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宜宾市普通高中 2023 级第二次诊断性测试
数学答案解析
只有一项是符合题目要求的． ， 本题共 ： 每小题 选择题 ， 共 在每小题给出的四个选项中 、 ， ， 一 8小题 5分 40分
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D B C D A B
】 详解 【 1． A=x-20，即fn+1 >fn ，故数列 fn 单调递增，故B错误；
对于C，函数fx 满足∀x、y∈（0，+∞），都有fx+y =2fx fy
t
，令x=y= ，
2
t
则2 f
2
2
=ft ≥0，即ft
t
≥0，则f
2
1
= ft
2
，
x +x 所以，f 1 2 2 1 = 2 fx 1 +x 2 = fx 1 fx 2 ≤ fx 1 +fx 2 2 ，当且仅当fx 1 =fx 2 时，等号成立，
故C正确；
1-2n
对于D，T =21+22+⋯+2n-1= =2n-1,故D正确.故选：ACD．
n 1-2
11．【详解】如图，延长正三棱台的侧棱相交于点O，由题意可知，OA=OB=OC.
在等腰梯形BCCB 中，因为BC=6，BC =2，BB =CC =4，
1 1 1 1 1 1
所以OC=OB=6=BC，即△OBC为等边三角形，
所以三棱锥O-ABC为正四面体，且OB =2.
1
对于A，设H为等边三角形OBC的中心，由正四面体的性质可知，
6
AH⊥侧面OBC，且AH= AB2-BH2= 62-
3
2
=2 6，
即点O到底面ABC的距离为2 6，又因为OB =2，BB =4，
1 1
2 4 6
所以正三棱台ABC-ABC 的高为 ×2 6= ，故A正确；
1 1 1 3 3
4 6 3 3 3
对于B，因为正三棱台ABC-ABC 的高为 ，△ABC 的内切圆的半径为 ，且 > ，
1 1 1 3 1 1 1 3 3 4
4 6 3
所以高为 ,底面半径为 的圆柱可以放进该棱台内，故B正确；
3 4
对于C，且AP=2 7，AH=2 6，所以HP=2，且等边三角形OBC的内切圆的半径为 3，
π
∵2> 3，可知点P轨迹与等边三角形OBC的三边相交，且边上两交点的距离为2，故其对应圆心角为 ，
3
π 4π
所以点P的轨迹长度为2× ×2= ，故C错误；
3 3
1 1
对于D，设正四面体OABC的内切球的半径为r，由等体积法可得 S ×2 6=4× S ⋅r，
3 △ABC 3 △ABC
6 4 6
解得r= ，因为2r< ，所以该棱台内最大的球即为正四面体OABC的内切球，
2 3
又因为CQ=3QC ，CC =4，OC=6，所以Q为OC的中点，过点A，B，Q的平面正好过该内切球的球心，
1 1
6
所以截面面积为π×
2
2 3π
= ，故D正确．故选：ABD．
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
1-i 1-i
12．【详解】由题意得z= = =1+i，∴z
i3 -i
= 2．故答案为： 2.
13．【详解】S 2 =a 1 +a 2 =4，S 4 =20，所以a 3 +a 4 =16,a 3 +a 4 =a 1 +a 2 q2=4q2=16,
∴q2=4，∴a 5 +a 6 =a 3 q2+a 4 q2=a 3 +a 4 q2=16×4=64，∴S 6 =S 4 +a 5 +a 6 =20+64=84.
故答案为：84
·第2页，共6页·14．【详解】建立如图平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，
则OM
1
= PA
2
1
= × 42+22= 5，设抛物线方程为y2=2pxp>0
2
，∴H 5,4 ，则42=2 5p，解得：
8 5 p 4 5 4 5
p= ，则抛物线的焦点到M点的距离为 = .故答案为： .
