2026届高三年级第一次模拟考试质量监测试卷
数AUjL. 学X14
注意事项：
L 卷题谕，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2 .全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3 .回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色
笔迹签字笔写在答题卡上.
4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
5 .本试题共5页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
L设集合P = {-1,0,1 ,3}, 0 = {xgZ|-1^x<3},则下列结论正确的是
A. pn0 = {-l,O,l} B. PCI0 = {-1,0,1 ,3}
C. PU0 = {-1,O,1,2} D. PU2 = {-l,0,l,3}
n+A2026
2 .在复平面内，复数z =，乙 对应的点位于
1-1
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3 .某校为了解学生的体育锻炼情况，随机调查了 50名学生，得到他们在某一天各自体育锻
炼所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均
每人的锻炼时间为
高三数学第1页共5页4若（x-2y『的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等/则〃=
A. 9 , B. 8 C. 7 D. 6
5,若6。=2,心=50,贝U
A. a + Z> = 100 B. b - a = 25
h
C. aZ> = 21n5 D. — >5
a
cosa + 2sina . niI<L （
6.已知----- ——=T,则tan 2a+： =
3cosa-4sina I 4）
1 1 .
A. -3 B. —— C. —— D. -7
3 7
2 2
7.已知双曲线5-务=1的左右焦点分别是用，用，。是双曲线右支上的动点，过用作
40区平分线的垂线，垂足为则点M的轨迹方程为
A. x2 +y2 =9（-l<x<3） B. x2 +y2 =9（-l^x^3）
C. x2 +y2 =3（1 <x3） D. x2 +y2 =3（—l^x^3）
8.已知函数F（x）的定义域为（0,+oo）；若对于定义域内给定的任意再都有
3（石）f/仁）>0 ,则不等式 f（2x）> “8 -3）+ 3号） 的解集为
X X
— X2t
A.（区3） B.（后+oo） C.（0,3） D.（3,+oo）
二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得。分
9 .下列关于函数/（%） = 4sin（2x-£）的说法正确的是
A.直线％ =看是函数尸/（%）图象的一条对称轴
B. 〃X）在区间［-白常］上单调递增
L o o _
C. /（%）的图象可通过7 = 4sin 2》的图象上所有点向右平移5个单位长度得到
O
D.若石，且f （再）=/（电）=2 ,则|石一/Imin =5
高三数学第2页共5页10 .已知单位向量。工,c满足a +5+ c = 6 ,则下列结论正确的是
AA, <a一,工b > =—/不
3
B. |ft + c| = l
C. a , 0 + c) = 1
D. £在石+工上的投影向量为£
11 .如图,在几何体Z3CDE产中，底面N8CD：是边长为1的正方形,棱4E _L底面45CD,
CF〃AE,且力E = CF = a,则下列表述一.定正确的是.
A.灰〃平面4BCD
B.几何体48cD昉外接球表面积是2a2万
C.几何体4BCDE尸的体积是生
3
D.当a = l时，几何体4ssEF一定有内切球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 .曲线丁 = /+2%在点（-1卬）处的切线方程为.
13 ,已知&43C内角Z,3,C所对边分别为a",c,该三角形外接网半径为R,面积为民
若々2$11125 + 62$1112力=4&2, S = 4,则K=.
14 .抛物线/= 2 PMp > 0）的焦点为尸，过尸的直线/与抛物线交于43两点（其中点力位
于第一象限），AF = 3FB9 M是线段项的中点，且点〃纵坐标为2,贝!!夕=
四、解答题：本题共5小题:，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .（13 分）
已知数列｛q｝的前九项和为邑，q=l, 3szi =4+1-1.
（1）求数列｛4｝的通项公式；
（2）求数列｛6〃｝的前几项和图.
高三数学第3页共-5页16 .（15 分）
如图,在直三棱柱ABCfBC中，AB^AC=lf NC4B=90L D ,E，〃分别为横 及卜，
B氏,C遇的中点.
<1）证明：平面即0,平面/CC/；
（2）过G作平面瓦”的平行平面。，平面。将直三棱柱43C-44G截成两部分，其中
较大部分体积为2,求直线4c与平面即心所成角的正弦值.
