文档内容
高考标准仿真卷·仿真卷 5
1．D [因为集合A＝{x|x2＋3x＋2＞0}＝{x|x＜－2或x＞－1}，所以B A．故
选D．]
⊆
2．C [在(1＋2x)5＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x5中，令x＝0，得15＝a ，所以a ＝
0 1 2 5 0 0
1．令x＝1，得35＝a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ，所以a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝35－a ＝
0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0
242．故选C．]
3．B [由题意，得a＋b＝－c，所以c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b＝
1 a·b 1
3，所以a·b＝ .设a与b的夹角为θ(θ∈[0，π])，则cos θ＝ ＝ ，所以θ
2 |a||b| 2
π
＝ .故选B.]
3
4．B [记事件A 为取出的一个零件是第一台车床加工的，事件 A 为取出的一
1 2
2
个零件是第二台车床加工的，事件 B为取出的一个零件是合格品，则 P(A )＝
1 3
1
，P(A )＝ ，P(B|A )＝1－0.03＝0.97，P(B|A )＝1－0.02＝0.98，故P(B)＝P(B|
2 3 1 2
2 1 73
A )P(A )＋P(B|A )P(A )＝0.97× ＋0.98× ＝ .故选B.]
1 1 2 2 3 3 75
( π) π
5．B [将函数f (x)＝A sin ωx+ (A，ω∈R)的图象向右平移 个单位长度后
4 4
[ ( π) π] [ (π ωπ)] 1
得到函数g(x)＝A sin ω x- + ＝A sin ωx+ - ＝ cos x，可得A
4 4 4 4 2
1 1
＝ ，ω＝－1，所以A＋ω＝－ .故选B.]
2 2
6．A [圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为C(0，－2)，半径为r＝2，
因为⃗CA⊥⃗CB且|CA|＝|CB|＝2，故△ABC为等腰直角三角形，且|AB|＝√2|CA|＝
1
2√2，则圆心C到直线AB的距离为d＝ |AB|＝√2，由点到直线的距离公式可得
2
|m+2|
d＝ ＝√2，解得m＝－4或0.故选A.]
√2
7．D [对于AB，当λ＝1时，f (x)＝ax＋a－x，当a＞1时，f (x)在(－∞，0)上
单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，f (x)在(－∞，0)上单调递
减，在(0，＋∞)上单调递增．当λ＝－1时，f (x)＝ax－a－x，当a＞1时，f (x)
在R上为增函数；当0＜a＜1时，f (x)在R上为减函数，故A，B不正确．对
1/9于CD，当λ＝1时，f (x)＝ax＋a－x，f (－x)＝a－x＋ax＝f (x)，所以f (x)为偶
函数，故C不正确，D正确．故选D．]
8．D [由y＝xex，得y′＝(x＋1)ex，
x ex 0 -b
设切点为(x ，x ex 0)，则(x +1)ex 0 ＝ 0 ，整理得(x2-ax -a)ex 0＝－b，
0 0 0 x -a 0 0
0
由题意知关于x 的方程(x2-ax -a)ex 0＝－b有三个不同的解．
0 0 0
令f (x)＝(x2－ax－a)ex，则f ′(x)＝(x＋2)(x－a)ex，
由f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝a，又a＞0，
所以当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；
当x∈(－2，a)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
又当x→－∞时，f (x)→0，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，
4+a
且f (－2)＝ ，f (a)＝－aea＜0，
e2
画出函数f (x)的大致图象如图．
4+a
因为f (x)的图象与直线y＝－b有三个交点，所以0<－b< ，即－(a＋4)＜
e2
be2＜0．故选D．]
9．AC [对于A，数据x ，x ，…，x 的方差s2＝0，则x ＝x ＝…＝x ，所以选
1 2 n 1 2 n
项A正确；对于B，数据x ，x ，…，x 的均值为3，则数据y ，y ，…，y (其
1 2 n 1 2 n
中y＝2x＋1(i＝1，2，…，n))的均值为2×3＋1＝7，所以选项B错误；对于
