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2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价三
数学学科
考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（共58分）
一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分)
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 ，可得 ，解得 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 .
2. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为 ， ， ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为 .
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知 ， 为虚数，则 的值可能为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 且 ，根据复数的运算由 得 ，进而得 ，即可求
解.
【详解】设 且 ，由 得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
故A正确，B错误，C错误，D错误.
故选：A.
4. 一个圆台的母线长为 ，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆台的结构特征求出圆台的高，然后利用圆台的体积公式求出其体积即可.
【详解】取上下底面的圆心，则 即为圆台的高 ，如图所示，
在 中， ，
根据勾股定理可得 .
所以圆台的体积为 .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，得 ，解得 ，则“ ”是“ ”
的充分不必要条件.
6. 设双曲线 的焦距为 ，若 成等差数列，则该双曲线的渐近线
方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线中 的关系和等差数列可求答案.
【详解】因为 成等差数列，所以 ，又 ，所以 ，
即 ，所以 .
该双曲线 渐近线方程为 .
的
故选：B
7. 已知 满足 ，且当 时， ，则
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学科网（北京）股份有限公司的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值.
【详解】由 ，可知函数图像关于 对称，
又 ，由累加法可得：
，
又 ，
所以 ，
故选：B
8. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，圆 ： 与 交于 ， 两点，
若直线 与直线 的斜率之积为 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先由已知条件解出 ， 两点坐标，再由焦半径公式求得 .
【详解】由圆 ： 可知，圆心 ，半径为 .
而圆 和抛物线 都关于 轴对称，则可设 ， .
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 .
因为点 在圆 上，又有 ，即 ，
而 ，则解得 ，所以 .而点 又在抛物线 上，
则有 ，所以 ，则 .
所以 .
二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数 越大，则线性相关性越强
B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C. 随机变量 的方差 ，期望 ，则
D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学
生的数学成绩的方差为10.8
【答案】BD
【解析】
【详解】A：样本相关系数 的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误；
B：该组数据共8个数据，又 ，
因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即 ，因此B正确；
C：因为 ，由方差 ，期望 ，可得 ，即C错
误.
D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为 ，
因此方差为 ，即D正确.
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知 的左、右焦点分别为 ，长轴长为 ，点 在椭圆 外，
点 在椭圆 上，则下列说法中正确的有（ ）
A. 椭圆 的离心率的取值范围是
B. 椭圆 上存在点 使得
C. 已知 ，椭圆 的离心率为 ，则 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，根据条件得 ，再利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为以
原点为圆心， 为半径的圆与椭圆 有交点，即可求解；对于C，根据条件求出椭圆方程，再利用椭圆的
参数方程，即可求解；对于D，根据椭圆的定义得 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】对于A，由题意可知 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
因为 在椭圆 外，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，由选项A知 ， ，所以 ，所以 ，
则以原点为圆心， 为半径的圆与椭圆 有四个交点，
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学科网（北京）股份有限公司不妨设其中一个交点为 ，由圆的性质可知， ，所以椭圆 上存在点 使得 ，
故B正确；
对于C，由离心率 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
设点 ，则
，
当 时， 有最大值为 ，此时 ，故C正确；
对于D， ，
，
当且仅当 ，即点 位于上下顶点时， 有最小值 ，故D错误.
11. 定义：若函数 在区间 的值域为 ，则称区间 是函数 的“完美区间”.另外，
定义区间 的“复区间长度”为 .已知函数 ，则下列说法中正确的是:( )
A. 是 的一个“完美区间”
B. 是 的一个“完美区间”
C. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
【答案】AC
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】按照 和 两种情况讨论求解，当 时，按照 ， ， 分类讨论求
解，利用“完美区间”的定义，结合函数的单调性求解.
【详解】 ， 的值域为 ，
设 的“完美区间”为 ，则 ，
当 时， ， 在 是单调递减函数，
为 的最大值， 为 的最小值，
， ，此时， ，
当 时，①若 ， ，
， ，
在 是单调递减函数，在 是单调递增函数，
为 的最小值， 的最大值为 和 中最大的一个，
当 时， ， ，则 为 的最大值，
， ，满足 ，
此时， ；
当 时， ， ，则 为 的最大值，
， ，不满足 ，舍去；
②若 时， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司在 是单调递减函数，在 是单调递增函数，
为 的最小值，而 ，这与 矛盾，不符合题意；
③若 时， ， ，
在 是单调递增函数，
为 的最小值， 为 的最大值，
， ， ， 不符合题意；
综上可知， 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 ，
故选项A和C正确.
故选：AC.
第II卷（共92分）
三、填空题(每题5分，共15分)
12. 已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，求出 的值，再计算 的值.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
13. 甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不
同的排法有______种．
【答案】8
【解析】
【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】先安排甲、乙，有 种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有
种方法；
又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有 种方法；
所以不同的排法共有 （种）排法.
故答案为：8
14. 已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】化简题目条件得 ，构建函数 ，因为 是正
实数，故此函数单调递增，得到 ，代入 ，求导分析其最值.
【详解】由 ，
整理得 ，
化简得： ，
设函数 ，可知函数 在 内单调递增，
由 可得 ，即 ，代入 得 ，
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
故当 时， 取得最小值，此时 ，最小值为 .