5 2 5 5
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】(1)由asinB+ 3bcosA=0及正弦定理得sinAsinB+ 3sinBcosA=0........................2分
而sinB≠0，整理得tanA=- 3.............................................................................................4分
2π
因为00，解得t2>4
24t 36 3
则y +y =- ,yy = ，tyy =- (y +y )..............................................................8分
1 2 3t2+4 1 2 3t2+4 1 2 2 1 2
x -1
则直线HB的方程为x-1= y 2 -y y-y 1
2 1
3 5 5
y -4y + (y +y ) y - y
y -x y y -(ty +4)y 2 1 2 1 2 2 2 2 1 5
令y=0,所以x= 2 2 1 = 2 2 1 = = = .................12分
y -y y -y y -y y -y 2
2 1 2 1 2 1 2 1
x -1 5 5
即HB:x= 2 y+ ，恒过点 ,0
y -y 2 2
2 1
，
5
当直线AB的斜率不为0时，则AB:y=0，则HB:y=0，也过点 ,0
2
............................................14分
5
故直线HB过定点 ,0
2
.....................................................................................................15分
17．【详解】(1)因为A，B，C三所学校参加面试的学生人数共6人，且人数比为3:1:2，则A校参加面试的学
生有3名，B校参加面试的学生有1名，C校参加面试的学生有2名．
记“面试号码为3的学生来自A校”为事件M，故PM
3 1
= = .................................................3分
6 2
(2)将A校3名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为C3，
6
·第3页，共6页·若前三位均为A校学生，此时X=15，此时3号一定为A校学生，1,2号也安排A校学生，
C2 1
故X=15，故P(X=15)= 2 = ，
C3 20
6
若最后一名A校学生在4号，此时1,2,3号中安排两个号码给A校学生，
C2 3
故X=20，P(X=20)= 3 = ，
C3 20
6
若最后一名A校学生在5号，此时1,2,3,4号中安排两个号码给A校学生，
故X=25，PX=25
C2 3
= 4 = ，
C3 10
6
若最后一名A校学生在6号，此时1,2,3,4,5号中安排两个号码给A校学生，
C2 1
故X=30，P(X=30)= 5 = ，
C3 2
6
所以X的分布列为：
X 15 20 25 30
1 3 3 1
P
20 20 10 2
1 3 3 1 105
E(X)=15× +20× +25× +30× = .............................................................10分
20 20 10 2 4
(3)记“最后面试的学生来自B校”为事件D，“最后面试的学生来自C校”为事件E，显然事件D，E互斥．
记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件F，则F=DF+EF．
当事件D发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，
则PDF =PD PF∣D
1 2 1
= × = .............................................................................12分
6 5 15
当事件E发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校，
则PEF =PE PF∣E
2 1 1
= × = ..............................................................................14分
6 4 12
所以PF =PDF +PEF
1 1 3
= + = ......................................................................15分
15 12 20
C1A3 C1C1A2 1 1 3
(另解：P= 3 3 + 3 2 2 = + = )
A4 A3 20 10 20
6 6
18．【详解】(1)如图，取PD的中点为F，连接EF，FA，
由PF=FD，PE=EC，得EF⎳DC，
因为四边形ABCD为矩形，所以AB⎳CD，
则EF⎳AB，所以A，B，E，F四点共面，
因为AB=2EF，所以AF，BE的延长线相交，设交点为G，
因为AF⊂平面PAD,BE⊂平面PBC，所以G∈平面PAD，G∈平面PBC，
即G为平面PAD与平面PBC的公共点，
·第4页，共6页·又P为平面PAD与平面PBC的公共点，连接PG，则直线PG即为交线l，
因为在同一平面内两条相交直线有且仅有1个交点，所以Q与G重合，
取PB的中点为H，连接EH，设BC=t，则PB=4-t
因为PQ⎳EH，PQ=2EH，同理EH⎳BC，BC=2EH=t，所以PQ=BC=t．
因为∠PBC=90°，所以∠QPB=90°，BQ= PB2+PQ2= (4-t)2+t2= 2(t-2)2+8
