专题10二次函数中面积的最值问题（六大题型）原卷版_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 10 二次函数中面积的最值问题（六大题型） 通用的解题思路： 二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型01 三角形面积最值问题 1．（2024·宁夏银川·一模）如图，二次函数yx26x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与 该函数图象交于点B1，5，与y轴交于点C． (1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB上方，过点P作直线PEx轴于点E，与直线AB交于 点D，设点P的横坐标为m． 1 ①当PD OC时，求m的值； 2 ②设 PAB的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值． 2．（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图，抛物线yx²bxc（b，c 是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B 两点，A2,0，AB6，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)求  CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 3．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，抛物线yax24ax3a交x轴于A,B两点（点A在点B的左 侧），交y轴正半轴于点C,OBOC，点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若tanACP2，求点P的横坐标． (3)平面上有两点Mm,m3,Nm2,m5，求 PMN的面积的最小值． 4．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习） ABC中，BAC 90，AB2，AC 4， 点 P从点C出发，  沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点 B 出发，沿射线BA方向运 动．设运动时间为x （x2且x4）秒， △APQ的面积为S． (1)当0x2时， 如图①， 求S与x的函数关系式； (2)当2x4时， 如图②， 求S的最大值； (3)若在运动过程中，存在两个时刻x，x，对应的点P和点Q分别记为 P，P 和Q，Q ， 对应的△APQ 1 2 1 2 1 2 1 1 和△APQ 的面积分别记为S 和S ，且当CP PP 时，S =S ，请求出x 的值． 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 5．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的 坐标为1,0，与y轴交于点C0,3，直线CD: y2x3与x轴交于点D．动点M 在抛物线上运动，过 点M 作MPx轴，垂足为点P，交直线CD于点N ． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P在线段OD上时，VCDM 的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理 由； (3)点M 在运动过程中，能否使以C，N，M 为顶点的三角形是以NM 为腰的等腰直角三角形？若存在，请 直接写出点M 的坐标．3 6．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数 y x 3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线 3 3 y x2bxc的图象经过A、B两点． 3 (1)求二次函数的表达式； (2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使 PAB的面积最大？若存在，请求出 PAB面   积的最大值及点P的坐标，请说明理由． 7．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx3与x轴交于点A，与y轴交 于点C，过A，C两点的抛物线yax2bxc与x轴交于另一点B1,0，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角 形与 BOC全等，请直接写出点P的坐标． 8．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线yx2bx3与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交 于点C，且OBOC． (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求 PBC的最大面积；  (3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN 与直线CM 的交点始终在直线y2x9上， 求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标． 9．（2024·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2bxc与x 轴交于点 B，A(3,0)， 1 与y轴交于点C(0,3)． (1)求直线AC和抛物线的解析式． (2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底 的等腰三角形? 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 △PAC面积的最大值．10．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线yax2bx3与x轴交于点A1,0、B3,0两点，与y轴交于点 C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接CF、BF ，求 CFB面积的最大值；  ②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若 DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．  11．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线y x3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经 过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出当x3x2bxc时，x的取值范围； (3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PEBC于点E，连接OE．求△BOE面积的最 大值及此时点P的坐标．12．（2024·天津西青·一模）已知抛物线yx24ax12a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左 边），与y轴交于点C． (1)若点D4,12在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点A的坐标； ②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当 PAD面积最大时，求点P的坐标  及 PAD面积的最大值；  (2)已知点Q的坐标为2a,8a，连接QC ，将线段QC 绕点Q顺时针旋转90，点C的对应点M 恰好落在 抛物线上，求抛物线的解析式． 3 13 ．（2024·山东临沂·二模）如图，抛物线yax2  xc与x轴交于点A和点B4,0，与y轴交于点 2 C0,2，连接BC，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最 大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值； (3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在DCBABC，请帮 助小明求出DCBABC时点D的坐标．