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浙江省温州市普通高中2026届高三二模
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知命题p:Bx∈R,x2-x+1≤0,那么P为
A. Vx∈R,x2-x+1>0 B.3x∈R,x2-x+1>0
C. Vx∈R,x2-x+1≤0 D.3x∈R,x2-x+1≥0
【答案】A
【解析】-p:-(3x∈R,x2-x+1≤0)?x∈R,x2-x+1>0.
2-2=11
2.双曲线 的实轴长为
B.√2 D.2√2
A.1 C.2
【答案】D
2-x2=1
=1,a2=2,a=√2,.实轴长=2a = 2√2.
【解析】 可化为
3.若(1-x)3=ao+a,x+a?x2+…+ a?x?,则a?-a+a?-a?+a?-as的值为
A.0 B.16 C.32 D.64
【答案】C
【解析】令f(x)=(1-x)?=a?+ax+a?x2+…+a?x3,则
a?-a?+a?-a?+4?-a,=f(-1)=[1-(-1)]3=2?=32.
f(x)=sin 0x+→)(O>0) (0.)
4.已知函数 在区间 内恰有一个极值点，则①可能的取值为
A.4 B.2
C.2 D.4
【答案】C
f'(x)=cos ax+若),
【解析】
m(ox+-)-0=mx+-+加÷*e2
极值点满足00,且a?=aq”1,
a,(q?-1)=15,a,(q3-q)=6.
q=2
-1- 9+9-1)-→?2+1- 2~2-5+2=0=q=2或。
又a(q3-q)=6>0,且a>0,∴q>1,故q=2,a,(8-2)=6=a?=1,
∴a?=a?q2=4.
6.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次，甲、乙两人去询问成绩，
组织者对甲说：“很遗撼，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这
五名同学的名次排列的种数为
A.24 B.54 C.72 D.120
【答案】B
【解析】1甲最后一名有C;A=18个结果；
2°甲不是最后一名有CC?A=36个结果；18+36=54.
7.已知圆台的上下底面的半径分别为1和3,圆台的侧面积为16π,若圆台内接于球0,则球0的半径为
B.3 c.232
A.2√2 D.√21
【答案】C
【解析】设圆台母线长为 ,高为h,则π(1+3)1=16π=1=4.
又I2=h2+(3-1)2→16=h2+4→h=2√3.
作圆台的轴截面，得一等腰梯形，其上、下底长分别为2,6,高为2√3.
在截面内建系：下底端点为(-3,0),(3,0),上底端点为(-1,h),(1,h),设外接圆圆心为(0,c),半径为，则r2=32+c2=I2+(h-c)2.
代入h=2√3,9+c2=1+(2√3-c2=13-4J3c+c2,
4√5c=4=c=方2=9+÷=3,=18-232
8.已知O为坐标原点，直线 与X轴交于Q点，与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，且07.0B=-4,则
Be?B2=1
^241QB=1
D.eB?-
ce41QB4
【答案】D
【解析】Q(n,0),设AB:x=my+n,A(x,y?),B(x?,y?)
{=4”
,消可得2-4my-4n=0,y,y?=-4n,xx2==166=n2
OA·OB=x?x?+y?y?=n2-4n=-4,∴n=2,∴ y?y?=-8,x,x?=4
Q4|=√1+m2|p|,IQB|=√1+m2|v?|
16?÷+1Nm2+1m+1
y+y-4 G2+
非定值
(m2+1)”(2+-2-2121
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据x?,x?…,x。,且 x0,得y0
,故新数据的方差大于原
数据的方差，C对.
对D,y?=x,+5=M+5,D对.
10.已知函数 f(x)=x3-3a2x(a>0)的极大值点和极小值点分别记为x?和 x?,过点
M(x,f(x,)),N(x?,f(x?1)分别作x 轴的平行线交f(x)的图象于点C,A,过点M,N 构造矩形
ABCD,如图所示，则下列说法正确的是
A.X?-x?=2a
B.点M为线段CD的三等分点
C.当a=1时，四边形 ABCD为正方形
D.当a=1时，四边形AMCN 为菱形
【答案】AC【解析】f'x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),r<-af'(x>0,
-aaj'(x|>0,故x?=-a,x?=a,则x?-x=2a,A对.
M(-a,2a3),N(a,-2a3).由x3-3a2x=2a3=(x+a)2(x-2a)=0,得
C(2a,2a3);由x3-3a2x=-2a3=(x-a)2(x+2a)=0,得A(-2a,-2a3).
故B(2a,-2a3),D(-2a,2a3).对B,CD=4a,DM=a,MC=3a,
DM:MC=1:3,B 错.
对C,当a=1时，AB=4,AD=4,故四边形 ABCD 为正方形，C对.
对D,当a=1时，A(-2,-2),M(-1,2),C(2,2),N(1,-2),AM=√17,MC=3,CN=√17,NA=3,四边
形 AMCN 不是菱形，D错.
