数学-黎曼杯赛2026年2月第二届“黎曼杯”高考模拟考试试卷(2月12日9点-11点15点-17点)_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年02月高三试卷

年 月第二届“黎曼杯”高考模拟
2026 2
数 学
出卷人：purpleguy（大章鱼）、搁浅、皇甫重光、expi（wpj）、寻忆、六月松
姓名：___________ qq号：___________
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和qq号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷
类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡
皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需
改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是正确的）
 
 
1.若集合M  x x3 3 3 ，集合N  x 2x3 16 ，则M N 
       
(A) x 0 x2 (B) x 2 x3 (C) x 2 x9 (D) x 0 x2
2.已知z 23i，则 z 
(A)2 (B) 13 (C)13 (D)3
3.(3x2 5x2)4的展开式中x的系数为
(A)500 (B)224 (C)224 (D)160
1  π 1  π
4.已知 sinα  ，则sin2α 
2  3 5  3
2 21 2 21 4 21 6 21
(A) (B) (C) (D)
25 25 25 25
5.已知等差数列 a 的前n项和为S ，若S S 420，则a 的值为
n n 25 4 15
(A)20 (B)15 (C)25 (D)30
x2 y2
6.在平面直角坐标系xOy中，已知A为椭圆  1(a b0)上一点，F 为其右焦点，延
a2 b2
第 1 页 共 6 页长AO，AF分别交椭圆于异于A的两点M，N，若MF  AN，且2NF  FA ，则该椭圆的离
心率为
5 3 2 3
(A) (B) (C) (D)
3 3 2 2
1 1 1 1
7.若x，y为正实数，xy 1，则min x ， y 和max  3x3，2y4 的乘积的最大值为
2 3 3 2
52 6 74 2 52 3 74 3
(A) (B) (C) (D)
2 3 2 3
8.某实验容器由五个仓组成，一个粒子初始位于1号仓中开始
做无规则随机运动，即从所在仓的通道口中随机选择一个到
达相邻仓或者容器外，但粒子到达容器外就会被外部装置所
捕获，此时实验结束.则实验结束时该粒子是从 1 号仓到达
容器外的概率为
141 142
(A) (B)
236 237
158 159
(C) (D)
213 214
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0 分）
9.在正方体ABCD ABC D 中，AB 2，P，Q分别是AD，CD的中点，则下列说法正确的有
1 1 1 1 1 1
(A)PQ与BC不是异面直线 (B)AC 不与平面PQB 垂直
1
145 5
(C)sinPBQ  (D)三棱锥C PQB的体积为
15 1 3
10.下列结论正确的有
(A)数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的上四分位数为6
第 2 页 共 6 页 n  x x  y  y 
i i
(B)变量x和变量 y 的样本相关系数r  i1 ，则r 0时，变量x和
 n  x x 2  n  y  y 2
i i
i1 i1
变量y可能存在线性相关关系
2       3
(C)设A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A) ，P B P B A ，P AB  ，则
3 4
  5
P ABAB 
12
(D)随机变量X ~ N(4，8)，随机变量Y ~ N(9，16)，则X 的密度函数的极大值是Y 的密度函
数极大值的 2 倍
11.已知x，yR， f(x y) f(x y)2f(x)cosy，则下列说法正确的有
π 3π
(A) f  f 恒成立
4  4 
π 3 3 π 3
(B)若 f  ， f  ，则 f(x)的最大值为3
3 2 2 2
2026
(C)记 f (n)(x)为 f(x)的n阶导数，则 f (i)(x)0恒成立
i1
 π  19π π 2026 2i1 
(D)若 f  f ， f  3 ，则 f π3
20  20  6  3 
i0
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分）
12.已知向量a，b满足 a  b 4且ab6，则b在a上的投影向量的模长为__________.
13.已知两定点A(1，0)，B(5，0)，点C在曲线2x2 8x y2 20上，若点A，B，C 能构成三角
形，且有一条垂直于x轴的直线同时过△ABC 的重心和内心，则△ABC 外接圆的半径为
__________.
x2 1
14.记[x]表示不超过x的最大整数，则函数 f(x) 的值域为__________.
1
x[x]x 2x
 