14．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与轴交于A，B点， 与y轴交于点C0,3，点B的坐标为3,0，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积 的最大值； (3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形；若不存在，请说 明理由． 15．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线yx12k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与 y轴相交于点C0,3．设P点在抛物线上运动，横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)当P点位于第四象限时，求 BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；  (3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为 h． ① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．16．（22-23 九年级下·重庆·阶段练习）抛物线 yax²bx5经过点A1,0和点B5,0．该抛物线与直线 1 y  x  5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和 2 直线CD交于点 M、N． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)连接PC、PD，如图1，在点P运动过程中， PCD的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；  若不存在，说明理由； (3)连接PB，过点 C作CQPM，垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得  CNQ与  PBM 相似？ 若存 在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由．17．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx3与x轴分别相交于A、B 两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(3，0)． (1)求出这条抛物线的函数表达式； (2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线l  y轴，直线l与△ABD的外接圆相交于 点E． ①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P． ②连接BC、CE，BC与直线DE的交点记为Q，如图3，设△CQE的面积为S，在点D运动的过程中，S 是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．18．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在 ABC中，AB AC，ADBC于点D，BC 10cm，AD8cm，  点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底 边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点 C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒t 0． (1)AH __________，EF __________（用含t的式子表示）． (2)在整个运动过程中，所形成的! PEF的面积存在最大值，当! PEF的面积最大时，求线段BP的长； (3)是否存在某一时刻t，使! PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．19．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc过点(3,4)，交x轴于点 A(1,0)，B两点，交y轴于点C(0,2)． (1)求抛物线的表达式； (2)连接AC，BC，M 为线段AB上一动点，过点M 作MD∥BC交直线AC于点D，连接MC，求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标； (3)在（2）中△MDC面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移 2个单位长度，P是平移 后的抛物线上一动点，连接CP，当PCM 与△OBC的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 20．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知抛物线yax2bxc经过A1,0,B3,0,C0,3三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值； (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．21．（2024·甘肃天水·一模）如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A,B两点，D是抛 2 物线的顶点．O为坐标原点．A,B两点的横坐标分别是方程x24x120的两根，且cosDAB ． 2 (1)求抛物线的函数解析式； (2)作AC  AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式； (3)在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点 P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由． 22．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3与x轴交于点A1,0和点B3,0， 与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当  PBC面积最大时，求点P的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点 的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2024·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线yx2分别交x轴、y轴于A、B两点，过 点C2,2作x轴垂线，垂足为D，连接BC．现有动点P、Q同时从A点出发，分别沿AB、AD向终点B和 终点D运动，若点P的运动速度为每秒 2个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时 间为t秒． (1)求A、B两点的坐标； (2)当CQ∥AB时，t __________； (3)设  CPQ的面积为y，写出y与t的函数关系式，并求  CPQ面积的最大值； (4)当  CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值． 24．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线yx2bxc过点A1,0、点B5,0，交y轴于点C． (1)求b，c的值． (2)点Px ,y 0x 5是抛物线上的动点 0 0 0 ①当x 取何值时， PBC的面积最大？并求出 PBC面积的最大值； 0   ②过点P作PEx轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF ，问：是否存在 点P，使! PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc与抛物线 yx2x1的形状相同，且与x轴交于点1，0和4，0．