i i
C，数据x ，x ，…，x 的中位数为90，则根据中位数的定义可以估计总体中至
1 2 n
少有50%的数据不大于90，所以选项C正确；对于D，样本数据具有随机性，
所以样本的众数不一定是总体的众数，所以选项D错误．故选AC．]
10．BC [对于选项A，因为(1＋i)z＝－i，所以|z|＝＝＝，所以选项A错误；
对于选项 B，|z z |＝|z |·|z |成立，所以选项 B 正确；对于选项 C，设 z ＝a＋
1 2 1 2 1
bi，z ＝c＋di，a，b，c，d∈R，则＝a－bi，＝c－di，所以z z ＝(a＋bi)(c＋di)
2 1 2
＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，所以＝(ac－bd)－(ad＋bc)i．因为·＝(a－bi)(c－di)＝
(ac－bd)－(ad＋bc)i，所以＝·，所以选项C正确；对于选项D，设z＝x＋yi，
2/9x，y∈R，则由|z－2|≤2，可得(x－2)2＋y2≤4，其构成以(2，0)为圆心，2为半
径的圆及其内部，所以集合M所构成区域的面积为4π，所以选项D错误．故选
BC．]
11．ACD [斗笠的轴截面如图所示，由题意可知 SB＝20，
AB＝20，O为AB的中点，连接SO，
OB 10√3 √3
则 sin ∠OSB＝ ＝ ＝ ，所以∠OSB＝60°，则
SB 20 2
∠ASB＝120°，所以选项A正确；当截面三角形过斗笠顶点和斗笠侧面上两条
互相垂直的母线时(因为轴截面的顶角为120°，所以两条母线可以垂直)，截面
1
三角形的面积最大，且最大值为 ×202＝200(cm2)，所以选项B错误；若此斗
2
笠的顶点和底面圆上所有点都在同一球面上，则该球为外接球，设此球的半径
为R，球心为O ，则O 到S，A，B的距离相等，O 在SO的延长线上，作出点
1 1 1
O ，连接 AO ，因为此斗笠的高 h＝SO＝√202-(10√3) 2＝10，所以 OO ＝R－
1 1 1
10，在Rt△AOO 中有R2＝(R－10)2＋(10√3)2，解得R＝20，则该球的表面积S
1
＝4πR2＝1 600π(cm2)，所以选项C正确；
将此斗笠放在平面上，可以盖住的球的半径最大，则此时球为圆锥的内切球，
设内切球的半径为r，即轴截面三角形的内切圆的半径为r，
1 1
所 以 △ SAB 的 面 积 S ＝ (20+20+20√3)r ＝ ×20√3×10 ， 解 得 r ＝
△SAB 2 2
(20√3-30) cm，所以选项D正确．故选ACD.]
3π
12．3 [在△ABC中，B＝ ，b＝6，a2+c2＝2√2ac，由余弦定理得 b2＝a2
4
3π
＋c2－2ac cos B＝2√2ac－2ac cos ＝3√(2)ac，解得ac＝6√2，所以S
4 △ABC
1 1 √2
＝ ac sin B＝ ×6√2 × ＝3.]
2 2 2
√5-1
13． [由题知，AB⊥x轴，OA＝OB，则△OAB为等腰直角三角形，不妨
2
(
b2
) (
b2
)
b2
设点A在第一象限，所以A c， ，B c，- ，所以c＝ ，所以b2＝ac＝
a a a
√5-1
a2－c2，所以e2＋e－1＝0，解得e＝ (负值舍去)．]
2
14．18 2n＋2·(－1)n [当n＝4时，对区域1，3分类讨论，若区域1，3同色，
则第一步栽植区域1有3种方案，第二步栽植区域2有2种方案，第三步栽植区
3/9域3有1种方案，第四步栽植区域4有2种方案，所以共有3×2×1×2＝12(种)
方案；若区域1，3不同色，则第一步栽植区域 1有3种方案，第二步栽植区域
2有2种方案，第三步栽植区域 3有1种方案，第四步栽植区域 4有1种方案，
所以共有3×2×1×1＝6(种)方案．所以a ＝12＋6＝18．
4
当有n＋1个区域时，若不考虑区域1和区域n＋1是否同色，则第一步给区域1
栽植有3种方案，第二步给区域2栽植有2种方案，第三步给区域3栽植有2种
方案，…，第n＋1步给区域(n＋1)栽植有2种方案，所以共有3×2n种方案，这
3×2n种方案中包含区域1和区域(n＋1)同色和不同色两种情况．若区域 1和区
域(n＋1)不同色，则共有a 种方案，若区域1和区域(n＋1)同色，则可以把这
n＋1
两个区域看作一个区域，记为区域①，则给区域①，2，3，…，n栽植，由题
意可知有a 种方案，所以a ＋a ＝3×2n，
n n＋1 n
即a －2n+1＝－(a －2n)，所以数列{a －2n}(n≥4)是等比数列，且公比为－1，
n＋1 n n
所以a －2n＝(a －24)·(－1)n-4＝(－1)n·2，(注：当n∈Z时，因为n－4与n的
n 4
奇偶性相同，所以(－1)n-4＝(－1)n．)所以a ＝2n＋2·(－1)n．]
n
{S } S S
15．解：(1)证明：设等差数列 n 的公差为d，则 4＝ 1＋3d，即S ＋3d＝5.
