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届高三四校联考数学参考答案
2026
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D B C A B C
二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的部分得分.
9 10 11
BD ACD ABD
11. 解析：若 在曲线上，则 也在曲线上，故曲线关于x轴对称，A正确；
，曲线内部包含圆 ，B正确；
令 ，则 ，C错误；
在 上单调递增，且 ，从而由 知 。
由 ，从而 ，故
，D正确。
第 II卷 (非选择题 共 92分)
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.把答案填在答题卡的相应位置.
12. 1 13. 80 14. （-1，0）
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）设公差为 ， ， ，两式相减得 ，从而 。 ……2分
，代入 得 ，解得 ，从而 。 ……4分
故 ， . ……6分
（2）由（1）得 ， ，
故 ， ……9分
则 ，
试卷第5页，共5页
学科网（北京）股份有限公司故 . ……13分
16. 【详解】（1）记甲,乙,丙三幅作品通过设计图案环节分别为事件 ，记甲,乙,丙三幅中恰有一幅作
品通过设计图案环节为事件 ，
则 ． ……4分
（2） ． ……8分
（3）记甲,乙,丙三幅作品成为成品的事件分别为 ，
则 ，
由 可取 ， ……9分（不写不扣分）
则 ， ……10分
， ……11分
， ……12分
， ……13分
则 的分布列为
0 1 2 3
……14分
则数学期望 ． ……15分
17.【详解】（1）由题意， ，从而 ， ……2分
，解得 ， 所以抛物线 的方程为 . ……4分
（2）由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设为 ，则 的方程为 ．
由 ，得 ……6分
（不写不扣分）
试卷第4页，共5页设 则 是上述方程的两个实根，于是 ． ……7分
因为 ，所以 的斜率为 ．
设 则同理可得 ……8分
故 ……10分
……14分
当 时等号成立，故 的最小值为64. ……15分
18【. 详解】(1)由题意可知 两两垂直, 以C为原点 所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系 ……1分
， ，
……2分
设平面 的法向量为
令 则 ，取
取平面 的一个法向量 ……4分
……5分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . ……6分
试卷第5页，共5页
学科网（北京）股份有限公司(2)（i）法1：连接 ,过点 作 的垂线交圆 于点Q， 则线段BQ就是点P的轨迹 ……8
分
理由如下：
平面 ， 平面 ， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， ……10分（不证
明扣2分）
圆O半径为2，△OBC为正三角形，由垂径定理可得，线段BQ长度为 ……11分
（另法：平面 平面 ，交线OC，由面面垂直性质定理，得到 ，则 ）
法2：设 ,则 ,
由 得 ……9分
圆心O 到直线 的 距离 为1，所以
所以动点 轨迹形状为线段，长度为 . ……11分
（ii）取 中点 ,连接 ,则有 平面
PM 为 EP 在平面 上的射影，所以 ， ……13分
在 中, ， ……15分
所以EP= ……17分
19.【详解】（1） ，由题意得 ，解得 ……3分
（2）
因为 ,所以 ,故 ， ……4分
若 ,则 恒成立，所以 在 上单调递增，无极值点； ……5
分
若 ,则 恒成立,所以 在 上单调递减，无极值点； ……6分
若 ,由 得 ，在 上, 单调递减,存在唯一的 ，使得
试卷第4页，共5页，当 时, ,当 时, , 所以
在 ( )上 单调递增,在（ ）上单调递减，有一个极值点； ……8分
综上，当 或 时， 在 上无极值点；当 时， 在 上有一个
极值点. （不写综上所述，不扣分）
（3） ,令 是关于 的二次函数，
对称轴为 ，
令 ，则 ，令 ，则 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递增. ……11分
问题可转化为证明 ，即证 ……12分
令 ，则 ， ……13分
令 ，则 ， ……14分
所以 在 上单调递减，且 ， ……15分
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ……16分
所以 ，即 ，证毕. ……17分
试卷第5页，共5页
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