x
第 3 页 共 6 页四、解答题（本大题共 5 小题，共计 77 分）
15.（本题满分13分）
3
已知在三角形ABC中，a2 b2 bc，sinB  .
5
（1）求sinC；
10 CD
（2）若D在线段BC上，且sinBAD  ，求 .
10 BD
16.（本题满分15分）
如图，已知四边形ABCD（A，B，C，D四点逆时针排列）是平行四边形，AD 2AB 2，
A60，记AD边上的中点为E.现将△ABE沿着BE翻折至△ABE ，连接AD，AC，且此
时AC 2.
A
（1）试判断CE与平面ABE的位置关系，并说明理由；
（2）在线段 AC 上是否存在一点F ，使得平面FBE 与平面 BEDC 所成角的余弦值为
4
？若存在，求出AF 的值；若不存在，请说明理由.
17
第 4 页 共 6 页17.（本题满分15分）
已知抛物线C: y2 2px(p 0)的焦点为F ，一条斜率存在的直线l过点F ，l与C交于
A，B两点，过A，B分别作C的切线l ，l ，记两条切线的交点为P，过线段AB的中点D作线
1 2
1 1 1
段AB的中垂线交x轴于点E，且   .
AF BF 2
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：四边形PFED是平行四边形；
S
（3）记PF 交y轴于点Q，△PBQ，△PAD 的面积分别为S ，S ，求 2 的取值范围.
1 2 S
1
18.（本题满分17分）
已知函数 f(x) xlnx，x0.
（1）试求函数 f(x)的最小值；
（2）给定函数g(x)ex，x0，设函数ρ(x) g(x) f(x)kx1.若函数ρ(x)有两个零点，
将其分别记为α，β .
①试求k的取值范围；
2
②证明：k αlnβ .
2
第 5 页 共 6 页19.（本题满分17分）
(a 1)(a 1) n2
数列 a 满足 n n2  ，且a 0，a 1.
n (a 1)2 n1 1 2
n1
（1）求
a
的通项公式；
n
b
（2）若b a 1，且n4时c b ，n4时c  n .
n n n n n 6b
n3
2 n1 n2
①证明： lnb ln ln ；
n n 2 3
②记数列 c 的前n项和为S ，若λS  S 恒成立，求λ的取值范围.
n n n 2n
恭喜您完成本卷全部题目！
黎曼杯命题组全体成员谨在此向您致以诚挚谢意，感谢您为本届杯赛所作出的重要贡献！
第 6 页 共 6 页原题：
1 1 1 1
7.若x，y为正实数，xy 1，则min x ， y 和max  3x3，2y4 的乘积的最大值为
2 3 3 2
52 6 74 2 52 3 74 3
(A) (B) (C) (D)
2 3 2 3
【答案】A
1 1 1 1 1 2
【解析】由于xy 1 y  ，故有 y   ，2y4 4
x 3 2 3x 2 x
2 1 1 1 1 2 2
我们发现，在当x 时， x   3x3 4，故我们以x 为分界点讨论：
3 2 3 3x 2 x 3
 2 1 1 1 1 1 1
①当x0，

时，min x ， y  x ，max  3x3，2y4 2y4，其乘积为
 3 2 3 3 2 2 3
1 12   2  7 74 3  3 
f (x) x  42x   当x 时取“”
1 2 3 x   3x 3 3   3  
2  1 1 1 1 1 1
②当x