11.若曲线I满足条件：存在正数a和点PeI,对于任意点AeI,总存在点BeT,使得 |PA|·PB|=a,则
称该曲线是“a- 封闭曲线”,则下列曲线是“a- 封闭曲线”的是
A.2x1+y2=1 B.x2+xy=1
C.x2+y2=sin2x+cos2y
D. sin(x+2y)=2x-y
【答案】AC
P(0,0),IAPL=-2,APL=1,
【解析】方法一：对于A,取
a=2
m— ℃?
由 P4]. PB|= 对VA∈r.|APl=.1
令 ,此时
符合，A正确.
0
x≠0.: y=1-x=-x
对于B,显然 ,作出该函数图象，∵该图象是无界的，当PA→+0 时，但对给定的PeI而言，|PB…是一个具体的正数，|PA·PB|→+∞0,矛盾，B错.
-1 0 1
对于C,x2+y2=sin2x+cos2y,它关于X轴，y轴及坐标原点均对称且x2+y2≤2,.该曲线厂上的点均
在⊙:x2+y2=2的内部，图象是有界的，取 P(0,0),设 PA…=λ,PA=μ,取a=ip,由
PB=Pa [,μA,C正确。
PA|·|PB|=λμ,对VA∈r,PA∈[λ,川],此时
对于D,当x→+∞时，y=2x-sin(x+2y)→+∞0(:2x→+00,sin(x+2y)=[-1,1):曲线
sin(x+2y)=2x-y图象无界，当PA→+∞0 时，对给定的PeI而言，|PB…是一个具体的正数，此时
PA||PB|→+∞0,这与|PA|·|PB|=a,a为有限数矛盾，D错.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.card(A)表示有限集合 A中元素的个数，已知 card(AUB)=25,card(A)=22,card(B)=20,则
card(A∩B)=____
【答案】17
【解析】card(A∩B)=card( A)+card(B)-card(AUB)=22+20-25=17.
13.若 为虚数单位，则i+2i2+3i3+…+10i=____.
【答案】-6+5i
【解析】设s=i+2i2+3i3+…+10i°,
则s=(i+2i2+3i3+4i?)+(5i3+6i?+7i1+8i?)+(9i?+10i?).
i+2i2+3i3+4'=i-2-3i+4=2-2i,53+6i?+7i+8i3=5i-6-7i+8=2-2i,
9i3+1011?=9i-10..s=(2-2i)+(2-2i)+(9i-10)=-6+5i.
14.已知圆O?:(x+1)2+y2=1与圆O?:(x-2)2+(y-3)2=r2,则圆0,,02的公切线最多有___条；该情
况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是____.
【答案】4;2√17【解析】公切线最多有四条，且00?半径为2时，00?与00?的两条公切线一条为V轴(x=0)(记为 ),
另一条为y=1(记为I?),另两条为L,l?,设两侧公切线满足LOl?,l?nl,l?∩l均在V轴，方程为
y=kx+b,
L
B
O?
山
D A
E I?
c,O?
C
F
或
y=9+√7x+3+√7,1:y=9-√7x3-27
∴直线l:
直8 0.;y=x+1.y,=3.=-4+√7-1,
=41-7-1)25. D=417.5me-17×4=217
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图所示，三棱锥 A-BCD中，BC⊥BD,AD⊥BD,且 BC=√2,BD=AD=1,E,F分别为
AB和CD的中点.
(1)证明：BD上存在点P,使得 AD/1面PEF;
2)当=4
时，求二面角B-AC-D的正弦值.
【解析】(1)证明：取BD中点P,∵E 为AB中点，∴AD//PE-
∵ADa[平面PEF,PE c 平面PEF,.AD//平面PEF.
(2)如图建系，∴B(0,0,0),c(√2,0,0),D(0,1,0),设A(m,1,n)
A
y
E
y)
D
F
B C T
DA=(m,0,n),BC=(√2,0,0)
-=m=ns0
面 4D)=1m2+72=1=m=n=2(上
Bc=(12.0.0,πc=(-1-).c=(-2.1.0)
设平面ABC与平面ACD的一个法向量分别为π=(x,y,z,),n?=(x?,y?,z?)
鲁一第45-(01-3)
--=-(五三-)
设二面角B-AC-D的平面角为0,:
.5in0=-5
16.已知函数f(x)=Inx+ax+一，b∈(0.1).
