数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷_260409甘肃省2026届高三第二次模拟考试（甘肃二模）_甘肃省2026届高三第二次模拟考试数学试题

2026 年高三年级第二次模拟考试 数学答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C B A B C 7. 解析： 如图，将正四面体ABCD放于正方体中，使AB，CD分别为相对两面的对角线，则当 M ，N 分别为AB，CD的中点时，MN的长度最小，且等于正方体的棱长，由于正 方体的棱长为 2，故选B. 8.解析： 2 2x 1 1 x 2 f(x)lgx+ ，  f( )lg  lgx ， x+1 x x 1 1x +1 x 1 1  f(x) f( )2，  f(a) f( )2， f(a) f(b)2， x a 1 2x 2  f( ) f(b)，又 f(x)lgx+ lgx+2 在(0,+)单调递增， a x+1 x+1 1 b ，即ab1， a (ab)2 a2 2abb2 a2 b2 2≥2ab24，当且仅当ab1时，“＝” 成立，故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD CD AB 11. 解析：可知曲线E的图象由双曲线x2 y2 4（A，C为其焦点）在第二象限及x轴 负半轴上的点(2,0)，圆x2  y2 4在第三象限内的点，双曲线y2 x2 4（B，D 为其焦点）在第四象限及y轴负半轴上的点(0,2)共同构成，其图象分布在双曲线的渐 数学答案 第1页（共7页） {#{QQABLYS5xgAwkIbACQ4LA0EoCQsYsJEgLEgExUCQKARCiBNABIA=}#}近线yx的左下区域，而直线AB与yx平行，且在其右上区域，所以曲线E与 直线AB没有交点，因此，选项C错误； 易知曲线E关于直线y x对称， 根据双曲线定义，|MA||MC|4，根据对称性，|DN||MC|，而|CD|4， 所以|MA|4|MC||CD||DN|，故选项A正确； 设曲线在第二象限上任意一点Q(x,y)，根据双曲线方程及范围， |OQ| x2  y2  2x2 4> 84 2， 曲线在第三象限上任意一点及(2,0)和(0,2)到原点的距离为2，根据对称性，曲线在 第四象限上任意一点到原点的距离也都大于2，因此选项B正确； 要满足APBP，点P必须在以AB为直径的圆上，而此圆除过原点外，其余点均在 直线yx的右上方区域，与曲线E无交点，故选项D错误. 故选AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2 1  12. 13. (0, ) (e,+) 14. 3 e 6 14.解析：如图，设C为AB中点，连接PC，作OD平面PAB，则垂足D必在PC上， 3 1 2 2 由题意可知PO 3，OD ，则sinCPO ，cosCPO ， 3 3 3 PO 3 6 PC   ， cosCPO 4 由于PAB为等腰三角形， 所以重心G在底边的中线PC靠近点C的三等分点处， 3 6 2 6 PG   ， 4 3 2 6 1 6 作GM PO，垂足为M ，则GM  PGsinCPO   ， 2 3 6 6  可知点G的轨迹是以M 为圆心，半径为 的圆，其面积为 . 6 6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 解：(1) acosAsinB(2ca)sinAcosB， a(cosAsinB+sinAcosB)2csinAcosB， 数学答案 第2页（共7页） {#{QQABLYS5xgAwkIbACQ4LA0EoCQsYsJEgLEgExUCQKARCiBNABIA=}#}asinC2csinAcosB， 1  根据正弦定理可得：ac2accosB，所以cosB ，由于B(0,)，故B . 2 3 …………………………………………5分 (2)由于D为AC中点，所以2BDBC+BA， 7a2+2a+4， a1或a3（舍）， b2 a2+c2 2accosB12+4＝3， b 3， …………………9分  CB 1 2 7 a2 b2 c2， C  ， sinCDB   ， 2 BD 7 7 2 2 7 sinADBsin(CDB)sinCDB . ……………………13分 7 16.（15分） (1) 解：由条件可知：x4，y5， 列出下表 xx －2 －1 0 1 2 y y －1.8 －0.8 0.1 0.8 1.7 (xx)(yy) 3.6 0.8 0 0.8 3.4 (xx)2 4 1 0 1 4 将以上数据代入公式，可得 ^ b =0.86，a^ =1.56， 所以^y =0.86x+1.56， …………………………………………5分 当x10时，^y =10.16（万元）， 故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元. …………………………………………7分 (2)证明：设x表示3件产品中不合格产品的件数，则x B(3,a)， …………………………………………9分 故P(a)C2a2(1a)C3a3， 3 3 P(1a)C2(1a)2[1(1a)]C3(1a)3 C1a(1a)2C0(1a)3， 3 3 3 3 P(a)P(1a)C0(1a)3C1a(1a)2 C2a2(1a)C3a3 (a1a)3 1， 3 3 3 3 …………………………………………13分 数学答案 第3页（共7页） {#{QQABLYS5xgAwkIbACQ4LA0EoCQsYsJEgLEgExUCQKARCiBNABIA=}#}1 1 又 函数的定义域为(0,1)， 函数P(a)的图象关于点( , )对称. ……15分 2 2 17. （15分） 改编自湘教版高中数学选择性必修二106页第11题（长方体截角） (1)证明：连接AC ABCD是矩形， M 是AC的中点， EA平面ABCD，FC 平面ABCD， EA FC， N是EF的中点， MN FC MN 平面DCFG，FC平面DCFG， MN 平面DCFG. …………………………7分 (2)解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)， B(2,3,0)，C(0,3,0)，E(2,0,2)，F(0,3,3)， 