3
17.（15 分）
2 2
已知椭圆1 +匕=1的长轴长为4,左、右顶点分别为4,8,经过点PQ,。）的动直线
4m m
与椭圆相交于不同的两点C, D （不与点A9 B重合）.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求四边形NCBD面积的最大值.
18.（17 分）
某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性,•现有份血液样本，有以
下两种检验方式：①逐份检验，需要检验〃次；②混合检验，将其中M左£”,“2）份
血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这4份血液全为阴性，因而这
月份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这七份血液究竟哪
几份为阳性，就要对这4份再逐份检验，此时这左份血液的检验次数总共为4+ 1次.假
高三数学第4页共5页设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份
样本是阳性结果的概率为P（O<P< 1）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，,若采用逐份检验的方式、，求恰
好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概聚；
（2）现取其中上信 gN•，人2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次
数为刍，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为与.
① 记E（4）为随机变量g的数学期望，若用刍）=典与），运用概率统计的知识，
求出?关于左的函数关系式。=/（左），并写出定义域；
1
②若夕=1-6彳，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值
比逐份检验的总次数期望值小，求无的最大值；
参考数据：ln2=0.693L 53=1.0986.
19. （17 分）
已知函数，（%） = 3^62*-6*+工 + 2（4€11）.
（1）当时，求/（X）的单调区间：
（2）若函数/（%）有两个极值点石，石卷）
①求a的取值范围；
②证明：”勺）一?义.
e*1-十
高三数学第5页共5页2026届高三年级第一次模拟考试质量监测试卷
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.答案：A
解析：因为尸={-1,0,1 ,3}, Q = [xeZ\-l<x<3] = (-l , 0,1,2),
所以尸n0 = {—1 ,0 J}, PU0 = {—1 ,0 ,1 ,2 ,3}.故选A.
2.答案: B
(1 + Z)2O26 = ((1 + 12严13 二(24 0】3 : 2⑼ 37
解析:
1-z 1-Z 1-z 1-z
3.答案: B
5x2 + 10x1.5+15x1+20x0.5
解析: 1.故选B.
50
4.答案: C
解析：(X-2力〃的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为c；，CS由题意得所以
n = 2 + 5 = 7.故选 C.
5.答案: D
解析: 因为e°=2,"=50,所以a = ln2 , Z)= ln50 ,
所以 a + 6 = ln2+ln50 = lnl00 , Z>-6z = ln50-ln2 = ln25 ,仍=ln2-ln50 ,
—== log250 = log22 + log2 25 = 1 + log2 25> 1 + 4 = 5 .故选 D.
a m2
6.答案: C
h4 cosa + 2sina [ . l + 2tana 1 正… -。 2tana 4
解析: 因为荻so-4sma7'所以口嬴=一八所以tano = 2,所以^^。二匚赤二一§
,1 + 1
tan2a + l 3 1
所以tan(2a + ?卜
1 丁 =--- T~ = -7 , 故选 ,，
1-tan 2a j + £ 7
3
7.答案: A
解析: 设点M的坐标为(xj),延长。月与耳以交于点T,连接。河,
因为平分/月然，且甲所以|Q胤= |°T|, \F}M\ = \MT\,
1又因点。是双曲线右支上的动点，
所以|。6|一|。即TOIT。闾=2%
所以内刀=2%所以10M = a,
即点M在以。为圆心，a为半径的圆上,
因为当点。沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲线的渐近线,
所以点初■的轨迹是圆弧，除去点C和。，所以方程为f+j? =9（_i＜x43）.故选A.
8.答案：A
解析：因为函数〃%）满足对任意的%,%£（0,+8）,演工巧，都有「』（玉）一%，（“2）＞0,
设 X]>%>0,则％ —马>0,所以—%/'(々)>。，即(%)>%/(%)，
所以工徨＞ 工fel,令gq）= &l,因为当王 ＞马＞。时，都有g@）＞g（M，
入〔 工2 X
所以函数g（X）在（0,+8）上单调递增.又不等式/（2力 ＞ 也±3+也科两边同乘以一,
•X X
得 x2f（2x）＞ 2xf 9 2 _ 3）+ 3/（2x）,即（一 一 3）/（2切 ＞ 2xf （x2 - 3）,
即 〃2力＞/（炉 3）,所以g（2x）＞g（x2—3）,
2x x2 —3
2x＞0
故1一-3＞0 ,解得也＜xv3.故选A.