(1)当a=0时，若f(x)的值域为[0,+∞],求b的值；(2)若x=1为f(x)的极小值点，求实数a的取值范围.
f(x)=lnx+,f'(x)=↓-=
【解析】(1)当a=0时，
当0b时，f"(x)>0,
∴f(x)在r=b处取得最小值.
x→0?→f(x)→+00,x→+∞0→f(x)→+00
∴f(x):n=f(b)=Inb+1
∵f(x)的值域为 (0,+∞),Ib+1=0=b=
(2)f(x)=1+a-=ax+x-b
∵x=1为f(x)的极小值点，f'(1)=0=a+1-b=0=a=b-1
f'x)=16-1)2+x-b_(x-1)[(6-1)x+b]
代入得
要使x=1为极小值点，则x=1附近应有(b-1)x+b>0,2b-1>0=b>2
又：b∈(0.1), 0= cosB=-…B=23
(2)取坐标系：B(0.0),4(10),c(-2.20).a=BC>0
C
D
A
P
B
设∠ABD=9,0≤ps23,BP=A (cosp,sig).
由CB·CP=CD·CP,得(CB-CD)·CP=0= DB·CP=0.
又 P∈BD,故CP⊥BD.
于是(BP-BC)-(cosφ.sino)=0→z-acos(223--0→元=acos(2-φ
记s=PA3+PC2,则s=|BP-BA2+|BP-BC2
又 BC·BP=aicos 3-0)=λ2=|BP,
2o(--9 Joso=co-+ os(2-)-- +cs(20-)0os90.
由积化和差，
2cs --) cos=cos3-+cos 20--3)-+cs(20-),
由积化和差，
s=1+a2+-cos(2-)21+a2--(a一二)+15216
故
.-16
.取等当且仅当)BC=4,∠ABD=3故A1.0,c(-一-
(3)当 取最小时，
-9(-)
直线 BD方程为y=√3x.直线AC方程为
5=--(-)=0=1.(1-)
联立得
BA D=(L0) (1-)-
于是
∴B=3,(Pa2+PC2)-16,BA·BD=1
4
19.已知曲线 E:+方=1(b>0)与点P(√5,0),0
为原点，动点Q∈E,且∠OPQ的最大值为
(1)求曲线E的方程；
(2)已知有n+1个点A,,A?,A?,…,A,按逆时针顺序依次在E上，且 A,(2,0),A,(-2,0).
(i)当A,A关于y轴对称，且△0A?A,的面积为1时，求直线 A4的斜率；
ii)当△OA?(1≤k≤n)的面积都相等时，记多边形A?A,A2…A,的周长为C.若对于VneN',都有
C.<λ,求整数λ的最小值.
【解析】(1)设过点P(√5,0)的切线为y=m(x-√5).
-1320-)2-05 y 20-6=-0
联立
→△=0,(8√5m2)2-4(b2+4m2)(20m2-4b2)=0
切线
→16b2(b2-m2)=0=m2=b2.
又∠OPQ 取最大值时，PQ为切线，且 tan∠OPQmx=|m|=b.
cOPe--→=b=1.:.E:+y2=1.
E:4+y2=1.
(2)由(1)知椭圆为(i)设 A。(2cosa,sina).A?(-2cosa,sina),a=().4,(2cos0,sino),0=(π-α,π).
SAo?= sin(θ-α)|=1.
又0<θ-a<.,.:sin(θ-a)=1=θ-α=2
4=[2sf(a+),sin(a+2)=(-ino,cosa) =-2sma+-2cosa-
12
∴直线 A4的斜率为
ii)设A?=(2cosθ,,sinθ,),0=θ?<θ?<…<θ。=π,
α =θ?-θ?-∈(0,π),k=1,2,…,n.
则SAOA,4=sin(θ-θ???)=sinag·
题目条件为各面积相等，sina?=sina?=…=sinαn.
当n=2时，设A?=(2cosa,sina),α∈(0,π).
记P?=A?A?+A?A2·
则AA?=√{2-2cosa)2+ sin2α=√s-8cosα+3cos2α,
A,A?=√{-2-2cosa)2+sin'a =√5+8cosa+3cosia.
设c=cosα,则p?=√5-8c+3c2+√5+8c+3c2,
p2=10+6c2+2√9c'-34c2+25.又(5-3c2)2-(9c?-34c2+25)=4c2≥0,
√9c?-34c2+25≤5-3e2.: p2≤10+6c2+2(5-3c2)= 20,p?≤2√5<5.
当n≥3时，若存在α?≠α,,由sina,=sinα,α,α,=(0,π)得α?+α,=π.
又n≥3,其余各α>0,α?+α?+…+α。>π,这与α?+a?+…+α?=θ-θ?=π矛
盾.…u?=a,=…=a,=34=(2c ,sin)
P.=44
4.4=4 cos-“-c(-1))+ si”-;n(K-1)
记 .则=4:im2- (1+3m212-))
24AE-m14212-J
×2:;12-)A=2-2,(2-1=2,
24.A4 =10si
由柯西不等式.D2≤≥42=10n2sin22
又sin?袭<2～,p2<10n2.4n2-522<25.:p<5.
又 A,A?=4,∴C,=Pa+4<9.
取n=2,4=(0,1),则满足面积相等，
且C?=AA?+A?4?+A?A?=√5+√5+4=4+2√5>8.:.λ>8.
又对一切满足条件的n,都有C,<9..λmin=9.