直线y kx2分别与x轴、y轴交于点A，B， 与yax2bxc于点C，D（点C在点D的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线y kx2上方抛物线上的任意一点，当k 2时，求  PCD面积的最大值； (3)若抛物线yax2bxc与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围． 26．（2024·湖南长沙·一模）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A1,0，Bm,0两点，与y轴交于点 C0,3，顶点为D，直线BD交y轴于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为线段BD上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接 DF，BF，求VBDF面积的最大值． (3)连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得BDC QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请 说明理由．27．（2024·江西萍乡·一模）如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛 物线的对称轴交x轴于点D．已知A3,0，C0,3，连接AC，BC． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似，求出点P的坐标； (3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC，MA．设△ACM 的面积为S，试求S的 最大值． 28．（2024·四川广元·二模）如图1，抛物线yax²bxc与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为5，0， 与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为(3,4)． (1)求抛物线和直线BC的解析式． (2)在抛物线上是否存在点M，使得 BCM 是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；  若不存在，请说明理由． (3)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为  B上的一个动点，连接AC，求△ACP面积的最大 值．29．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB10cm， BD4 5cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM 与AC交于点E．设运动时 间为ts0t5，解答下列问题： (1)当点M在BD上时，求t的值； (2)连接BE．设△PEB的面积为S  cm2 ，求S与t的函数关系式和S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使点B在PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．30．（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx8与x轴交于 A(4,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐 标； 35 37 (3)设直线l :ykxk 交抛物线于点M 、N ，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l :y 上总 1 4 2 4 存在一点E，使得MEN为直角．31．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线yax22xca0，与x轴交于点A1,0和 点B3,0，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点． 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接PC、PB、BC，设点P的横坐标为t． ①当t为何值时， PBC的面积最大？并求出最大面积；  ②当t为何值时， PBC是直角三角形？  (3)如图2，过E作EF x轴于F ，若Mm,0是x轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若MNC 90，请 直接写出实数m的取值范围．32．（2024·四川成都·一模）如图，直线yx4分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛 1 物线y x2bxc过A，B，C三点． 5 (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作BD∥AC交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接PD 交AC于点E，连接EB，求S 的最大值及最大值时点P的坐标； △PEB (3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y2x与新抛物线交于O，G 两点，点H是线段OG的中点，过H作直线RQ（不与OG重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q 左侧．直线GR与直线OQ交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是， 请说明理由．33．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax28ax10a1a0与x轴的交点 分别为Ax,0，Bx ,0，其中（0x x ），且AB4，与y轴的交点为C，直线CD∥x轴，在x轴上 1 2 2 1 有一动点Et,0，过点E作直线l x轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当0t8时，求△APC面积的最大值； (3)当t2时，是否存在点P，使以C、P、Q为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求出此时t的值；若 不存在，请说明理由． 题型02 四边形面积最值问题 34．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A1，0，B3，0两点，与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使△PAC的周长最小，求△PAC的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB的面积的最大值及此时点M的坐标.1 35．（2024·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2bxc与x轴交于点A(2,0)和 4 点B，与y轴交于点C(0,4)，点P是直线BC上方的抛物线上一点（点P不与点B，C重合），过点P作PD∥y 轴交直线BC于点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段PD长的最大值； (3)连接CP，BP，请直接写出四边形ABPC的面积最大值为________． 36．（2024·山西运城·一模）综合与探究  9 如图，抛物线yax2bx3a0与x轴交于A1,0、B两点，与y轴交于点C，点D2, 在抛物线  2 上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q，连接PA、PB、QA， 设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得MAB2ACO，若存在，请直接写出所有符合条 件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．37．