2x＞x2 -3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9 .答案：BD
解析：对于A, 综） = 4sin]-f| = 0, 0不是函数的最值，所以函数不关于、=符寸称，故A错误；
7T 7T 7T 37r
StT
对于 B, —＜2% — — ＜ -- + 2kn, AgZ ,解得一=+ %兀＜尤＜7 十 ^71,左£2,所以函数
2 X 2 16 16
37r 57r
/（力的单调递增区间为一/ +阮，/ +配（%sz）,令k = 0 ,得函数/（X）在
10 1O
2上单调递增，又工]，所以函数“X）在上单调
_ O 0 J [_ lo lo J L o o_
递增，故B正确;
7F
对于C,将函数y = 4sm2V的图象上所有点向右平移了个单位长度得到y = 4sin
0
= 4sin[2x-：],故 C 错误；
对于 D, 4sin(2x —?] = 2,解得 sin(2x—j] = ： , 2$一 J = g + , 2X2 —：=. + 2%万，
V o y \ 6 J 2 o 0 o o
故故D正确,故选BD・
10 .答案：ABD
解析：因为£ 十%一乙 所以口+叶=（—/,即i + 2Zi + l = l,所以 <还> 若,故A正确;
因为6 + 5 = -£,所以忸+4=|一｝|=1,故B正确；
因为 a・G+c） = a.[+a.c = lxlxcosva,B>+lxlxcosvQ,c> =—1,故 C 错误；
因为a在加+ c上的投影向量为Heos%。]1上刍=-|。卜兽=Q，故D正确.
1 । \b + c\ 1 । 忖
（说明：本题还可以直接将£,刃，工的有向线段画出，用几何法处理.）
11.答案：AC
解析：因为CF〃丝且CF = 4&,所以四边形4c屈为平行四边形，所以跖〃4。，根据线面平行的
判定定理可知即7/平面4BCD,故A正确；几何体 WCDE尸外
接球即为长方体WCD-EG阻的外接球，所以氏=色」L±^,
2
所以外接球表面积是S = 4成?=q+q2）万，故b错误；对于C选项，
可以将几何体43CDEF补成长方体4BCD-EG皿，如图，几何体
1 1 7 .
4BCDEF的体积为P = lxlxa-2（§xa><5xlxl） = iQ ,故C正确；当。=1时，假设几何体
褴CZ）跖有内切球，则根据等体积法p = ；.s表"可得g = gx（l + 4x； + 2x手）x% ,即
C 1
% = 1-32<上，因为平面40打上的点与平面3。下上的点的最短距离是1,即内切球半径最
3 2
3小为L,故几何体居。。即没有内切球，故D错误.故选AC.
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12 .答案：5x-y+2 = 0
解析：因为y = 〃x) = d+2x,所以/'(x) = 3f+2,所以/'(-1) = 5,
又当 x = T 时，a = x3 +2x = -3，
所以y = x3+2x在点(_i,q)处的切线方程为5工一乎+ 2 = 0.
13 .答案：2
解析：由/sin22+/sin2/= 47?2得sin?/sin25 +sin之Bsin2A = l,
故sin^ZsinBcosb+sinO^sin 力cosZ = ；,即sin ^4sinB(sin /4cosB+sin BcosA) = -^ ,
所以sinZsinBsinC = 1,所以/空=」，又因为$=建=4 ,所以R = 2.