故答案为：
四、解答题(共5题，满分77分)
15. 已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意整理可得 ，进而可得 ，即可得结果；
（2）整理可得 ，利用裂项相消法运算求解.
【小问1详解】
因为 ，且 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 对任意 恒成立，可得 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）可知： ，
则 ，
可得 ，
所以 .
16. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发
展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买 手机的情况，得到数据如下表.
购买无 技术的手
购买 手机 总计
机
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买 手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进 手机的销量，该商场为购买 手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，
分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为 和 ，其余情况不中奖.每位顾客允许
连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为 元，求随机变量 的数学期望.
参考公式及数据：① ，其中 ．
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学科网（北京）股份有限公司② , , , ．
【答案】（1）有 的把握认为购买 手机与顾客的性别有关.
（2）
【解析】
【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可.
(2)先列出随机变量 的分布列，再由分布列求出期望值.
【小问1详解】
假设 :购买 手机与顾客性别无关.
根据公式 ，
因为 ，所以假设不成立，
即我们有 的把握认为购买 手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01.
【小问2详解】
可能取的值为0，100，200，300，400，
每次抽奖不中的奖的概率为 ，中 元概率为 ，中 元概率为 ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 的分布列为
0 100 200 300 400
所以期望为 .
17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）若 是边 上一点， ， ，求 的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合分式有意义得到 ，根据二倍角公式、辅助角公式得到 ，进而求出角
及 .
（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.
【小问1详解】
由题意知， ，即 ，即 .
因为 ，所以 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又 ， ，
所以 或 ，所以 （舍）或 ，
因为 ，所以 ，则 .
【小问2详解】
方法一：设 ，则 ， ，
在中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
由 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
联立解得 ， ，
所以 的周长为 .
方法二：设 ，则 ， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，故 ，
所以 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
联立解得 ， ，所以 的周长为 .
18. 对于函数 ，若 ，则称实数 为函数 的不动点，设函数
， .
（1）若 ，求函数 的不动点；
（2）若函数 在区间 上存在两个不动点，求实数 的取值范围；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 和
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由 ，化简得到 ，即可求解；
（2）根据题意，将方程 ，化简得到 ，利用换元法和对勾函数的性质，即可求
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学科网（北京）股份有限公司解；
（3）根据题意，将不等式化为 ，利用指数函数的单调性，得到
，分类参数转化为 在 上恒成立，结合函数的单调性，即可
求解.
【
小问1详解】
解：当 时，方程 ，即为 ，
即 ，可得 ，
解得 或 ，可得 或 ，
所以函数 的不动点为 和 .
【小问2详解】
解：由方程 ，可得 ，
即 ，可得 ，即为 ，
令 ，当 时，可得 ，
因为函数 在区间 上存在两个不动点，
可得关于 的方程 在 上有两个不等的实数根，
令 ，可得 在 单调递减，在 单调递增，
且 ，
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学科网（北京）股份有限公司则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【小问3详解】
解：不等式 ，可化为 ，
由函数 在 上单调递减函数，
可得 ，
因为对任意 ，不等式 恒成立，
即对任意 ，不等式 ，即 ，
可得 ，即为 ，
所以 在 上恒成立，
令 ，当 时，可得 ，
由题意得，对任意 ，不等式 恒成立，
函数 在 上为单调递增函数，所以 ，
函数 在 上为单调递减函数，所以 ，
所以 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上可得，实数 的取值范围为 .
19. 如图（1），已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的动直线 与 交于A，B两点
（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线 相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将 沿
CD折成直二面角 ，如图（2）．
（1）证明： ；
（2）当 最小时，
①求 ， 两点间的最小距离；
②当 ， 两点间的距离最小时，在三棱锥 内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体
积的最大值．
【答案】（1）证明见详解
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）做辅助线，根据垂直关系可得 ， ，结合直角三角形三角关系分析证
明；
（2）①根据三角知识结合基本不等式可得 ，利用弦长公式求得 ，分
和 两种情况，结合基本不等式分析求解；②设相应量，可得 ，可得圆柱的体
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学科网（北京）股份有限公司积 ，构建函数 ，利用导数求最值.
【小问1详解】
过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，
由 平面 ，可得 ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
由 平面 ，可得 ，
则 ，
.
所以
【小问2详解】
因为以AB为直径的圆与准线 相切于点C，可知 ，
则 ，
由（1）可得：
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 最小，
①因为 平面 ， 平面 ，则 ， ，
即 ，
在 中，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，
在 中，则
，
在 中，则 ，可得 ，
由题意可知：焦点 ，准线 ，直线 的斜率存在，且直线 与抛物线必相交，
设直线 ， ，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，
可得 ，
当 时， 取到最小值2，根据对称性可知 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ；
当 时，则 ，且 ，
由基本不等式可得 ，
则 ；
综上所述： 的最小值为2，当且仅当 ， 时，等号成立，
所以 ， 两点间的最小距离为 ；
②由（1）可知：当 ， 两点间的距离最小时，则 ， ，
为
可知 中点，且 与 重合，
因为 ，
设 的内切圆半径为 ，
由等面积法可得： ，解得 ，
设圆柱的底面半径为 ，高为 ，
则 ，可得 ，
所以圆柱的体积 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以圆柱体积的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：对于（2）中：
①利用勾股定理结合余弦定理整理可得 ；
②根据锥体的结构特征分析可得 ，进而可求圆柱体积.
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学科网（北京）股份有限公司
