文档内容
2026 年常德市高三年级模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D D A C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
1 1
12．2 2 13．1 14．[− , ]
2 2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
解：（1）①当n=1时，S =2a −2，又S =a ，解得a =2.................................2分
1 1 1 1 1
②当n≥2时，a =S −S =2a −a ，所以a =2a ..............................4分
n n n−1 n n−1 n n−1
所以数列{a }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a =2n...........................6分
n n
1
（2）由b =log 2=log 2= ....................................................................................8分
n a n 2n n
1 1 1
所以b b = = − ，........................................................................10分
n n+1 n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以T =(1− )+( − )+( − )++( − )=1− .....................12分
n 2 2 3 3 4 n n+1 n+1
因为n∈N∗，所以T <1. ..................................................................................13分
n
16．(本小题满分15分)
法一：
解：（1）连接AB 与AB交于点N ，连接MN，
1 1
三棱柱侧面AABB为平行四边形，所以N 为AB的中点，
1 1 1
又M 为AC的中点，所以MN //BC..........................................................................2分
1
数学参考答案第 1 页 共 5 页π
又因为∆BCC中CC =1,BC = BC =2,∠BCC = ,
1 1 1 1 1 1 1 3
π
由余弦定理可得BC2 =CC2 +C B2 −2CC⋅C Bcos = 3.
1 1 1 1 1 3
所以BC2 +CC2 = BC 2，所以BC ⊥CC ..........................................................4分
1 1 1 1 1 1
因为平面BCC B ⊥平面AACC且交线为CC ，BC ⊂平面BCC B
1 1 1 1 1 1 1 1
所以BC ⊥平面AACC............................................................................................6分
1 1 1
又MN //BC，所以MN ⊥平面AACC,
1 1 1
又MN ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面AACC...........................................7分
1 1 1 1
π 1
（2）由∠CC A =∠CAA = ， CC = AC ，得AC ⊥CC ，故CA,CC,CB 两两垂直，
1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1
以C为坐标原点，CA,CC,CB 所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，
1 1 1
则B(0,0, 3)，A( 3,0,0)，A( 3,−1,0)，B(0,−1, 3)，
M(
3
,−
1 ,0).............10分
1 1 2 2
3 1
所以AB=(− 3,0, 3)，AB=(− 3,−1, 3)， AM =(− ,− ,0) ，
1 1 2 2
设平面ABM 的法向量为n =(x,y,z)，
1
n·AB=− 3x−y+ 3z=0
则 1 ，令x=1，则y=− 3，z=0，
3 1
n·AM =− x− y=0
1 2 2
则n=(1,− 3,0)...............................................................13分
设直线AB与平面ABM 所成角为θ，
1
则
sinθ=|cos<
A
B
,n
>|=
A
B
·n
=
3
=
2 ，
AB n 6×2 4
2
故直线AB与平面ABM 所成角的正弦值为 ....................................................15分
1
4
法二：
解：（1）延长AM 与CC交于点H，连接BH .
1 1
三棱柱侧面AACC为平行四边形，又M 为AC的中点，
1 1
所以C为HC 的中点，所以HC =CC =BB ，又HC//BB ,
1 1 1 1
所以四边形BHCB 为平行四边形,所以BH //BC.....................................................2分
1 1
π
又因为∆BCC中CC =1,BC = BC =2,∠BCC = ,
1 1 1 1 1 1 1 3
π
由余弦定理可得BC2 =CC2 +C B2 −2CC⋅C Bcos = 3.
1 1 1 1 1 3
所以BC2 +CC2 = BC 2，所以BC ⊥CC ..........................................................4分
1 1 1 1 1 1
因为平面BCC B ⊥平面AACC且交线为CC ，BC ⊂平面BCC B ,
1 1 1 1 1 1 1 1
所以BC ⊥平面AACC............................................................................................6分
1 1 1
数学参考答案第 2 页 共 5 页又BH //BC，所以BH ⊥平面AACC，
1 1 1
又BH ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面AACC...........................................7分
1 1 1 1
（2）解法同法一
阅卷评分说明： z
如图建立直角坐标系，写点的坐标.....................10分
求得平面ABM 的法向量为n=(1,− 3,0)..............13分
1
2
求得直线AB与平面ABM 所成角正弦值为 ........15分
1
4
H
y
x
17．(本小题满分15分)
解：（1）因为当X ~π(λ)，且λ=81时，可近似地认为X ~ N(λ,λ)，
即X～N(81,81)，这里µ=81,σ= 81=9.........................................................2分
所以，P(90< X <99)= P(81+9< X <81+18)= P(µ+σ< X <µ+2σ)
1
= P(µ−2σ< X <µ+2σ)−P(µ−σ< X <µ+σ) ..............................................4分
2
0.9545−0.6827
= =0.1359...........................................................................................5分
2
（2）(i)由题知X ~π(λ)，其中λ=np=1000×0.003=3..............................................7分
32 9
P(X =2)= e−3 = ≈4.5×0.05=0.225...............................................................9分
2! 2e3
3i⋅e−3
(ii)P(X =i)= ....................... ...... ............................................................................10分
i!