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线yax2bx3a0与x轴交 于A，B两点，直线l：y kx2与抛物线交于A，C两点，且A1,0，B3,0． (1)求a，b，k的值； (2)点M 是线段OB上的动点，点N 在x轴上，MN 2，且点N 在M 的左边．过点M 作MPx轴，交抛物 线于点P．过点N 作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线l于点R． ①当以P，Q，R，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标． ②记以P，Q，R，M 为顶点的四边形面积为S，求S的最大值． 38．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线yx5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是(-1，0)，抛物线 经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交 于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF ，如图2所示； ①求AEDF的值； ②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．39．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，过原点的二次函数yax2bx的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A 的直线与该函数交于B1,3，与y轴交于点C0,4． (1)分别求此二次函数与直线AB的解析式． (2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PEx轴于点E，与直线AB交于点D， 设点P的横坐标为t． 1 ①当PD OC时，求t的值； 2 ②当点P在直线AB下方时，连接OP，过点B作BQx轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF，求四 边形FQED面积的最大值． 1 1 40．（2024·山东济南·一模）如图，直线y  x3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y x2bxc 2 4 经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标； (3)将线段OA绕x轴上的动点Pm,0顺时针旋转90得到线段OA，若线段OA与抛物线只有一个公共点， 请结合函数图象，求m的取值范围．41．（2024·四川广元·二模）如图，二次函数yax2bxc的图象与x 轴交于原点O 和点A4，0，经过点A 的直线与该函数图象交于另一点B1，3，与y轴交于点C． (1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标． (2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，过点P作直线PEx轴于点E，与直线AB交于点D，过 点B作BF x轴于点F，连接OP，与BF交于点G，连接DG．求四边形GDEF 面积的最大值． (3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得BOQ45？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理 由． 42．（2024·广东珠海·一模）如图，抛物线yx2 3x4和直线yx1交于A1,0，B3,4点，点B在 直线x3上，直线x3与x轴交于点C． (1)求BAC的度数． (2)点P从点A出发，以每秒 2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个 单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止 运动，设运动时间为t秒t 0．以PQ为边作矩形PQNM ，使点N在直线x3上． ①当t为何值时，矩形PQNM 的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM 的顶点落在抛物线上．43．（2024·安徽宿州·二模）如图1，抛物线yax2bx3（a，b是常数且a0）与x轴交于点A1,0和 点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0 . (1)求a，b的值； (2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间． （i）如图2，连接AP，DP，BD，求四边形ABDP面积的最大值； （ii）如图3，连接AP并延长交CD延长线于点Q，连接BP交CD于点E，求CECQ的值.44．（2024·安徽·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4交x轴于点A1,0,B4,0， 交y轴于点C，点M 在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M,C两点之间（包括M,C两点）的部分记 为图象W． (1)求抛物线的解析式； (2)图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值； (3)如图2，若点M 位于BC下方，过点A作AE∥BC交拋物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接 CM,CD,BM,BD，求四边形CDBM 面积的最大值及此时点M 的坐标． 45．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线yx2bxc交x轴于A4,0，B两点，交y轴于点 C0,4． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求 四边形AOCP的面积的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求 出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．46．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）二次函数yax2bx4经过点A1,0，点B4,0，点C，点D分 别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点. (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接BC，过点A作BC的平行线交二次函数于点E，连接CM ，BM ，BE，CE．求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标； (3)如图2，过点M 作MN∥y轴，交BC于点N （点M 不与点D重合），过点D作DH∥y轴，交BC于点 H，当DM HN时，直接写出点M 的坐标． 题型03面积比最值问题 47．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax1x4与x轴交于A、 B两 点，与y轴交于点C0，2． (1)求a的值； (2)点D为第四象限抛物线上一点 ①求△BCD的面积最大值S ②连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S ， ABE的面积为S ，求 1 的最大值； 1  2 S 2 1 48．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y  x2  bx  c经过点O(0， 4 0)，对称轴过点B(2，0)，直线l过点C2,2，且垂直于y轴．过点B的直线l 交抛物线于点M 、N ，交 1 直线l于点Q，其中点M 、Q在抛物线对称轴的左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当BM :MQ3:5时，求点N 的坐标； (3)如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线l 下方的抛物线上一动点，连接PQ、PO，其中PO交l 于点 1 1 S E，设  OQE的面积为S 1 ，  PQE的面积为S 2 ．