2 (2Rf 2 4R
14 .答案：28
解析：方法一：由题知网=3同，设固卜3〃7,则同= 〃?，画=4%
延长功交准线/于点。，过4作44'_L/,过5作353/,
则 |44'| = |"| = 3加，\BBf\ = \BF\ = m,显然 A44O 〜AB3'。,
所以巴= g4，即也」"? 十 ："，所以0河=2加，所以|以| = 6相，
\BBr\ \DB\ m \DB\ 1 1 1 1
所以 cos NA'AF =已3 = 1,所以 N4N歹=60°,
\AD\ 2
所以直线AB的斜率为kAB = C，
设4(玉，外)，5(々，必)，则一:,
1外 =2网
得弁-必2 =22(芯，所以-=20,
玉一工2
所以心=夕
又因为y〃=2,所以p = 2/.
—> —>
方法二：依题得|4F|二3|FB|,
4设直线/的倾斜角为a,则 P =3 P
1 - cosa 1+COS6T
解得。=三，即直线/的斜率是e5 = JJ,
根据点差法有抛物线的中点弦公式心8 •片=夕，
所以,=2^/3 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）解析：更多试题与答案，关注微信公众号：三晋高中指南
（1）因为3S〃=a〃+「1,故35*=4—1, ...... 2 分
所以四二%一 %但之2）即4% =%+”故｝=4 （«>2）, ...... 4分
%
当〃 =1时，34=%-1故％=4,满足］包=4,
故q =4i（〃eN"）. ...... 6 分
4”-1 1 1
（2）由（1）得 = ~- = -x411--, ...... 9 分
“33 3
所以数列｛SJ的前〃项和
(=S]+S2 + S3+…+ S〃 = 3(4,42 +…+4〃) —g” ...... 11分
16. （15分）解析:
（1）证明：因为ZBC —481G是直三棱柱，所以44,148,
因为NC4B=90°,所以/C_L/S,
又必 D/C =/且必，/Cu平面48/，
所以力5,平面4CG4， ...... 2分
又。，人分别为棱回，5百的中点，所以DE//AB,
所以。E_L平面4CG4 , ...... 4分
5又OEu平面EFD,所以平面EFD J_平面ACC\A{. ........6分
（2）根据面面平行的判定定理作出平面a ,如图所示，
平面a与直三棱柱48。- 4耳G的截面即为平面48G，
显然，平面ABC}将直三棱柱ABC - 4耳G分成体积比为1 ： 2的两部分，
2 2 片五胃俏
所以噎大部分二
2 1 2
设力4 =队 则］乂（〃X5乂1乂1）=§,
所以无=2. ...... 10分
以点/为坐标原点，棱ZC ,4，的所在直线分别为X ,八Z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则4（0,02），C（w）, n（0503l）, E（0J1），R（J,；,2）.
所以京=（1。-2）,瓦= （0J0）,而= （；,；/），
设平面£7叫的法向量为〃 = （x,必2）,则
y = 0
n - DE = 0
_____，即《 1 1 八，令x=2,
n - DF = 0 ——y + z = 0
12 2，
得）=（2,0,-1）, 13分
设直线4c与平面EFD所成角为8 ,
2 + 2 4
贝!] sin 6 = |cos < A[C, z?>| = 15分
5 ,
17. （15分）解析:
⑴ 由题意得〃=4m=4,解得掰=1,所以椭圆方程为?+V=i, 2分
故a = 2, 6 = 1, c = J——廿=小，所以椭圆的离心率e = £ =—― 5分
a 2
（2）当直线。。的斜率％不存在时，由题意得CQ的方程为x = l,
代入椭圆的方程得C L 2 p D 1 - 2 P又因为M@ = 2a = 4, ABLCD,
所以四边形ACBD的面积S = ；x |8| = 2g,
8分
当直线的斜率M%wO）存在时，设C。的方程为歹=%（' — 1）（后=0）,。（不弘），。卜2，%），
6y = k(x-l),
联立方程一 消去人, 得（4k2 +1）?- Sk2x + 4^-4 = 0,
8k2 4A2-4
由题意可知A>0恒成立，且须十々
4r+1 ' "芯=4必+ ]
四边形/CBD 的面积S = S枷c+S叱。=^\AB\xy. +^\AB\x y2
=:网型
fl 』厂....... I】分
设 4/ + 1 = %«>1）,则四边形 4C3。的面积 s = 2,—《一 ：+3, %（0,1）, .....13 分
所以 S = 2j-[1+1] +4<2g,
综上，四边形ZC3Z)面积的最大值为2班. 15分
18. （17分）解析:
(1)记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件,
则尸(上今+才=谈
4分
（2）①根据题意，可知右侑）=忆*2的可能值为1、八1，
贝 UP催=1） = （1 —P）"，一（刍=%+1） = 1-（1-4, 6分
所以 E 仔2）= （1_2）"+9 + 1）（1_（1_0"）=左 + 1_%（1一0）"， ・8分
由 E（4）= E《2）,得％ =4+1-%（1 -P）"，
所以P = 1 — （，）A （此/且八2）.