3 5 N(1, , )， 2 2 连接GB， EA FC，FC平面DCFG，EA平面DCFG， EA 平面DCFG, 又 AB CD，CD平面DCFG， AB平面DCFG，  AB 平面DCFG, 又 EA平面EAB，AB平面EAB， 且EA AB A， 平面EAB 平面DCFG， G，E，B，F 共面，平面GEBF 平面EABEB， 平面GEBF 平面DCFGGF， GF EB， 同理GE BF， GEBF 为平行四边形， BG EF  N，且N 为GB中点， 可得G(0,0,5)，则GE (2,0,3)，GC (0,3,5)， ………………………11分 设平面EGC的法向量为m(x ,y ,z )， 0 0 0  x 9，  m GE 2x 3z 0，  0 则 0 0 取y 10， 0  m GC 3y 0 5z 0 0，   z 6， 0 数学答案 第4页（共7页） {#{QQABLYS5xgAwkIbACQ4LA0EoCQsYsJEgLEgExUCQKARCiBNABIA=}#}则平面EGC的一个法向量为m(9,10,6)， 又平面DCFG的一个法向量为n(1,0,0)， |m n| 9 9 217 cos m,n    ， |m||n| 217 217 9 217 所以平面EGC和平面DCFG所成角的余弦值为 . ……………………15分 217 18.（17分） 解：(1)由于x2 2py(p>0)过点T(2,1)，则 p2， 所以抛物线C的方程为x2 4y …………………………………………5分 ； 1 x (2)由x2 4y得y  x2，y ， 4 2 所以过T(2,1)的切线l的方程为y1 x2，即y x1， …………………8分 x2 x2 设A(x , 1 )，B(x , 2 )，P(x ,y )，可知x  x ， 1 4 2 4 0 0 1 2 x2 x2 1  2 1 x +x 4 4 AB OT ，k  ，k   1 2 ， x +x 2， …………10分 OT 2 AB x x 4 1 2 1 2 P在切线l上， y  x 1， 0 0 P在直线AB上， AP BP， x2 x2 又 AP(x x ,y  1 )，BP(x x ,y  2 )， 0 1 0 4 0 2 0 4 x2 x2 x x x x x x (x x )(y  1 )(x x )(y  2 )， y  0 (x +x ) 1 2  0  1 2 ， 0 2 0 4 0 1 0 4 0 4 1 2 4 2 4  x x  y  x 1， x 2 1 2，  0 0   0 2 由 x x x 得 …………………………………………12分 y  0  1 2， x x   0 2 4  y 1 1 2，  0 2 x2x2 |PT|2 (x 2)2+(y 1)2 2(x 2)2  1 2 ， 0 0 0 2 x x x x x2 |PA| (x x )2+(y y )2  (2 1 2 x )2+(1 1 2  1 )2 0 1 0 1 2 1 2 4 数学答案 第5页（共7页） {#{QQABLYS5xgAwkIbACQ4LA0EoCQsYsJEgLEgExUCQKARCiBNABIA=}#}x x (2x )(2+x ) x x x (2x ) x (2+x ) x x  (x  1 2 )2+[ 1 1  1 2]2  [ 2 1 ]2+[ 2 1  1 2]2 2 2 4 2 2 4 2 x4 x (2x ) x4 x4 5x4 5  2 +[ 2 1 ]2  2 + 2  2  x2， 4 4 4 16 16 4 2 5 5 8 同理|PB| x2， |PA||PB| x2x2， |PT|2  |PA||PB|， 4 1 16 1 2 5 …………………………………………16分 8 所以是定值 . …………………………………………17分 5 19. （19分） 解：(1)当a1时， f(x)(x1)ex，则 f(x) xex， 当x<0时， f(x)<0， f(x)为减函数，当x>0时， f(x)>0， f(x)为增函数， 所以当x0时， f(x)有极小值，也是最小值，因此，y  f(0)1.………5分 min (2)可知 f(x)(xa+1)ex+(a1)， 令g(x)(xa+1)ex+(a1)，则g(x)(xa+2)ex， 当xa2时，g(x)>0，g(x)为增函数， g(x) f(x)≥ f(a2)ea2+(a1)， ……………………………………7分 令h(a)ea2+(a1)，则h(a)ea2+1， 当a<2时，h(a)>0，h(a)为增函数，当a>2时，h(a)0，h(a)为减函数， h(a)≤h(2)e22+210， 所以当a2时， f(x)≥0恒成立， f(x)在R上为增函数， 当a2时，存在x使 f(x)<0，函数 f(x)不满足在R上为增函数， 所以当a2时， f(x)在定义域内为增函数，所以a的取值集合是{2} ………10分 (3)（i）由 (2)可知，当a2时， f(x)(x2)ex+x为增函数， 所以当x>0时， f(x)(x2)ex+x f(0)(02)e0 02， 即当x>0时，(x2)ex+x>2， 2(x1) 所以当x>1时，(lnx2)x+lnx>2，可得lnx> ； …………………13分 x+1 数学答案 第6页（共7页） {#{QQABLYS5xgAwkIbACQ4LA0EoCQsYsJEgLEgExUCQKARCiBNABIA=}#}n+2 （i i）令x (nN )，则 n + n+2 2( 1) n+2 n 2( n+2 n) ln >  ( n+2 n)2 2(n+1)2 n(n+2) n n+2 n+2+ n +1 n ln n+2ln n>2(n+1)2 n(n+2) ， ln n+1ln n1>2n2 (n1)(n+1) ， …… ln 3ln 1>222 13， 以上n个式子相加得： (n+1+2)n ln n+2+ln n+1ln 2>2 2[ 13+ 24+ + n(n+2)] 2 n2+3n 1 2  13+ 24+ + n(n+2)> + ln ……………………17分 2 4 n2+3n+2 数学答案 第7页（共7页） {#{QQABLYS5xgAwkIbACQ4LA0EoCQsYsJEgLEgExUCQKARCiBNABIA=}#}