当BC=t=2时，BQ长度有最小值2 2...................................................................................5分
(2)(ⅰ)设O为DC的中点，连接OP，OQ，CQ，DQ，如图所示，
由(1)知PQ⎳BC⎳AD，PQ=BC=AD，
所以几何体ABCDPQ是以△PAB和△QDC为底面的三棱柱，
因为,BC⊥AB，BC⊥PB，且AB∩PB=B，所以BC⊥平面PAB，即PQ⊥平面PAB，
三棱柱PAB-QDC为直三棱柱，则QD⎳PA
又因为异面直线PB与QD所成角为60°，三角形PAB为锐角三角形，所以∠APB=60°，
即三棱柱PAB-QDC为正三棱柱...........................................................................................7分
又因为PA=AB=2，PB+BC=4，所以PA=AB=PB=2，BC=PQ=AD=2
所以OQ= 3,PQ=2
所以PD=PC=2 2，QC=QD=2，则OP⊥DC，OQ⊥DC，
所以∠POQ为二面角P-DC-Q的平面角.............................................................................9分
PQ 2 2 3
在直角三角形POQ中，tan∠POQ= = = ，
OQ 3 3
21
所以平面PCD与平面QCD夹角的余弦值为 ....................................................................11分
7
(ⅱ)由(ⅰ)知OQ⊥平面ABCD，以O为原点，以过点O且在平面ABCD内与CD垂直的直线为x轴，
OC，OQ所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P2,0, 3 ，A2,-1,0 ，D0,-1,0 ，C0,1,0
1 3
，E1, ,
2 2
，
设球心Ma,b,c ，半径为R,则MP=MA=MD=ME=R，
所以a-2 2+b2+c- 3 2=R2①，a-2 2+b+1 2+c2=R2②，
a2+b+1 2+c2=R2③，a-1
1
2+b-
2
2 3
+c-
2
2
=R2④，
2 3
由①②③④，解得a=1，b=-1，c= ，
3
2 3
所以球心M的坐标为1,-1,
3
7
，则R2=MD2= ，
3
28π
所以球M的表面积为4πR2= ..........................................................................................17分
3
(另解：(2)(ⅰ)也可以用坐标法)
·第5页，共6页·19．【详解】(1)因为fx
2(xcosx-sinx)
= ，设gx
x2
=xcosx-sinx，则gx =-xsinx，
∴gx 在0,π 上单调递减，∵g0 =0，∴gx 在0,π 上无零点.................................................1分
gx 在π,2π 上单调递增，g(π)=-π<0,g(2π)=2π>0，∴gx 在π,2π 上有唯一零点..................2分
gx 在(2π,3π)上单调递减，∵g2π >0,g3π <0，∴gx 在(2π,3π)上有唯一零点........................3分
综上，函数gx 在区间0,3π 上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数fx 在区间0,3π 内恰有两个极值点............................................................................5分
(2)(ⅰ)∵fx
2(xcosx-sinx)
= =0⇔xcosx=sinx⇔x=tanx
x2
∵fx 在π,2π 有极值点x,在(2π,3π)有极值点x ， 1 2
在3π,4π 有极值点x 3 ，在4π,5π 有极值点x 4 ，⋯⋯，在 nπ,n+1 π 有极值点x ，且x =tanx ， n n n
根据函数y=x和y=tanx图象的交点情况可知，当x 2 >x 1 时tanx 2 >tanx 1 =tanx 1 +π ，
3π
∵g(π)<0,g
2
5π
=1>0,g(2π)>0,g
2
<0，
3π
∴x ∈π,
1 2
5π
,x ∈2π,
2 2
5π
,∵x +π∈2π,
1 2
,
5π
由函数y=tanx在2π,
2
单调递增，得x >x +π，
2 1
∴a 1 +a 2 =fx 1 +fx 2
2sinx 2sinx
= 1 + 2 +2=2cosx +2cosx +2， x x 1 2
1 2
5π
由y=cosx在2π, 2 单调递减，得cosx 2 x >x +π>2nπ， 2 2n 2n-1
π
由y=cosx在2nπ,2nπ+ 2 n∈N* 上单调递减得cosx <-cosx ， 2n 2n-1
所以cosx +cosx <0，且cosx >0,cosx <0，
2n 2n-1 2n 2n-1
当n为偶数时，从cosx 开始相邻两项配对，每组和均为负值，
1
n
即cosx =(cosx +cosx )+⋯+(cosx +cosx )<0；
i 1 2 n-1 n
i=1
当n为奇数时，从cosx 开始相邻两项配对，每组和均为负值，多出最后一项也是负值，
1
n
即cosx =(cosx +cosx )+⋯+(cosx +cosx )+cosx <0，
i 1 2 n-2 n-1 n
i=1
n n
综上，对一切n∈N*,cosx <0成立，得2cosx <0.
i i
i=1 i=1
2sinx
又a =f(x )= n +1=2cosx +1，所以2cosx =a -1，
n n x n n n
n
n n n n
则2cosx =2cosx =(a-1)<0，所以a
