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高考标准仿真卷·仿真卷 4
1．A [因为单位向量e ，e 的夹角为120°，所以(2e －e )·e ＝2e ·e －e2＝2|
1 2 1 2 2 1 2 2
( 1)
e |·|e |cos 120°－|e |2＝2×1×1× - －12＝－2．故选A．]
1 2 2 2
2．D [由题图可知，A⊗B＝{x|x∈(A∪B)，且x∉(A∩B)}，
因为A＝{x|x＝2n＋1，n∈N，n≤4}＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，3，4，5，
6，7}，
则A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{3，5，7}，
因此，A⊗B＝{1，2，4，6，9}．故选D．]
3．D [对于A，y＝ln |x|的定义域为{x|x≠0}，故A错误；对于B，y＝x3是奇函
数，故 B 错误；对于 C，2|x x |＝(2|x |)|x |，故 C 错误；对于 D，|x x |＝|x |·|
1 2 1 2 1 2 1
x |，且y＝|x|是R上的偶函数，故D正确．故选D．]
2
4．B [由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记
为{a }，则一位自然数有 3 个，两位自然数有C1C1＝6(个)，三位自然数有
n 2 3
C1C1C1＝18(个)，由0，2，4组成可重复数字的四位自然数，按从小到大的顺
2 3 3
序依次为2 000，2 002，2 004，2 020，2 022，2 024，…，故2 024为第6个四
位自然数．因为a ＝2 024，则n＝3＋6＋18＋6＝33．故选B．]
n
5．C [根据题意，设r ＝a，圆台的内切球的半径为 R，则r ＝2r ＝2a，R＝
1 2 1
2，如图为该几何体的轴截面，其中圆 O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O
与梯形的腰相切于点E，与上、下底面分别切于点O ，O ，则有ED＝a，EA＝
1 2
2a．又易知OD，OA分别为∠EDO ，∠EAO 的平分线，所以∠DOA＝90°．在
1 2
Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝ED·EA，即4＝2a2，解得a＝√2．因为半
径为2的球与圆台的上、下底面均相切，则圆台的高 h＝2R＝4，故圆台的体积
1 1 56π
V＝ (πr2+πr2+√πr2·πr2) h＝ ×(2π+8π+√16π2)×4＝ ．故选
3 1 2 1 2 3 3
C．]
6．A [不妨设M在y轴的正半轴，设M(0，t)，t＞0，由于△MF F 为等腰三角
1 2
1/9√3 ( √3 )
形，∠F MF ＝120°，所以t＝ c，故M 0， c ，设MF 的中点为N，由于
1 2 3 3 2
(c √3 ) b √3 b c
F (c，0)，所以 N ， c ，N 在渐近线 y＝ x 上， c＝ · ，所以
2 2 6 a 6 a 2
b √3 c √ (b) 2 √ 1 2√3
＝ ，所以e＝ ＝ 1+ ＝ 1+ ＝ ．故选A．]
a 3 a a 3 3
π
( )
7．C [根据函数f (x)＝A cos (ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜ 的部分图象，
2
M (- π ，0 ) ，N (2π ，-2 ) ，
12 3
3 2π 2π π
得A＝2， × ＝ + ，所以ω＝2，
4 ω 3 12
2π
再根据五点法作图，得2× ＋φ＝π＋2kπ，
3
π π
所以φ＝－ ，故f (x)＝2cos ( 2x- ) ．
3 3
5π
将函数 f (x)的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g(x)＝2cos
6
( 2x+ 5π - π)＝－2cos ( 2x+ π )的图象，
3 3 3
π π π
令2kπ≤2x＋ ≤2kπ＋π，k∈Z，求得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
3 6 3
则函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z．故选C．]
f (x) (x+a)ex
8．B [令g(x)＝ ＝ (x＞1)，对任意x ＞x ＞1都有x f (x )－x f (x )
1 2 1 2 2 1
x x
f (x ) f (x )
