即 综上所述四边形 为平行四边形成立------------- 分 9 2 2 푃퐷 = =4� +4� +2, PFED （ ）由于 的倾斜角为 且 ， ， --------------------------------------------- 分 3 10 π π �퐴퐵 θ, θ∈ 0 2 ∪ 2 π 则等面积转化后结合焦半径公式有： 而 ----- , �2 2+2cos� 2 �1 = 푠� 2 � =1−cos� cos�∈ −1,0 ∪ 0,1 ------------------------------------------------------------------------- 分（表达式 分，自变量范围 分） 13 2 1 则 ---------------------------------------------------------------- 分（每段各 分） 15 1 �2 �1 ∈ 1,2 ∪ 2,+∞数列 满足 且 = ， = 19. , 0 ��+1 ��+2+1 �+2 �� ��+1+1 2 =�+1 �1 �2 1 (1) 求 的通项公式 . �� (2) 若 = + 且 时 时 1, bn �� �� n<4 cn =bn,n≥ 4 cn =6bn−3 (i) 证明： �+1 �+2 2 �� 2 3 �푙� ≤푙� +푙� (ii) 记数列 的前 项和为 若 恒成立求 的取值范围 , , �� n Sn λSn ≥S2n λ 命题人：皇甫重光 （ ）移项使用累乘法可得 即 检验 成立 1 , ��+1= �! �� =�!−1, �1 =1!−1= 0 -------------------------------------------------------------------------------- 分（通项公式 分检验 分） 3 2 , 1 （ ）（i） 则原命题等价于证明： ----------------------------- 分 2 , � 4 2 �+1 �+2 �� = �! �! ≤ 6 而 � �--------------------------------------------------- 6 分 2 � �=1� �−�+1 �! =�=1� �−�+1 ≤ � � � 2 �------------------------------------------------------------------------------------- 7 分 �=1� �+1 −�=1� = � ��+12 ��+1 2�+1 � 等号取得条件： ------------------------- 分 2 − 6 �+1 �+2 � 8 = � = 6 , n= 1,2 综上原命题得证（无取等说明不扣分，其它方法如数学归纳法证明合理即得满分） , . （ii） 时 --------------------------------------------------------------- 分 , 9 n<4 �1 =1,�2 =2,�3 =6 时 熟知 ----------------------------------- 分 , 10 n! 3 � � �−1 n≥ 4 ,cn =6 n−3 ! =Cn ��+1 =��+�� 则 -------------------------------------------------- 分 11 4 4 � 3 4 �� =9−�4+�4+�=4�� =��+1+8 1,�=1 综上所述 3,�=2 �� = 9,�=3 4 ��+1+8,�≥4 先讨论 时的情况 , S2n λ≥ Sn n= 1,2,3 ① 时 S2 n= 1 ,S1 =3 ② 时 S4 13 n= 2 ,S2 = 3 ③ 时 ------------------------------------------------------------- 分（体现该意思即可） 12 S6 43 n= 3 ,S3 = 9④ 时 4 S2n C2n+1+8 n≥4 , Sn = Cn 4 +1+8 =Tn 则 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 --------- �2�+1+8 �2�+3+8 �2�+1��+2+8 �2�+1+��+2 −�2�+3��+1−8 �2�+3+��+1 ��−��+1 = 4 − 4 = 4 4 ��+1+8 ��+2+8 ��+1+8 ��+2+8 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 分 13 不难发现分母部分是大于 成立的 现在我们仅需考虑分子部分 即可 0 , Kn ------------------------------------------ 分 2 15 � � −1 4�+6 �� = 72 �(2�+1) �+4 −288 5+� 2 −1 不难发现 较大时 有十分明显的递增趋势 且存在 使得 ，则 的最大 n Kn , n0 ∈ 7,8 �� =0 �� 值存在于 之间 �7,�8 代入数值进行检验可得 1373 1194 �7 = 78 ,�8 = 67 再综合上述①②③比较大小即可得 max --------------------------------------------- 分 16 1194 �� =T8 = 67 即 〔 ）-------------------------------------------------------------------------------------------- 分 17 1194 λ∈ 67 ,+∞ 试题评析：本题创新地结合了数列，组合数和不等式的相关知识，着重考察了通过累乘法拆 解数列的递推公式来求通项，n元均值不等式，人教选必三课后知识拓展中的经典组合数公 式的运用以及分类讨论思想，兼具思维和计算量。其中，最后一问是体现区分度的关键，笔 者也给到了分值的最高权重，要想完美解决这个问题，不仅需要的是缜密的逻辑思维能力和 全面的分类讨论思想，在计算方面更是需要进行探索优化。比如想要通过求导来暴力拆解的 话，那带来的计算量一定是奇大的，这也是不可取的。所以笔者选择采用最经典的作差法来 比较大小，通过逐层抽丝剥茧和细致的运算后得出 的表达式后这个问题就有了眉目了， �� 之后的单调性判断和零点的寻找也是课内要求必备的能力之一。这道题注重对代数恒等变形 和计算能力的检验，贴合 年新课标一卷的考察的核心要点之一，同时一定的难度体现 2025 了高考数学压轴题选拔人才的功能。最后祝愿所以参加黎曼杯的考生都能取得佳绩！ from 皇甫重光 2025.1.25