，时，min x ， y  y ，max  3x3，2y4 3x3，其乘积为
3  2 3 3 2 3 2
 1 1 3x 1 5 52 6  6 
f (x)  (3x3)    当x 时取“”
2 3x 2  2 x 2 2   3  
52 6 74 3 52 6
而通过比较，发现  ，故所求最大值为 ，故选A.
2 3 2
（解析·搁浅）（原题·皇甫重光）
第 1 页 共 1 页已知 则下列说法正确的是（ ）
11. ,
x,y∈R,f(x+y)+f(x−y)= 2f(x)cosy
A. （ ）恒成立
π 3π
f(4)= f 4
B. 若 ， 则 的最大值为
π 3 3 π 3
f(3)= 2 f(2)= 2, f(x) 3
C. 记 为 的 阶导数，则 恒成立
(�) 2026 (�)
� (�) f(x) n �=1 � (�) =0
D. 若 则
, 3
π 19π π 2026 2i+1
f(20)= f( 20 )f(6)= 3, i=0 f( 3 π)=
命题人：皇甫重光
解析：进行三组赋值① ② ③
π π π π
x= 0,y= ξ x= 2+ξ,y= 2 x= 2,y= 2+ξ
①
则有 � � +� −� =2� 0 ②
� �+� +� � =0 ③
�
� �+� +� −� =−2� 2 sin�
① ② ③整理并解得
+ − f x =mcosx+nsinx m,n ∈ R
回代原函数表达式有：左边=右边，该表达式成立。具体可自行检验，此处不再赘述。
下面开始分析选项：
故 恒成立错误， 选项错误
π 2 3π 2 π 3π
A.f 4 = 2 m+n ,f 4 = 2 n−m f 4 =f 4 A
� 1 3 3 3 解得 3 3
,
� 3 =2�+ 2 � = 2 �= 2
B. � 3 3
� 2 =�= 2 �= 2
即
3 3 3 π
f x = 2 cosx+2sinx=3sin x+3 ≤3
即 的最大值为 ，取最大时 ，B选项正确
π
f x 3 x= 6+2kπ, k∈Z
1
� =−�sin�+�cos�
根据求导法则有
: 2
� =−�cos�−�sin�
C. 3
� = �sin�−�cos�
4
� = �cos�+�sin�
我们不难发现该求导关系呈现一个周期为 的循环
4
则 等于 恒成立是错误的， 选项错误
2026 �
�=1 � � = �−� cos�− �+� sin� 0 C
由选项给出的条件我们可以确定
D. f � =2 3sin�
现在我们引入等差角求和公式： � �+1
� sin �+2 sin 2 
�=0sin �+� =
sin

2则 2027� 2027� 选项正确
2026 2�+1 sin 3 sin 3
�=0 2 3sin 3 �=2 3 sin � 3 =3,�
故正确答案应为
BD
注： 的计算还可以使用周期性，此处不再赘述
D
试题评析：本题考察核心为三角函数的相关知识，并结合抽象函数，辅助角公式，求导法则，
等差角求和公式等全面考察对三角函数模块的掌握情况。命题思路源自 新课标一卷的
2025
，力求发掘考生抽象思维和逻辑创新的潜能。笔者将本题放在 这个多选压轴的位置综
19 11
合考虑了得分率和难度系数的问题，如果不能正确求出 的表达式，实际上通过赋值法亦
f x
可锁定一些选项拿下部分分数，在正确求出 的表达式后，下面的问题就并不困难了，这
f x
一点笔者其实是参照了 新课标一卷 的考察方式。总体来说，本题源自高考又有一
2025 11
些创新突破，是一个非常不错的试题。(from 皇甫重光 )
2026.1.2113.已知两定点 点 在曲线 上 若点 ， ，
,
2 2
A −1,0 B 5,0 , C 2x −8x−y +2= 0 , A B C
能构成三角形，且有一条垂直 轴的直线同时过 的重心和内心，则 外接圆的
x ∆ABC ∆ABC
半径为多少_____________
.
命题人：皇甫重光
整理该曲线方程可得 易知 分别为两焦点
2 2 ,
�−2 �
3 − 6 =1 A,B
不妨将该图形向左平移两个单位作为标准双曲线解答
可得
' '
� −3,0 ,� 3,0
则此时重心 在直线 上
'
� x= 3
则 = 即有
,
' ' '
xC 3xG =3 3 � 3 3,4 3
可得
,
'' ''
�� = 3 3+3,4 3 �� = 3 3−3,4 3
则 有
,
' ' ' 11 ' ' ' 4 3
cos∠��� =13 sin∠��� = 13
则
,
6 13 3
2R= 4 3 R= 4
132026 第二届黎曼杯填空 T14 解析（by 搁浅）
原题：
x2 1
14.记[x]表示不超过x的最大整数，则函数 f(x) 的值域为__________.
1
x[x]x 2x
 
x
【解析】
1
x
x 1
由于x0，故 f(x) ，注意到 f  f(x)，因此只需要研究 x 1的情形.
1 x
[x] 2
 
x
1
x
x
情形一 x1，设xkm，其中kN ，m[0，1)，k 2，则 f(x) ，其值域为
 k1
 1 1
k1 k
   k1 ， k        1 1 ， k2 1     1， 5     2， 5  
k2  k1 k1  k2  (k1)2 k2 k  3  2
 
