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高考标准仿真卷·仿真卷 6
1．B [由ex2－2x≤1＝e0，得x2－2x≤0，所以0≤x≤2，即A＝{x|0≤x≤2}，又
B＝{－1，0，1}，则A∩B＝{0，1}，所以{0，1}的非空子集个数为 22－1＝3.
故选B.]
2 ． B [ 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 则
z＝a－bi(a，b∈R)．由|z＋2i|＝|z|，得|a＋(b＋2)i|＝|a＋bi|，所以a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，解得b＝－1，所以z
的虚部为－b＝1.故选B.]
3．D [三本书都不含杨辉的著作有C3种，从7本书中抽取3本书有C3种，故从
5 7
C3
5
7本书中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率P＝1－ 5＝ .故选D.]
C3 7
7
| 2e |
4．C [根据题意，f (x)＝ln +a ＋b，
ex-1
{
ex-1≠0，
1 a-2e
则有 2e 解得x≠ 且x≠ ，
+a≠0， e ae
ex-1
| 2e |
若 f (x)＝ln +a ＋b 为奇函数，f (x)的定义域关于原点对称，则有
ex-1
1 a-2e | 2e | | ex+1|
＝- ，解得a＝e，则f (x)＝ln +e ＋b＝ln e× ＋b，
e ae ex-1 ex-1
| ex+1| | ex-1|
故f (x)＋f (－x)＝2b＋ln e× ＋ln e× ＝2b＋2＝0，解得b＝－1.
ex-1 ex+1
故选C.]
5．B [根据已知条件，|2a＋b|＝√|2a+b| 2 ＝√(2a+b) 2 ＝√4a2+b2+4a·b
√ ( 1)
＝ 4+36+4×1×6× - ＝2√7.故选B.]
2
6．C [如图，取BC的中点N，连接MN，ND，B C，因为M为棱BB 的中点，
1 1
1
所以MN∥B C，MN＝ B C.
1 2 1
1/8因为A B ∥CD，A B ＝CD，
1 1 1 1
所以四边形A B CD为平行四边形，
1 1
所以B C∥A D，B C＝A D，
1 1 1 1
1
所以MN∥A D，MN＝ A D，
1 2 1
可得梯形MNDA 为平面A DM所在的截面，则体积较小的部分为三棱台 BMN-
1 1
AA D，
1
1 1
由正方体的棱长为4，得S ＝ ×2×2＝2，S ＝ ×4×4＝8，
△BMN 2 △AA 1 D 2
1
所以V＝ (S +S +√S ·S )·AB
3 △BMN △AA 1 D △BMN △AA 1 D
1 56
＝ ×(2＋8＋4)×4＝ .故选C.]
3 3
π π π
7．B [由 cos α，cos ( α- ) ，cos ( α+ ) 成等比数列，得 cos2 ( α- ) ＝
6 3 6
π
cosαcos ( α+ ) ，
3
1 (1 √3 ) 1 1+cos2α √3 1 1
即 ＝cos α cosα- sinα ＝ · - sin 2α，所以 + cos 2α＋
2 2 2 2 2 4 2 4
√3 1 1 √3 √3
sin 2α＝ + cos 2α－ sin 2α，解得sin 2α＝－ .
4 4 4 4 6
故选B.]
8．D [因为函数y＝f (x＋1)－1是奇函数，所以f (－x＋1)－1＝－[f (x＋1)－
1]，即f (x＋1)＋f (－x＋1)＝2，两边同时求导，得f ′(x＋1)－f ′(－x＋1)＝0，
1 1
即f ′(x＋1)＝f ′(－x＋1)．因为当x< 时，f (x)＝ln (1－2x)，所以当x< 时，f ′(x)
2 2
-2
＝ .所以f (2)＝2－f (0)＝2，f ′(2)＝f ′(0)＝－2.所以曲线y＝f (x)在x＝2处
1-2x
的切线方程为y－f (2)＝f ′(2)(x－2)，即y－2＝－2(x－2)，即y＝－2x＋6.故选
D.]
9．ABC [对于A选项，当a＝0，b＝－1时，a>b成立，但a2>b2不成立，当a
＝－1，b＝0时，a2>b2成立，但a>b不成立．所以“a>b”是“a2>b2”的既不
充分也不必要条件，所以 A 选项正确．对于 B 选项，lg (3－x)<0 0<3－
x<1 22”是“lg (3－x)<0”的必要不充分条件，所以B选项正
⇔
确．对于C选项，根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知 C选项正确．
⇔
2/8对于D选项，取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，所以D选项错误．
故选ABC.]