P(X =i+1) 3i+1 i! 3
所以 = ⋅ = .........................................................................12分
P(X =i) (i+1)! 3i i+1
3
由 ≤1 解得i≥2，
i+1
所以，当i≤2时，P(X =i)≥P(X =i+1)；当i≥3时，P(X =i)P(X =4)>
所以当X =2或X =3时，P(X =i)最大..............................................................15分
18．(本小题满分17分)
p
解：（1）法一：由抛物线的定义有 |MF|=m+ ，又点M(2，m)在抛物线上，
2
p
所以m+ =2
.........................................................................................................2分
2
2pm=4
解得：m=1，p=2，
所以抛物线C的标准方程为x2 =4y..........................................................................5分
数学参考答案第 3 页 共 5 页 p
法二：由题可知 4+(m− )2 =2 ..................................................................................2分
2
2pm=4
解得：m=1，p=2.
所以抛物线C的标准方程为x2 =4y..........................................................................5分
（2）(i)由题可知直线l的斜率存在，设直线l：y=kx+b，A(x，y )，B(x，y )（xx ≠0）
1 1 2 2 1 2
因为点P在准线上，且BP⊥x轴，所以P(x，−1).
2
y −1
由A、O、P三点共线，所以k =k ，即 1 = ，
OA Op
x x
1 2
化简得x y +x =0①....................................................................................................7分
2 1 1
y=kx+b
联立
，消y得x2−4kx−4b=0,
x2 =4y
由韦达定理得：x +x =4k，xx =−4b....................................................................9分
1 2 1 2
x2 x2x
又x2 =4y 得 y = 1 代入①得 1 2 +x =0 ②.......................................................11分
1 1 1 4 4 1
将xx =−4b代入②得−bx +x =0,
1 2 1 1
又x ≠0，所以b=1.
1
所以直线l：y=kx+1过定点(0,1)...........................................................................13分
(ii)因为∆MAB的面积与∆QAB的面积相等，所以点M 与点Q到直线l的距离相等.
①若直线l过MQ的中点，又M(2，1)，Q(0,−1)，MQ的中点为T(1，0),
1−0
则直线l的斜率 k =k = =−1 ，
FT 0−1
所以直线l的方程为y=−x+1..................................................................................15分
1−(−1)
②若直线l//MQ，则直线l的斜率 k =k = =1,
MQ 2−0
所以直线l的方程为y=x+1.
综上，直线l的方程为y=−x+1或y=x+1..............................................................17分
19． (本小题满分17分)
解：（1）函数 f(x)的定义域为(0,+∞)............................................................................1分
x−1 1 1 1
f′(x)=lnx+ =lnx+1− ，f′′(x)= + >0..............................................2分
x x x x2
所以函数 f′(x)在(0,+∞)上单调递增，又 f′(1)=0..................................................3分
所以当x∈(0,1)时 f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时 f′(x)>0.
所以 f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)..................................4分
（2）法一：
1
当x∈( ,1)时， f(x)−(−x+e+1)=(x−1)lnx+x−1=(x−1)(lnx+1)...............6分
e
1
因为x∈( ,1)，所以x−1<0，且lnx+1>0,
e
所以(x−1)(lnx+1)<0,
数学参考答案第 4 页 共 5 页所以 f(x)−(−x+e+1)<0，即 f(x)<−x+e+1.....................................................8分
1
法二：当x∈( ,1)时，设g(x)= f(x)−(−x+e+1)=(x−1)lnx+x−1，
e
1 1 1
则g′(x)= f′(x)+1=lnx− +2，g′′(x)= + >0............................................5分
x x x2
1 1
所以函数g′(x)在( ,1)上单调递增，又g′( )=1−e<0，g′(1)=1>0,
e e
1
由零点存在定理，存在唯一x ∈( ,1)，使得g′(x )=0,
0 e 0
1
当x∈( ,x )时g′(x)<0；当x∈(x ,1)时g′(x)>0.
e 0 0
1
所以g(x)在( ,x )上单调递减，在(x ,1)上单调递增............................................7分
e 0 0
1
又g( )=g(1)=0，所以g(x)<0，
e
所以 f(x)<−x+e+1..................................................................................................8分
1
（3）如图，由(1)可知， f(x)在( ,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
e
1 1 1
因为 f(1)=e， f( )=e+1− ，f(e)=2e−1> f( )，
e e e
1 1
所以b0，
e x e x x2
所以函数h′(x)在(0,+∞)上单调递增，又h′(e)=0，
所以当x∈(0,e)时h′(x)<0；当x∈(e,+∞)时h′(x)>0，
所以h(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，
1
所以h(x)≥h(e)=0，即 f(x)≥(2− )x..............................................................13分
e
1 1
所以b= f(x )≥(2− )x ，所以(2− )x ≤b①................................................14分
2 e 2 e 2
1
由(2)知，当x∈( ,1)时， f(x)<−x+e+1，所以b= f(x )<−x +e+1，
e 1 1
所以x <−b+e+1②..................................................................................................16分
1
1
由①+②得，x +(2− )x