n 4 1 1
①
因为S ＝a ＋a ＝S ＋4，
2 1 2 1
S S
由 2＝ 1＋d，得S ＋2d＝4.②
2 1 1
由①②解得S ＝2，d＝1，
1
S
所以 n＝n＋1，即S ＝n(n＋1)，
n n
当n≥2时，a ＝S －S ＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，
n n n－1
当n＝1时，a ＝S ＝2，对上式也成立，
1 1
所以a ＝2n(n∈N僾)．
n
因为当n≥2时，a －a ＝2，
n n－1
所以数列{a }是等差数列．
n
b a 2n n
(2)由(1)可知 n+1＝ n ＝ ＝ ，
b a 2n+4 n+2
n n+2
b b b n-1 n-2 n-3 1 12
当n≥2时，b ＝ n · n-1·…· 2·b ＝ · · ·…· ×6＝
n b b b 1 n+1 n n-1 3 n(n+1)
n-1 n-2 1
.
4/9因为b ＝6满足上式，
1
12 (1 1 )
所以b ＝ ＝12 - (n∈N*)，
n n(n+1) n n+1
[( 1) (1 1) (1 1 )]
则T ＝12 1- + - +…+ -
n 2 2 3 n n+1
( 1 ) 12
＝12× 1- ＝12－ .
n+1 n+1
12
因为当 ∈N*时，n＝1，2，3，5，11，
n+1
所以M＝{6，8，9，10，11}．
16．解：(1)由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合
15 3
格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率 P ＝ ＝ ，乙流水
甲 50 10
线生产的产品为不合格品的概率P ＝(0.012＋0.028)×5＝0.2，
乙
若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，
3
则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：5 000× ＝1 500 件，5
10
000×0.2＝1 000件．
(2)2×2列联表：
产品
流水线 不合 合计
合格
格
甲 35 15 50
乙 40 10 50
合计 75 25 100
100×(350-600) 2
则χ2＝ ≈1.3<2.072＝x ，依据小概率值α＝0.15的χ2独立性检
0.15
50×50×75×25
验，没有充分证据认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两
条流水线的选择有关”．
17．解：(1)证明：如图，取 SB 的中点 M，连接 FM 和 MA，则 MF∥BC，且
1
MF＝ BC，
2
5/91
因为E是AD的中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥BC，且AE＝ BC，
2
所以MF∥AE，且MF＝AE，
所以四边形AEFM为平形四边形，所以EF∥AM，
因为EF与底面ABCD所成角为45°，所以AM与底面ABCD所成角为45°，
因为SA⊥平面ABCD，SA 平面SAB，所以平面SAB⊥平面ABCD，
因为AM 平面SAB，所以∠MAB即为AM与底面ABCD所成角，即∠MAB＝
⊂
45°，
⊂
所以△SAB为等腰直角三角形，则AM⊥SB．
因为SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC．
又因为AB⊥BC，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AM．
⊂
因为BC∩SB＝B，所以AM⊥平面SBC，所以EF⊥平面SBC．
(2)以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间
直角坐标系，
1
若EF＝ BC，设BC＝2，则EF＝1，
2
连接AC，取AC的中点H，连接FH，EH，
因为F，H分别为SC，AC的中点，故FH∥SA，
因为SA⊥平面ABCD，所以FH⊥平面ABCD，
所以FH⊥HE，所以∠FEH＝45°，
√2
所以EH＝FH＝ ，CD＝AB＝√2，SA＝√2，
2
所以D(0，2，0)，B(√2，0，0)，S(0，0，√2)，C(√2，2，0)，
6/9则⃗SC＝(√2，2，－√2)，⃗BC＝(0，2，0)，⃗CD＝(－√2，0，0)，⃗SD＝(0，2，－
√2)．
设平面BSC的法向量为n＝(a，b，c)，
{n·⃗SC=√2a+2b-√2c=0， {b=0，
则 则
n·⃗BC=2b=0， a=c，
取a＝c＝1，则n＝(1，0，1)．
设平面SCD的法向量为m＝(x，y，z)，
{m·⃗SD=2y-√2z=0， { x=0，
则 则
m·⃗CD=-√2x=0， 2y=√2z，
取z＝√2，则y＝1，则m＝(0，1，√2)，
m·n √2 √3
则cos 〈m，n〉＝ ＝ ＝ ，
|m||n| √2×√3 3
√3
则平面SCD与平面BSC夹角的余弦值为 .
3
18．解：(1)由题意得f ′(x)＝ae2x＋(2a－1)ex－2＝(aex－1)(ex＋2)，x∈R.