10．BC [选项A：假设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，
当事件A，B是两个互相独立的事件时，有P(AB)＝P(A)P(B)，故A选项错误；
选 项 B ： (3x ＋ 2y ＋ z)5 ＝ [(3x ＋ 2y) ＋ z]5 ＝
C0(3x+2y) 5+C1(3x+2y) 4z+C2(3x+ 2y) 3z2+C3(3x+2y) 2z3+C4(3x+2y)z4＋
5 5 5 5 5
C5z5，
5
则(3x＋2y＋z)5的展开式中xy3z项出自C1(3x＋2y)4z，
5
又(3x＋2y)4的展开式的通项公式为T ＝Ck(3x)4-k·(2y)k，
k＋1 4
令k＝3，则(3x＋2y)4的展开式中第四项为C3(3x)4-3·(2y)3＝96xy3，
4
则(3x＋2y＋z)5的展开式中xy3z项的系数为480，故B选项正确；
选项C：当个位上放置0时，有A4＝120(个)无重复数字且能被5整除的五位数；
5
当个位上放置5时，有C1 A3＝96(个)无重复数字且能被5整除的五位数．则用
4 4
数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被 5整除的五位数有216个，
故C选项正确；
选项D：概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说
明天气预报不科学，故D选项错误．故选BC.]
2x 2x
11．ACD [对于A项，由题得f ′(x)＝1＋ln x－ ＋t＝ln x－ ＋t＋1，令
e e
1 2 e-2x e
g(x)＝f ′(x)，则 g′(x)＝ - ＝ (x>0)，令 g′(x)＝0 得 x＝ ，易得 g(x)在
x e ex 2
( 0， e)上单调递增，在(e ，+∞ )上单调递减，所以 g(x)max＝g (e)＝1－ln 2
2 2 2
＋t，由题意可知g(x)有两个变号零点，故g(x) ＝1－ln 2＋t>0，即t>ln 2－1，
max
故A项正确；对于B项，曲线y＝f (x)在点(e，f (e))处的切线的斜率k＝f ′(e)＝
t，若该切线与直线x－y＝0垂直，则k＝－1，即t＝－1，与t>ln 2－1矛盾，故
2x
B项不正确；对于C项，由题易知f ′(x )＝0，即ln x － 1＋t＋1＝0，则f (x )
1 1 e 1
x2 x2
＝ x ln x － 1+tx -1＝ 1－ x － 1 ， 由 A 项 可 知 0 x x ，只需证 + > ，即证 + > 2 1 ，设 2＝
1 2 e 1 2 x x e x x x -x x
1 2 1 2 2 1 1
1 1
t(t>1)，则只需证t－ >2ln t(t>1)，构造函数h(t)＝t－ －2ln t(t≥1)，则h′(t)＝1
t t
1 2 (t-1) 2
＋ - ＝ ≥0，所以h(t)在[1，＋∞)上单调递增，故h(t)≥h(1)＝0，所以
t2 t t2
1
t－ >2ln t(t>1)，故D项正确．故选ACD.]
t
12．8 [由题意，知a，b>0.
因为lg a＋lg b＝lg (ab)，所以lg (ab)＝lg (a＋2b)，所以ab＝a＋2b，等号两边
1 2
同 时 除 以 ab 可 得 ， + ＝ 1 ， 所 以 ab ＝ a ＋ 2b ＝ (a ＋ 2b)
b a
(2
+
1)
＝
4b
+
a
+4≥2
√4b
·
a
＋4＝8，当且仅当
4b
＝
a
且
2
+
1
＝1，即 a＝
a b a b a b a b a b
4，b＝2时等号成立．故ab的最小值为8.]
13．[0，3] [由题意知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1的圆心坐标为(a，a－2)，
半径为1.设点M的坐标为(x，y)，由|MA|＝2|MO|，得√x2+(y+3) 2 ＝2√x2+ y2，
即x2＋(y－1)2＝4，故点M的轨迹为以点(0，1)为圆心，2为半径的圆．
又点 M 在圆 C 上，即圆 C 和点 M 的轨迹有公共点，所以 1≤√a2+(a-2-1) 2
≤3，解得0≤a≤3，所以实数a的取值范围是[0，3].]
