密!考试启用前
!"!# 年高考适应性检测!二"
数学参考答案
一!单选题"本题共#小题#每小题$分#共%&分!在每小题给出的四个选项中#只有一项是正确
的!请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上!
"!$答案%’
$详解%""!#%"(#)$%$$%"#)$%%(#)$%%!
$
)!$答案%*
+),!"+,")
$详解%&( ( ("+,!-&的虚部是+"!
"+, "+,
.!$答案%/
" "
$详解%因为’!!0"%"( &"+’!")1!1"%"’( !"+&!2"(&!"$$所以该型号新能源汽车样
) )
本中耗电量大于"% 34(56"&& 37的汽车大约有"&&&8&!"$("$&辆$故正确选项为/9
%!$答案%’
)!"+(:" )!"+(."
$详解%由题意知公比(#"$由 ) (;) 得 (;8 $化简得"<(.(;$解得 (()$
: . "+( "+(
从而* (* (.()8).(":!
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由!"解得=,> "?@=#( $?@="=,> #( $所以 ( ($!
") ") AB> # ?@="=,> #
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$详解%由题意得双曲线的一条渐近线方程为 +( ,$即 .,+%+(&$圆 ,)<+)+#,(& 的圆心
%
")
-!%$&"$半径为%$圆心 -!%$&"到渐近线 .,+%+(& 的距离为 .( $所以截得的弦长为
$
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槡
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数学答案!第!!!!"页!共#页"
书书书2!$答案%C
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""(&$从而 $)($(!!<""% $ !<" () $$故 $%)$当且仅当 $$!<" 同向时$取等号$
故选项C正确!
也可以设!(!槡.$&"$"(!&$""$$(!%$&"$利用坐标法求解!
#!$答案%’
$详解%函数/!,"(.,<,+)的零点为函数+(.,和+(+,<) 图象
交点 "的横坐标$0!,"(D@E,<,+) 的零点为函数 +(D@E,和
. .
+(+,<)图象交点%的横坐标$因为函数 +(.,和 +(D@E,互为
.
反函数$其图象关于直线 +(,对称$且直线 +(+,<) 与 +(,垂
直$所以其交点-!"$""恰是"%的中点$从而1<2()! 第#题答图
二!多选题"本题共.小题#每小题:分#共"#分!在每小题给出的四个选项中#有多项符合题目
要求!全部选对的得:分#部分选对的得.分#有选错的得&分!
;!$答案%*’/
[ ( $) $]
$详解%由题意得0!,"(.=,> ) ,< + (.=,> ),$而函数左右平移不改变函数的最值和
# %
周期$故*)’是正确选项*
平移的长度不是半个周期的整数倍$故两个函数的对称轴不会重合$故选项C不正确*
[ $] [ $] $ [ $ $]
由,& &$ $可得 ),& &$ $),+ & + $ $由复合函数单调性可得函数 /!,"与
% ) % % %
0!,"均为增函数$故选项/正确!
"&!$答案%*’
$详解%三次函数在 $上至少有一个零点$因为当 ,’<F时 /!,"’<F$当 ,’+F时
/!,"’+F$由连续性知至少有一零点$故选项*正确!
三次函数/!,"的对称中心横坐标满足/3!,"(&!当*("时$/4!,"(.,)+:,<.$/3!,"(:,+:$
由/3!,"(:,+:(&得,("$又/!""()$故/!,"的对称中心为!"$)"$选项’正确!
由/4!,"(.,)+:*,<.(.!,)+)*,<""$若/!,"有两个极值点(/4!,"(&有两个不相等的实根
($(%*)+%0&( * 0"$故选项C不正确!
由/4!,"(.,)+:*,<.(.!,)+)*,<""可知/4!,"不能恒小于&$所以/!,"不能单调递减$故选
项/不正确!
数学答案!第!!!!)页!共#页"""!$答案%’C/
( " ) "
$详解%由抛物线方程 +(,) 知 5&$ $准线 6方程为 +(+ $故选项 *不正确*由题意知
% %
" "
"%+++ (7,$代入 +(,) 得 ,)+7,+ (&$设 "!,$+"$%!,$+"$-!,$+"$则 ,(,(
% % " " ) ) - - ’ -
" 7
!,<,"( $故抛物线8过点’的切线斜率74(!,)"4 (7$从而抛物线8过点’的切
) " ) ) ,( 7
)
线与直线"%平行$故选项’正确!
7 " 7) " 7) 7) "
由,(,( 得+(7,< ( < $+(,)( $所以 -9 (+++( < $ -’(+++(
’ - ) - - % ) % ’ ’ % - 9 ) ) - ’
7) " 7) 7) " "
< + ( < ( -9$则 -’( ’9$故选项C正确!