①当a≤0时，f ′(x)＜0，所以f (x)在R上单调递减．
1
②当a＞0时，令f ′(x)＝0，得x＝ln ＝－ln a，
a
令f ′(x)＜0，则x＜－ln a；令f ′(x)＞0，则x＞－ln a，
所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)得，当a≤0时，f (x)在R上单调递减，
所以f (x)在R上至多有一个零点，
所以a≤0不符合题意．
当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增，
1 1
所以f (x) ＝f (－ln a)＝ - ＋2ln a.
min 2 2a
①当a≥1时，f (－ln a)≥0，所以f (x)在R上至多有一个零点，所以a≥1不符
合题意．
②当0＜a＜1时，f (－ln a)＜0，
a 1 2a-1 3 1 1
因为f (－1)＝ · + ＋2－ ＞ - ＞0，
2 e2 e 2 2 e
所以f (x)在(－1，－ln a)上有一个零点．
1
设g(x)＝ex－1－x－ x2，x＞0，g′(x)＝ex－1－x，
2
7/9令k(x)＝ex－x－1，x≥0，k′(x)＝ex－1，当x＞0时，
k′(x)＞0，k(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g′(x)＞g′(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)
上单调递增，
1 1
所以g(x)＞g(0)＝0，所以ex－1－x－ x2＞0，得ex＞1＋x＋ x2，
2 2
a 8 a( 8 1 64) 16
所以 ·e ＞ 1+ + · ＞4＋ ，
2 a 2 a 2 a2 a
(8) a
所 以 f ＝ ·e
a 2
8
16 8 16 3 a 16 8 16 3 8(a ) 16 3
＋(2a－1)e － - ＞ ·e －e － - ＝e ·ea -1 - - ＞
a a a 2 2 a a a 2 a 2 a 2
a 8 16 3 16 16 3 3
·e －1－ - ＞3＋ - - ＝ ＞0，
2 a a 2 a a 2 2
所以f (x)在(－ln a，＋∞)上有一个零点，此时f (x)在R上有两个零点，所以0
＜a＜1符合题意．
综上，实数a的取值范围为(0，1)．
19．解：(1)因为2b＝2，所以b＝1，
√ b2 √2
又因为e＝ 1- ＝ ，所以a2＝2，
a2 2
x2
则椭圆C的标准方程为 ＋y2＝1.
2
(2)(ⅰ)证明：设P(x ，y )，过P点与椭圆C相切的直线方程为y＝k(x－x )＋y ，
0 0 0 0
{y=k(x-x )+ y ，
0 0
联立 x2 得(1＋2k2)x2＋4k(y －kx )x＋2(kx －y )2－2＝0，
+ y2=1， 0 0 0 0
2
y2-1 3-x2-1
由Δ＝0，得(x2-2)k2-2x y k+ y2－1＝0，可得k k ＝ 0 ＝ 0 ＝－1.
0 0 0 0 1 2 x2-2 x2-2
0 0
(ⅱ)设M(x ，y )，N(x ，y )，再设PM：y＝k (x－x )＋y ，
1 1 2 2 1 1 1
{y=k (x-x )+ y ，
1 1 1
联立 x2
+ y2=1，
2
得(1+2k2)x2+4k (y –k x )x+2(k x －y )2－2＝0.
1 1 1 1 1 1 1 1
x y x
由 Δ＝0，得(x2-2)k2-2x y k + y2－1＝0，则 k ＝ 1 1 ＝ 1 ，PM：y＝
1 1 1 1 1 1 1 x2-2 -2y
1 1
8/9x
1 (x－x )＋y ，即x x＋2y y＝2，
-2y 1 1 1 1
1
同理PN：x x＋2y y＝2，
2 2
因为P(x ，y )在直线PM，PN上，所以直线MN的方程为x x＋2y y＝2，
0 0 0 0
与椭圆方程联立，可得(3+ y2)x2-4x x+4-4 y2＝0，
0 0 0
4x 4-4 y2
所以x ＋x ＝ 0 ，x x ＝ 0，
1 2 3+ y2 1 2 3+ y2
0 0
√ x2 √ x2 √ 16x2 16-16 y2 2√3(y2+1)
所以|MN|＝ 1+ 0 |x －x |＝ 1+ 0 · 0 - 0＝ 0 .
4 y2 1 2 4 y2 (3+ y2) 2 3+ y2 y2+3
0 0 0 0 0
2 2
O到MN的距离d＝ ＝ ，
√x2+4 y2 √3 y2+3
0 0 0
1
2√3(y2+1)
2
2√y2+1
所以S ＝ · 0 · ＝ 0 ，y ≠±1，
△OMN 2 y2+3 √3 y2+3 y2+3 0
0 0 0
令√1+ y2＝t，则t∈[1，√2)∪(√2，2]，
0
2
[2 √2)
所以S ＝2 ∈ ， .
△OMN +t 3 2
t
[2 √2)
所以△OMN面积的取值范围为 ， .
3 2
9/9