求 S 2 的最大值． 149．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线yx24x与直线yx交于原点O和点B，与x轴交于另一 点A，顶点为D． (1)求出点B和点D的坐标； 1 (2)如图①，连接OD，P为x轴的负半轴上的一点，当tanPDO 时，求点P的坐标； 2 (3)如图②，M 是点B关于抛物线的对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m0m5， S 连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E，设  BEQ和△BEM 的面积分别为S 1 和S 2 ，求 S 1 的最大值． 2 50．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线yax2bxc（a，b，c为常数）经过点F0,5，顶点 5 坐标为2,9，点Px,y 为抛物线上的动点，PH x轴于H，且x  ． 1 1 1 2 (1)求抛物线的表达式； y S (2)如图1，直线OP:y 1 x交BF于点G，求 △BPG 的最大值； x S 1 △BOG (3)如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM 的延长线于C，且BC BE,PH FC，求点P的横坐标． 3 51．（2024·四川南充·一模）抛物线y x2bxcb0与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 8 与y轴交于点C0,3，抛物线对称轴为x1，点P是抛物线在第一象限上动点，连接CB，PB． (1)求抛物线和直线BC的解析式； S (2)如图，连接PA，交BC于点M ，设 ABM 的面积为S ， PBM 的面积为S ，求 1 的最小值及此时点P  1  2 S 2 的坐标． 52．（2024·湖北孝感·一模）如图1，已知抛物线yax2bx3与x轴交于点A1,0，B3,0，与y轴交 于点C，连接BC． (1)求a，b的值及直线BC的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF x轴于点F ，交BC 于点G， (ⅰ)若EPEG，求点P的坐标， S (ⅱ)连接CP，CA，记 PCE的面积为S ， ACE的面积为S ，求 1 的最大值；  1  2 S 2 (3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将 直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围． 题型04 面积和最值问题 53．（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3交x轴于点A(1,0)、B(3,0)，交y 轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、 BD．设点D横坐标为m(m0)， DAE的面积为S ， DBE的面积为S ．  1  2 (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的 取值范围； (3)当点D在第一象限时，求S ＋S 的最大值； 1 2 (4)当S :S 2:1时，直接写出m的值． 1 2 题型05 面积差最值问题 54．（2024·安徽合肥·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc的对称轴为直线x2， 且与y轴相交于点C0,5． (1)求抛物线yx2bxc的表达式；(2)如图2，点A,B在x轴上（B在A的右侧），且OAt0t3,AB1，过点A，B分别作x轴的垂线交 抛物线于点D,E，连接CD,CE,DE，并延长AD交CE于点F ． ①求DF的长（用含t的代数式表示）； ②若 CDF的面积记作S ,△EDF的面积记作S ，记S S S，则S是否有最大值，若有请求出，若没有，  1 2 2 1 请说明理由． 55．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线ya2x22a2x3a2a0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左 侧），与y轴交于点C，直线yaxb经过点A． (1)求A、B两点的坐标; (2)若直线yaxb与抛物线ya2x22a2x3a2的对称轴交于点E． ①若点E为抛物线的顶点，求a的值； ②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记△ACE的面积为S ，记 ABE的面积为S ，S S S ，求S 1  2 2 1 与x的函数表达式，并求出S的最大值．56．（2024·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线yax2x4（a为常数，且a<0）与x轴交于A，B两点 1 （点A在点B的右侧），与y轴交于点C，经过点B的直线y xb与抛物线的另一交点为点D，与y轴的 2 交点为点E． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若DEBE，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接AC，BC，点P为抛物线在第一象限内的点，连接BP交AC于点Q，当 S S 取最大值时，试求点P的坐标． △APQ △BCQ 57．（2024·广东广州·一模）综合应用 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A，B1,0，与y轴交于点C0,3． (1)求抛物线的解析式； (2)直线yx与抛物线在第二象限交于点M ，若动点N 在OM 上运动，线段CN 绕点N 顺时针旋转，点C 首次落在x轴上时记为点D，在点N 运动过程中，判断CND的大小是否发生变化？并说明理由． (3)在（2）的条件下，连接CD，记△CND的外接圆的最小面积为S ，记△CND的外接圆的最大面积为 1 S ，试求S S 的值（结果保留）． 2 2 1 58．（2023·湖北荆州·中考真题）已知：y关于x的函数ya2x2a1xb．(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a4b，则a的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A2,0，B4,0，并与动直线l:xm(0m4)交 于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S 1 ，  CDE 的面积为S ． 2 ①当点P为抛物线顶点时，求  PBC的面积； ②探究直线l在运动过程中，S S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 1 2 59．（2024·安徽·一模）已知抛物线ya(x2)(x4)(a为常数，且a0)与x轴交于A，B两点（点A在点B 1 的右侧），与y轴交于点C，经过点B的直线y xb与抛物线的另一交点为点D，与y轴的交点为点 2 E． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若DEBE，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接AC，BC，点P为抛物线在第一象限内的点，连接BP交AC于点Q， 当S S 取最大值时，试求点P的坐标． △APQ △BCQ题型06 五边形面积最值问题 60．（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线yax2bx3与x轴的交点为A4,0,D2,0，与y轴交点 为C． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线的A~B段上存在点P，求五边形APBCD面积的最大 值S ； Max (3)问该抛物线上是否还存在与点P不重合的点Q，使以A、B、C、D、Q五点为顶点的凸五边形面积等于 题（2）中五边形APBCD面积的最大值S ，若存在，直接写出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在， Max 请说明理由．