1
情形二 x1，此时 f(1) .
2
1
x
x
2 5
情形三 1 x2，此时 f(x) ，其值域为 ，.
3 3 6
1
x
x
情形四 x2，设xkm，其中kN ，m[0，1)，k 2，则 f(x) ，其值域为
 k2
 1 1 
k k1 



 k
，
k1 

 k2 1
，
k2 2k2
 

 
5
，1

k2
k2 k2


k2
k2 2k k2 3k2 8 
 
1 5   5  5
综上所述，函数 f(x)的值域为  ，11， 2，  .
2 8   3  2
第 1 页 共 1 页已知在三角形ABC中
15. ,
2 2 3
� =� +� , sin�=5
(1) 求
sin�
(2) 若D在线段BC上且 求
,
10 �
sin∠�� = 10 , �
命题人：皇甫重光
（1）：由 可得 ------------------------------------- 分
, 1
2 2 2 2
� =� +� sin� =sin� +sin�sin�
而 则有 ------------------------------------ 分
, 2
2 2
A+B+C= π sin� −sin� =sin�sin �+�
由正弦平方差可知 --------------------------------- 分
3
2 2
sin� −sin� =sin �+� sin �−�
而 ， 则有
,
A+B ∈ 0 π sin �−� =sin�
case 即 当舍去
1. ,
A−B+B= π A= π,
case 即 成立-------------------------------------------- 分（有讨论过程合理即可）
2. , 5
A−B= B A= 2B
则 --------------------------------------------------------- 分
6
3 117
sin� =sin3�=3sin�−4푠� �= 125
（2）：不妨以 为原点建立平面直角坐标系作
,
A DH⊥ AB
为简化运算可令
,
BC= 40
由正弦定理知： 结合
,
40 ��
sin�=sin� A= 2B
解得 ------------------------------------------------------------ 分
8
AC=25
令 则
DH= 3λ, BH= 4λ
而 则 可得 解得 ------------------ 分
, , 11
10
sin∠�� = 10 AH= 9λ 13λ=32+7= 39, λ=3
则 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 分
13
� 24−9 5
� = 9 =3
注：无正弦平方差说明不扣分第二问使用其它方法合理即可得分
,已知抛物线 ： 的焦点为 ，一条斜率存在的直线 过点 ， 与
17.
2
C � =2푝 푝>0 F l F l C
交于 两点，过 ， 分别作 的切线 记两条切线的交点为 ，过线段 的中
,
A,B A B C �1,�2 P AB
点 作线段 的中垂线交 轴于点 ，且
1 1 1
D AB x E 퐴 + 퐵 =2
（ ）求抛物线C的方程
1 .
（ ）求证：四边形 为平行四边形
2 .
PFED
（ ）记 PF 交 轴于点 ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，求
3
�2
y Q PBQ �1 PAD �2 �1
的取值范围
.
命题人：皇甫重光
（1）记直线 的倾斜角为 由焦半径公式可知：
,
AB θ
---------------------------- 分
, 2
푝 푝
퐴 =1−cos� 퐵 =1+cos�
则有 可得 即 ： ---------------- 分
, 4
2 1 2
푝=2 p=4, C y =8x
（2）设
,
2 2
A 8a ,8a B 8b ,8b
则 而 过点
,
1 8��
�퐴퐵:�= �+�+�+� �퐴퐵 F 2,0
代入得 -------------------------------------------------- 分
5
1
ab=−4
而
,
2 2
�1:8��=4 +8� �2:8��=4 +8�
联立 得 ， 则 成立------------------------------------------------------- 分
, , 7
�1 �2 P −2 4a+4b PD ∥FE
而 则
,
2 2 2 2
�퐷:�=− �+� +4 �+� � +� +1 E 4a +4b +4,0
即 综上所述四边形 为平行四边形成立------------- 分
9
2 2
푃퐷 =  =4� +4� +2, PFED
（ ）由于 的倾斜角为 且 ， ， --------------------------------------------- 分
3 10
π π
�퐴퐵 θ, θ∈ 0 2 ∪ 2 π
则等面积转化后结合焦半径公式有： 而 -----
,
�2 2+2cos� 2
�1 = 푠� 2 � =1−cos� cos�∈ −1,0 ∪ 0,1
------------------------------------------------------------------------- 分（表达式 分，自变量范围 分）
13 2 1
则 ---------------------------------------------------------------- 分（每段各 分）
15 1
�2
�1 ∈ 1,2 ∪ 2,+∞数列 满足 且 = ， =