＜0，即对任意x ＞x ＞1， 1 ＞ 2 ，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
1 2 x x
1 2
x(x+1+a)ex-(x+a)ex (x2+ax-a)ex
所以g′(x)＝ ＝ ≥0，即当x＞1时，x2＋ax－
x2 x2
x2 ［(x-1)+1］ 2 1
a≥0恒成立，分离参数a，得－a≤ ＝ ＝x-1+ ＋2(x＞
x-1 x-1 x-1
1) ， 因 为 当 x ＞ 1 时 ， x － 1 ＋
1 √ 1 ( 1 )
+2≥2 (x-1)· +2＝4 当且仅当x-1＝ ，即x＝2时取等号
x-1 x-1 x-1
，所以－a≤4，所以a≥－4．故选B．]
2/9( 2) 6
9．CD [ x+ 的展开式共有7项，所有项的二项式系数之和为26＝64，所以
x
选项 A 错误，选项 D 正确； ( x+ 2) 6 展开式的通项 T ＝Ckx6-k(2) k ＝2kCk x6-
x k＋1 6 x 6
2k，令6－2k＝0，得k＝3，所以常数项为23×C3＝160，所以选项 B错误；在
6
( x+ 2) 6 中，令x＝1，得所有项的系数之和为 36＝729，所以选项C正确．故选
x
CD．]
10．ABC [若事件A与B相互独立，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，可得P(AB)
P(A)P(B)
＝P(A)·P(B)，则P(A|B)＝ ＝P(A)，故A正确；
P(B)
在回归分析中，对一组给定的样本数据(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y )而言，残
1 1 2 2 n n
差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故 B
正确；
( 1)
若随机变量ξ服从二项分布B 4， ，则E(ξ)＝1，
4
E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝5，故C正确；
随机变量X服从正态分布N(0，1)．
( 1) ( 1)
可得μ＝0，σ2＝1，则P |X|< ＝1-2P X≥ ，故D错误．故选ABC．]
2 2
11．ABD [对于A，因为f (x)＝sin (sin x)＋cos (cos x)，所以f (x＋2π)＝sin [sin
(x＋2π)]＋cos [cos (x＋2π)]＝sin (sin x)＋cos (cos x)＝f (x)，所以函数f (x)的一
个周期为2π，所以A正确；对于B，f ′(x)＝cos (sin x)·cos x－sin (cos x)·(－
π
( )
sin x)＝cos x·cos (sin x)＋sin x·sin (cos x)>0在 0， 上恒成立，所以函
2
π π
( ) ( )
数f (x)在 0， 上单调递增，所以B正确；对于C，因为f ＝sin 1＋cos
2 2
π √2
0＝sin 1＋1>sin +1＝1+ >√2，所以函数f (x)的最大值不为√2，所以C错
4 2
误；对于D，f (π－x)＝sin [sin (π－x)]＋cos [cos (π－x)]＝sin (sin x)＋cos (－cos
π
x)＝sin (sin x)＋cos (cos x)＝f (x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝ 对称，
2
所以D正确．故选ABD．]
12．1 [根据题意，得2m＋(m－1)i＝－2i(无解)或2m＋(m－1)i＝2，解得m＝
1．]
3/91
13． [因为甲、乙两班人数之比为5∶3，所以设甲班人数为5n，乙班人数为
2
3n，则甲班女生人数为 3n，乙班女生人数为 n，所以进行民意调查的人数为
8n，其中女生人数为4n，所以遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率
4n 1
P＝ ＝ ．]
8n 2
√10
14． [设A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，D(x ，y )，线段AB，CD的中点
3 1 1 2 2 3 3 4 4
{x2 y2
1- 1＝1，
a2 b2
分 别 为 M(x ， y ) ， N(x ， y ) ． 因 为 两 式 相 减 得
M M N N x2 y2
2- 2＝1，
a2 b2
y - y b2 x +x b2 x 1 9b2
1 2＝ · 1 2＝ · M＝- ，所以 y ＝－ ·x ，同理得 y ＝－
x -x a2 y + y a2 y 9 M a2 M N
1 2 1 2 M
9b2 |AB| |PA|
·x ．因为k ＝k ，所以AB∥CD，所以不妨令 ＝ ＝k(k＞0)，