10分
_ 1 _k
②由于pT-e 4 ,所以 E&） = k + l-ke 4 ,
-A k
由题意得Z+1 —髭4<k ,即InZ — — >0,
4
设/0） = lnx —3（x>0）, "1%） = ：_； =与沁>0）,
...... 13分
当x«0,4）时，/z（x）>0, /卜）在（0, 4）上单调递增,
当x«4,+8）时,/z（x）<0, /（力在（4,+oo）上单调递减, 15分
7Q Q
/（8） = ln8-2 = 31n2-2>0, /（9）= ln9-^ = 21n3-J<0,
所以上的最大值为8. ...... 17分
19. （17分）解析:
5 Q
（1）当。二一一时，/M = 一一e2x-eA，+JC + 2,
4 v 7 8
f （x） = -| e2x-ex+l = - ；（3e2x + 4/ - 4）= 一 ；（3" - 2）（ex + 2）,
2
令T（x） = O，x = ln-, ...... 2分
当、4一00」11|^, ff(x)>0, /卜)在卜0,In *上单调递增,
当xw(ln|,+8), 了'(%)<0, /(x)在(ln|,+oo)上单调递减，
综上，/(可的单调递增区间为1—8,In|),单调递减区间为[ln|,+00).......4分
(2)① f'(x) = e2t -e'' +1 = (2«+l)e^-2e-+2 ,
由题意知石广2&<为)是方程伽+ 1)湃-2e、+ 2 = 0的两个不同的根，
设/ = e"”O),则方程(2a + l)d - 2 + 2 = 0有两个不同的正实数根4
4一8（2。+1）>0 1 1 、
所以 、 ），...... 8 分
[2a+l>0 2 4
2
4 + '2
2a+ 1 2a+ 1
②由①可知< 即《
2 2
环2 =
2a +1 2〃 +1
所以/@）_/（巧）+尤「（誓e2“2 +电），
=2： 1 卜2占-e2%2） 一 （e* - eX2） + 玉-电，
= Z^l（e$ +0勺乂©$ _^2）_卜*_/2）+ 司_&，
=?嘉…卜（…卜…，
二 g（e'‘ _e'"）_（e、| _e~） + x _%=_；（?*_e*）+x ,
10分
8所以要证"吟十，
即证口＜ e&） + * 口「 1 x-x
-1 + x,-x2，即。+ 一 <」——L
-一- 2 e"—'2
2 eX1 -eA'2
2 1 1 日n、T 1 j玉一九2
Se.+e.=__,^ + _ = ___ 即证------- ＜ ------ 12分
炉一卜炉一小
由于石＜々，所以炉一针〈0,
e*-电 _]
_12 &
则需证—--- -> x1- x2 ,即证 二---> X] — x2 > 即证-------> x,—x2, .......13 分
eA,+eA2 eH 1 ex,"A-2 + l
-- r 1
*
/ 、 e* — 1
令儿=玉一%2（4<0）,即证一j> kf
令加（〃） = %_，•+；（/〈0）, ...... 14 分
,（［、 2e" e2/r+l
则" 11 一百干百旷0,
/ \ p° -1 p* —1
所以冽（左）在（一8,0）上单调递增，所以袱上）＜0一%言=0,即《〈号，
所以不等式a V，（9-4^2）成立. ........17分
eh - e不
9