19. , 0
��+1 ��+2+1 �+2
�� ��+1+1 2 =�+1 �1 �2 1
(1) 求 的通项公式
.
��
(2) 若 = + 且 时 时
1,
bn
�� �� n<4 cn =bn,n≥ 4 cn =6bn−3
(i) 证明：
�+1 �+2
2 �� 2 3
�푙� ≤푙� +푙�
(ii) 记数列 的前 项和为 若 恒成立求 的取值范围
, ,
�� n Sn λSn ≥S2n λ
命题人：皇甫重光
（ ）移项使用累乘法可得 即 检验 成立
1 ,
��+1= �! �� =�!−1, �1 =1!−1= 0
-------------------------------------------------------------------------------- 分（通项公式 分检验 分）
3 2 , 1
（ ）（i） 则原命题等价于证明： ----------------------------- 分
2 , � 4
2 �+1 �+2
�� = �! �! ≤ 6
而 � �--------------------------------------------------- 6 分
2 � �=1� �−�+1
�! =�=1� �−�+1 ≤ �
� � 2 �------------------------------------------------------------------------------------- 7 分
�=1� �+1 −�=1�
= �
��+12 ��+1 2�+1 � 等号取得条件： ------------------------- 分
2 − 6 �+1 �+2 � 8
= � = 6 , n= 1,2
综上原命题得证（无取等说明不扣分，其它方法如数学归纳法证明合理即得满分）
, .
（ii） 时 --------------------------------------------------------------- 分
, 9
n<4 �1 =1,�2 =2,�3 =6
时 熟知 ----------------------------------- 分
, 10
n! 3 � � �−1
n≥ 4 ,cn =6 n−3 ! =Cn ��+1 =��+��
则 -------------------------------------------------- 分
11
4 4 � 3 4
�� =9−�4+�4+�=4�� =��+1+8
1,�=1
综上所述
3,�=2
�� =
9,�=3
4
��+1+8,�≥4
先讨论 时的情况
,
S2n
λ≥ Sn n= 1,2,3
① 时
S2
n= 1 ,S1 =3
② 时
S4 13
n= 2 ,S2 = 3
③ 时 ------------------------------------------------------------- 分（体现该意思即可）
12
S6 43
n= 3 ,S3 = 9④ 时 4
S2n C2n+1+8
n≥4 , Sn = Cn 4 +1+8 =Tn
则
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ---------
�2�+1+8 �2�+3+8 �2�+1��+2+8 �2�+1+��+2 −�2�+3��+1−8 �2�+3+��+1
��−��+1 = 4 − 4 = 4 4
��+1+8 ��+2+8 ��+1+8 ��+2+8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 分
13
不难发现分母部分是大于 成立的 现在我们仅需考虑分子部分 即可
0 , Kn
------------------------------------------ 分
2 15
� � −1 4�+6
�� = 72 �(2�+1) �+4 −288 5+� 2 −1
不难发现 较大时 有十分明显的递增趋势 且存在 使得 ，则 的最大
n Kn , n0 ∈ 7,8 �� =0 ��
值存在于 之间
�7,�8
代入数值进行检验可得
1373 1194
�7 = 78 ,�8 = 67
再综合上述①②③比较大小即可得 max --------------------------------------------- 分
16
1194
�� =T8 = 67
即 〔 ）-------------------------------------------------------------------------------------------- 分
17
1194
λ∈ 67 ,+∞
试题评析：本题创新地结合了数列，组合数和不等式的相关知识，着重考察了通过累乘法拆
解数列的递推公式来求通项，n元均值不等式，人教选必三课后知识拓展中的经典组合数公
式的运用以及分类讨论思想，兼具思维和计算量。其中，最后一问是体现区分度的关键，笔
者也给到了分值的最高权重，要想完美解决这个问题，不仅需要的是缜密的逻辑思维能力和
全面的分类讨论思想，在计算方面更是需要进行探索优化。比如想要通过求导来暴力拆解的
话，那带来的计算量一定是奇大的，这也是不可取的。所以笔者选择采用最经典的作差法来
比较大小，通过逐层抽丝剥茧和细致的运算后得出 的表达式后这个问题就有了眉目了，
��
之后的单调性判断和零点的寻找也是课内要求必备的能力之一。这道题注重对代数恒等变形
和计算能力的检验，贴合 年新课标一卷的考察的核心要点之一，同时一定的难度体现
2025
了高考数学压轴题选拔人才的功能。最后祝愿所以参加黎曼杯的考生都能取得佳绩！
from 皇甫重光
2025.1.25