N AB CD
a2 |CD| |PC|
则 ⃗PA＝k⃗PC，⃗AB＝k⃗CD， 所 以
1 1
⃗PM＝⃗PA+⃗AM＝k⃗PC+ ⃗AB＝k⃗PC+ k⃗CD＝k(⃗PC+⃗CN)＝k⃗PN．又⃗PM与
2 2
y -1 y -1
⃗PN有公共点P，所以P，M，N三点共线，所以 M ＝ N ，
x +1 x +1
M N
9b2 9b2
- ·x -1 - ·x -1
即 a2 M a2 N ，
＝
x +1 x +1
M N
(
9b2
)
整理得(x －x ) 1- ＝0．
M N a2
9b2 b2 1
因 为 x ≠x ， 所 以 1 － ＝ 0 ， 所 以 ＝ ， 所 以 E 的 离 心 率 e ＝
M N a2 a2 9
c
＝
√
1+
(b) 2
＝
√10
．]
a a 3
1
15．解：(1)f ′(x)＝ ＋2x＋a，x＞0，
x
3 1 3
由题意知f ′(2)＝ ，即 +4+a＝ ，所以a＝－3．
2 2 2
(2)f (x)的定义域为(0，＋∞)．
由(1)知f (x)＝ln x＋x2－3x＋2，
4/9(2x-1)(x-1)
f ′(x)＝ ．
x
( 1)
当x∈ 0， 时，f ′(x)＞0；
2
(1 )
当x∈ ，1 时，f ′(x)＜0；
2
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0．
( 1) (1 )
所以f (x)的单调递增区间是 0， ，(1，＋∞)，单调递减区间是 ，1 ．
2 2
1 (1) 3
当x＝ 时，f (x)取得极大值f ＝ －ln 2；
2 2 4
当x＝1时，f (x)取得极小值f (1)＝0．
16．解：(1)因为(√3-cosA)c＝a cos c，
所以由正弦定理及题意可得√3sin C－cos A sin C＝sin A cos C，
即√3sin C＝sin C cos A＋sin A cos C＝sin (A＋C)，
而sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
c √3
所以√3c＝b，故 ＝ ．
b 3
√3 √33
(2)由(1)知cos A＝ ，则sin A＝ ，
6 6
√33 √3 √11
所以 sin 2A＝2sin A cos A＝2× × ＝ ，cos 2A＝cos2A－sin2A＝
6 6 6
2 2
(√3) (√33) 5
- ＝- ，
6 6 6
所以sin ( 2A+ π ) ＝ 1 sin 2A＋ √3 cos2A＝ 1 × √11 + √3 × ( - 5) ＝ √11-5√3 ．
3 2 2 2 6 2 6 12
1 √11 9√11
又S ＝ bc sin A＝ c2＝ ，所以c＝3，b＝3√3，
△ABC 2 4 4
√3
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝27＋9－2×3√3×3× ＝27，解得a＝3
6
√3．
17．解：(1)证明：取PA的中点N，连接MN，DN，因为M是PB的中点，故
1
MN 为△PAB 的中位线，即 MN∥AB，且 MN＝ AB，又 AB＝2，CD＝1，且
2
1
AB∥CD，CD＝ AB，所以MN∥CD且MN＝CD，所以四边形MNDC为平行四
2
5/9边形，所以 CM∥DN，因为 CM⊄平面 PAD，DN 平面 PAD，所以 CM∥平面
PAD．
⊂
(2)过点C作CC′⊥AB于点C′，则以点C为坐标原点，分别以CD，CC′，CP所
在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则P(0，0，3)，C(0，0，0)，D(1，0，0)，
( 1 √3 ) (3 √3 ) (3 √3 )
B - ， ，0 ，A ， ，0 ，则⃗PA＝ ， ，-3 ，⃗AB＝(－2，
2 2 2 2 2 2
0，0)．
设平面PAB的法向量m＝(x，y，z)，
{3 √3
{m·⃗PA＝0， x+ y-3z＝0，
则 即 2 2
m·⃗AB＝0，
-2x＝0，
1 ( 1)
取y＝√3，则z＝ ，则m＝ 0，√3， ．
2 2
( 1 √3 )
设⃗PM＝λ⃗PB，又⃗PB＝ - ， ，-3 ，
2 2
则
( λ √3 ) ( λ √3 ) ( λ √3 )
⃗PM＝ - ， λ，-3λ ，M - ， λ，-3λ+3 ，⃗CM＝ - ， λ，-3λ+3
2 2 2 2 2 2
3 1
λ+ (-3λ+3) 3
2 2
所以cos θ＝ ＝ √ ( 9 ) 2 9 ，
√13 √λ2 3λ2 √13× 10 λ- +
× + +(9-18λ+9λ2) 10 10
2 4 4
9
即λ＝ 时，cos θ最大．
10
( 9 9√3 3 ) ( 9 9√3 3 )