) % % % % )
" **’ **’ " " ( ") ( ") "
) ( :" :%=,>+":%( ,++,+ ( , 7,< +, 7,< ( ,+, (
):"% ) ) " ) ) " ) " ) % ) " % # " )
" " "
槡!,<,")+%,,( 槡7)<"( $则7)(.$解得7(G槡.$故选项/正确!
# " ) " ) # %
三!填空题"本题共.小题#每小题$分#共"$分!
")!$答案%+(;,$+(+;,!
$详解%当,0&时$+(;,$在点!,$; ,""处的切线方程为++; ,"(; ,"!,+,"!由该切线经过原点$
" "
则+; ,"(; ,"!+,"$解得,("$此时切线方程为+(;,!
" "
当,1&时$+(;+,$在点!,$; +,)"处的切线方程为++; +,)(+; +,)!,+,"!由该切线经过原点$则
) )
+;
+,)(+; +,)!+,"$解得,(+"$此时切线方程为+(+;,!
) )
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当,()$+("时$>!’"有最大值 (":!
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四!解答题"本题共$小题#共22分!解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤!
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"$!!""由题意得$ 8)*8)?(:$;( ( $又@)(*)+?)$联立解得*(.$?("!
) * .
,)
所以$椭圆#的方程为+ <+)("!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !$分"
;
!)""!&$""$设’!,$+"在椭圆上$则+&&+"$"’且,)(;!"++)"$则
"’)(,)<!++"")(;!"++)"<!++"")
(+#+)+)+<"& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !2分"
记/!+"(+#+)+)+<"&$+&&+"$"’!
+) "
/!+"是开口向下的二次函数$对称轴为+(+ (+ &&+"$"’$ ,,,,,, !;分"
)8!+#" #
" ( ") #"
故当+(+ 时$/!+"取得最大值/+ ( $
# # #
#" ;槡)
所以 "’ 的最大值为 ( !
槡
# %
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"
代入
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;槡2
$从而点’的坐标为
(
G
;槡2
$+
")
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# ; # # #
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由于#($+!"<%"$故=,> #(=,>!"<%"(=,> "?@=%<?@="=,> %$
故可得=,> "?@=%<槡.=,> %=,> "(=,> "?@=%<?@="=,> % ,,,,,,,,,,, !)分"
整理得槡.=,> %=,> "(?@="=,> %$ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !%分"
因为%&!&$$"$所以=,> %#&$两边同除以=,> %得槡.=,> "(?@="$ ,,,,,, !$分"
槡.
即AB> "( $ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !:分"
.
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又因为"&!&$$"$所以"( !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !2分"
:
$ "
!)"由*()?及正弦定理知=,> "()=,> %$由!""中"( $得=,> %( !,,,,, !#分"
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数学答案!第!!!!%页!共#页"槡"$
因*0?$故"0%$%为锐角$?@=%(槡"+=,>) %( !,,,,,,,,,,,,, !;分"
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因#($+"+%( +%$故
:
($$ ) $$ $$ " 槡"$ 槡. " 槡"$<槡.
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由正弦定理 ( $得?( ( ()!,,,,,,,,, !".分"
=,> % =,> # =,> # 槡"$<槡.
#
则*()?(%!
" " 槡"$<槡. 槡"$<槡.
从而)"%#的面积)( *?=,> #( 8%8)8 ( ! ,,,,,,, !"$分"
) ) # )
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"2!!""以"为坐标原点$"%$"A方向为 ,轴$+轴正方向$&轴为经过点 "且垂直于底面向上方
向$建立空间直角坐标系$则%!)$&$&"$A!&$)$&"$#!)$)$&"!由题意$
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1""$"%0(1""$"A0(")&B!"%(!)$&$&"$"A(!&$)$&"!不妨设""(!*$?$@"$则
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由正方形"%#A知%A$"#$且"#"""("$
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所以%A$平面"##"!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !2分"
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设平面"%#的法向量为,2(!,$+$&"$
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数学答案!第!!!!$页!共#页"{,2(" ** % ’
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则 可得 ) ) )
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取,(.槡)$则+(+.槡)$&(+%$从而,2(!.槡)$+.槡)$+%"! ,,,,,,,,,, !"&分"
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由!""知%A$平面"##"$则平面"##"的一个法向量为%A(!+)$)$&"!,, !""分"
" " " "
设平面"%#与平面"##"夹角为%$则
" " "
**’
,2(%A !.槡)$+.槡)$+%"(!+)$)$&" ")槡) . 槡".
?@=%(
**’
( ( ( !,,,, !"$分"
,2 ( %A ) 槡".8)槡) % 槡): ".
"#!!""甲获得.分$当且仅当甲以.I&或.I"获胜!
若甲以.I&获胜$则甲获胜的概率为C.*
若甲以.I"获胜+则前. 局甲胜) 局)负" 局$且第% 局甲胜$从而甲获胜的概率为 #)C)!"+
.