14．(8，11) 330 [由题意，编号为1的同学看到自己的数对是(5，6)，则编号
为2的同学看到自己的数对是(6，8)，编号为3的同学看到自己的数对是(8，
11)．
依题意，a ＝5，a －a ＝k(k∈N*且 k≤n)，所以 a －a ＝k－1(k∈N*且
1 k＋1 k k k－1
2≤k≤n)，所以a ＝a ＋(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )＝5＋1＋2＋3＋…＋
k 1 2 1 3 2 k k－1
(k－1)＝5＋＝(k∈N*且2≤k≤n)，又a ＝5＝，所以a ＝(k∈N*且k≤n)．令a ＝
1 k k
＝305，得k＝25，所以数对(305，q)对应的同学的编号为25，所以q＝a ＝a
26 25
＋25＝305＋25＝330．]
15．解：(1)因为 2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，由正弦定理得 2cos C(sin A
cos B＋sin B cos A)＝sin C，
即2cos C sin (A＋B)＝2cos C sin C＝sin C，因为sin C>0，所以cos C＝，由
C为三角形内角得C＝．
4/8(2)若cos A＝，则sin A＝，
所以sin 2A＝2sin A cos A＝2××＝，cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝－，所以
sin(2A＋C)＝sin 2A cos C＋sin C cos 2A＝×－×＝．
(3)因为△ABC的面积S＝ab sin C＝，所以ab＝6，
由余弦定理得7＝a2＋b2－ab，
所以a＝2，b＝3或a＝3，b＝2．
16．解：(1)证明：因为四边形ABCD为直角梯形，
∠DAB＝60°，CD＝1，AB＝3，
所以AD＝4，BC＝2．
因为PC＝BC＝2，∠PCB＝60°，
所以△PBC为正三角形，
因为F为BC的中点，所以PF⊥BC．
又平面ABCD⊥平面PCB，平面ABCD∩平面PCB＝BC，PF 平面PCB，所以
PF⊥平面ABCD，
⊂
又AD 平面ABCD，所以PF⊥AD．
(2)以F为坐标原点，FB，FP所在直线分别为y轴、z轴，过点F且垂直于直线
⊂
BC的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则P(0，0，3)，A(3，，0)，B(0，，0)，D(1，－，0)，
设E(0，0，a)，则＝(3，，－3)，＝(2，2，0)，＝(0，－，a)．
设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，
所以即
令x＝，则y＝－1，z＝，所以n＝，
设直线BE与平面PAD所成角为α，
则sin α＝＝＝，
所以a＝2．
所以当EF＝2时，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为．
17．解：(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
5/8f ′(x)＝2ax－＝．
①当a≤0时，f ′(x)＜0恒成立，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当a＞0时，令f ′(x)＞0，解得x＞，
令f ′(x)＜0，解得x＜，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)证明：f (x)＋g(x)＝xex－ln x－1，
要证f (x)＋g(x)≥x，即证xex－ln x－1－x≥0恒成立，
令h(x)＝xex－ln x－1－x，x＞0，
则h′(x)＝(x＋1)ex－－1＝(x＋1)．
令k(x)＝ex－，则k(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因为k＝－2＜0，k(1)＝e－1＞0，
所以存在x ∈，使k(x )＝ ex 0－＝0，
0 0
所以h(x)在(0，x )上单调递减，在(x ，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(x )＝x ex 0
0 0 0 0
－ln x －1－x ，
0 0
又因为k(x )＝ex 0－＝0，
0
所以ex 0＝，所以x ＝－ln x ，
0 0
代入h(x )中得h(x)≥h(x )＝1＋x －1－x ＝0，
0 0 0 0
所以xex－ln x－1－x≥0，
则f (x)＋g(x)≥x恒成立．
18．解：(1)依题意得，
所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)圆x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径r＝，当直线AB的斜率不存在时，直线
AB的方程为x＝或x＝－，
联立⇒y＝±，
联立⇒y＝±，
所以|AB|＝2；
当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为y＝或y＝－，
联立⇒x＝±，
联立⇒x＝±，
6/8所以|AB|＝2；
当直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，由
于直线AB和圆x2＋y2＝2相切，
所以＝⇒b2＝2(1＋k2)，
联立消去y并化简得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－6＝0，
Δ＝16k2b2－4(1＋2k2)(2b2－6)＝48k2＋24－8b2＝48k2＋24－8×2(1＋k2)＝32k2＋
8>0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x ·x ＝，
1 2 1 2
所以|AB|＝·
＝·
＝·＝2·
＝2·＝2·>2，
另一方面，由于4k2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当4k2＝，k2＝时等号成立，
所以2·≤2·＝3，即2<|AB|≤3．
综上所述，|AB|的取值范围是[2，3]．
19．解：(1)粒子在第2秒末可能运动到点(1，1)，(2，0)，(0，2)，(0，0)，(1，
－1)，(－1，1)，(－1，－1)，(－2，0)，(0，－2)的位置，则X的所有可能取值
为－2，0，2，
P(X＝－2)＝＝，P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X －2 0 2
P
数学期望E(X)＝(－2)×＋0×＋2×＝0．
(2)(ⅰ)粒子奇数秒后不可能回到原点，故p ＝0．
3
粒子在第4秒后回到原点，分两种情况考虑：
①每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有A种情形；
②每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有2C
种情形，
所以p ＝＝．
4
第2n秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动(n
7/8－k)步，向下移动(n－k)步，
故p ＝∑ ＝∑
2n
＝·∑
＝·C∑CC
＝·C∑ (C)2＝·(C)2，
故p ＝·(C)2＝·(C)2＝·．
2n
(ⅱ)证明：由＜n！＜可知，C＝＞＝，
于是p ＝·(C)2＞．
2n
令f (x)＝x－ln (1＋x)，x＞0，
则f ′(x)＝1－＝＞0，
故f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f (x)＞f (0)＝0，于是x＞ln (1＋x)(x＞0)，
从而有S ＝∑p ＞∑ ＞∑ln ＝ln (n＋1)．
n 2k
记[x]为不超过x的最大整数，则对任意常数M＞0，
当n≥[e6M]时，n＞e6M－1，于是S ＞ln (n＋1)＞M．
n
综上所述，当n≥[e6M]时，S ＞M成立，因此该粒子是常返的．
n
8/8