此 时 ， M - ， ， ， 所 以 ⃗CM＝ - ， ， ． 又
20 20 10 20 20 10
6/9(3 √3 )
⃗CA＝ ， ，0 ，
2 2
设平面CAM的法向量n＝(a，b，c)，
{⃗CM·n＝- 9 a+ 9√3 b+ 3 c＝0，
20 20 10
则
3 √3
⃗C A·n＝ a+ b＝0，
2 2
取a＝2，则b＝－2√3，c＝12，所以n＝(2，-2√3，12)．
1
所以m·n＝0×2＋√3×(-2√3)＋ ×12＝0，
2
所以m⊥n，
所以平面CAM与平面BAM夹角的大小为90°．
18．解：(1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2．
设“打成10∶10后，甲先发球”为事件A，
则“打成10∶10后，乙先发球”为事件A，
1
且P(A)＝P(A)＝ ，
2
1 1 1 1 1 1 1
所以P(X＝0)＝P(A)·P(X＝0|A)+P(A)·P(X＝0|A)＝ × × + × × ＝
2 3 2 2 2 3 6
，
P(X ＝ 1) ＝ P(A)·P(X＝1|A)+P(A)·P(X＝1|A)＝
1
×
(1
×
1
+
2
×
1)
+
1
×
(1
×
1
+
1
×
2)
＝
1
，
2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2
1 2 1 1 1 2 1
P(X＝2)＝P(A)·P(X＝2|A)+P(A)·P(X＝2|A)＝ × × + × × ＝ ，
2 3 2 2 2 3 3
所以X的分布列为
1 1 1 7
故X的均值E(X)＝0× +1× +2× ＝ ．
6 2 3 6
(2)设“第一局比赛甲获胜”为事件B，
由(1)可得P(B|X＝0)＝0，P(B|X＝1)＝P(B)，P(B|X＝2)＝1．
1 1 1
因为P(X＝0)＝ ，P(X＝1)＝ ，P(X＝2)＝ ，
6 2 3
所以由全概率公式得
1 1
P(B)＝P(X＝0)P(B|X＝0)＋P(X＝1)P(B|X＝1)＋P(X＝2)P(B|X＝2)＝ ×0+ P(B)
6 2
7/91
＋ ×1，
3
2 2
解得P(B)＝ ，即第一局比赛甲获胜的概率p ＝ ．
3 0 3
2 2
(3)由(2)知p ＝ ，故估计甲每局获胜的概率均为 ，
0 3 3
设甲获胜时的比赛总局数为Y，则Y＝3，4，5．
因为每局的比赛结果相互独立，
所以P(Y＝3)＝
(2) 3
＝
8
，P(Y＝4)＝C1×
1
×
(2) 3
＝
8
，
3 27 3 3 3 27
P(Y＝5)＝C2×
(1) 2
×
(2) 3
＝
16
，
4 3 3 81
64
故该场比赛甲获胜的概率P＝P(Y＝3)＋P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝ ．
81
19．解：(1)设椭圆E与抛物线G的公共焦点为F(c，0)，由题意得
c √10
{ ＝ ，
√1+32 5
c 2√5
＝ ，
a 5
联立解得c＝2，a＝√5，b＝1，p＝4，
a2-b2＝c2，
p
＝c，
2
x2
所以椭圆E： ＋y2＝1，抛物线G：y2＝8x．
5
(2)设A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，D(x ，y )．
1 1 2 2 3 3 4 4
{
x2
+ y2＝1，
直线l的方程为y＝k(x－2)，与椭圆E的方程联立得 5 化简得(1＋
y＝k(x-2)，
5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
则Δ ＝400k4－20(5k2＋1)(4k2－1)＝20(k2＋1)>0．
1
20k2 20k2-5
所以x ＋x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1+5k2 1 2 1+5k2
|AB|＝√1+k2|x -x |＝√1+k2√(x +x ) 2-4x x
1 2 1 2 1 2
2√5(k2+1)
＝ ．
1+5k2
8/9{ y2＝8x，
将直线l的方程y＝k(x－2)与抛物线G的方程联立得 化简得k2x2
y＝k(x-2)，
－(4k2＋8)x＋4k2＝0．
4k2+8
则Δ ＝(4k2＋8)2－16k4＝64(k2＋1)>0，x ＋x ＝ ．
2 3 4 k2
8(k2+1)
|CD|＝x ＋x ＋4＝ ，
3 4 k2
1 λ 1+5k2 λk2 (20+√5λ)k2+4
所以 + ＝ + ＝ ．
|AB| |CD| 2√5(k2+1) 8(k2+1) 8√5(k2+1)
1 λ 16√5
要使 + 为常数，则20＋√5λ＝4，得λ＝－ ．
|AB| |CD| 5
16√5 1 λ
故存在λ＝－ ，使 + 为常数．
5 |AB| |CD|
9/9