C"C*
因此甲获得.分的概率为C.<#)C)!"+C"C(C.<.C.!"+C"(C.!%+.C"!,,,,,, !$分"
.
"
!)"当C( $甲的得分<可能取值为&$"$)$.$
)
( "). ( " )) ( ") " $
’!<(."( <#) 8"+ 8 ( $ ,,,,,,,,,,,,,,,, !:分"
) . ) ) ) ":
( " )) ( ")) " .
’!<()"(#) 8"+ 8 ( $ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !2分"
% ) ) ) ":
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% ) ) ) ":
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’!<(&"( "+ <#) "+ 8 8"+ ( !,,,,,,,,,,,,,, !;分"
) . ) ) ) ":
<的分布列为
< & " ) .
$ . . $
’
": ": ": ":
$ . . $ .
所以8!<"(&8 <"8 <)8 <.8 ( !,,,,,,,,,,,,,,,,, !""分"
": ": ": ": )
!."!由题意$$!C"(’!<(""<’!<()"(:C)!"+C".<:C.!"+C")(:C)!"+C")
又$!"+C"(:!"+C")C)$
数学答案!第!!!!:页!共#页"所以$!C"($!"+C"! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !"%分"
( " ] ( " ]
"设D(C!"+C"$则D& &$ $从而$!C"(:D) 在D& &$ 上单调递增$
% %
" " ( " ) .
故当D( $即C( 时$$!C" ($ ( !,,,,,,,,,,,,,,,, !"2分"
% ) 7BH ) #
";!!""函数/!,"的定义域为$$求导得/4!,"(*;,+" ,,,,,,,,,,,,,, !"分"
由/4!,"(&得,(+D>* ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !.分"
当,&!+F$+D>*"时$/4!,"1&$故/!,"单调递减*
当,&!+D>*$<F"时$/4!,"0&$故/!,"单调递增!
综上$/!,"的递减区间为!+F$+D>*"$递增区间为!+D>*$<F"! ,,,,,,,, !$分"
!)"由!""得/!," (/!+D>*"(*;+D>*+!+D>*"("<D>*! ,,,,,,,,,,, !:分"
极小值
当,’+F时$/!,"’<F*当,’<F时$/!,"’<F*
"
当*0 时$极小值/!+D>*"("<D>*0&$此时/!,"-/!+D>*"0&$无零点!,,,,, !2分"
;
" ( " ) "
当*( 时$极小值/+D> (/!""( (;+"$此时 /!,"在 ,(" 处取得最小值&$仅有" 个
; ; ;
零点,("!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !;分"
"
当&1*1 时$极小值/!+D>*"1&$由,’+F时$/!,"’<F$,’<F时$/!,"’<F*知 /!,"在
;
!+F$+D>*"和!+D>*$<F"各有一个零点$共)个零点! ,,,,,,,,,,, !""分"
" " "
综上所述$当*0 时$函数/!,"无零点*当*( 时$函数 /!,"有" 个零点*当&1*1 时$函
; ; ;
数/!,"有)个零点!
/!,"+/!," *; ,)+,+!*; ,"+," ; ,)+; ,"
!."因为 ) " ( ) " (* +"$
,+, ,+, ,+,
) " ) " ) "
(,<,) ,"<,)
/4 " ) (*;) +"$ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !")分"
)
/!,"+/!," (,<,) ; ,)+; ," ,"<,)
要证明 ) " -/4 " ) $转化为证明 -;) !
,+, ) ,+,
) " ) "
不妨设,1,$令D(,+,0&$则,(,<D$代入上式$即证明
;
," <D+; ,"
-;
," <
)
D
!
" ) ) " ) " D
;D+" D
进一步化简$即证明 -;)!D0&"
D
数学答案!第!!!!2页!共#页"D
转化为证明;D+"+D;)-&! ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !".分"
D D DD D D D
令0!D"(;D+"+D;)!D0&"$则04!D"(;D+;)+ ;) (;)!;)+"+ "
) )
下面先证明;,+,+"-&
令E!,"(;,+,+"$则E4!,"(;,+"$令E4!,"(&$得,(&
当,1&时$E4!,"1&$所以E!,"单调递减*
当,0&时$E4!,"0&$所以E!,"单调递增*
E!," (E!&"(&$所以;,+,+"-&!
7,>
D D D
由;,+"+,-&$可得;)+"+ -&$又;)0&$
)
从而04!D"0&$故0!D"在D0&上单调递增$,,,,,,,,,,,,,,,,, !":分"
又因为0!&"(&$从而0!D"-&对所有的D0&成立!
D ;D+" D
因此$;D+"+D;)-&$即 -;)!
D
从而对于任意 ,#,$函数 /!," 的图象上两点 "!,$/!,"" 和 %!,$/!,"" 满足
" ) " " ) )
/!,"+/!," (,<,)
) " -/4 " ) !,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, !"2分"
,+, )
) "
数学答案!第!!!!#页!共#页"
